手中有模 心中有型*
——幾何實物模型融入立體幾何教學的思考

廣西南寧市第三中學(530021) 鄒信武

廣州大學附屬中學大學城校區(510006) 董琦

1 問題的提出

立體幾何是幾何學的一個分支,是研究空間圖形的形狀、大小和位置關系的一門學科.《立體幾何初步》是新課程高中四條主線“幾何與代數”中的板塊內容,通過對基本立體圖形和基本圖形位置關系的學習,運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質,建立空間觀念[1].

《普通高中數學課程標準》(2020 年修訂)(以下簡稱《標準》)指出,“在教學中應提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現空間幾何體,幫助學生認識空間幾何體的結構特征,進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能”[1].目前,大量的信息化資源引入到教學中,以及多媒體、幾何畫板等信息技術的輔助,似乎給立體幾何教學帶來了更多直觀;但真實的情況是,多媒體呈現的幾何體依然是直觀圖(或者相似的3D 圖象),學生依然需要依據圖象進行想象還原真實圖形,這對很多學生來說是一個非常困難的事情.因此,與其這樣的憑空想象,不如讓學生直接觀察真實實物模型,得到幾何體的第一手信息,以這作為學習的起點,對立體幾何學習不是幫助更大嗎?

對于立體幾何實物模型,并沒有特別明確的定義,本文中的立體幾何實物模型包含以下幾種: (1)客觀實物.如書本、箱子、可樂罐和教室等;(2)抽象化實物.指可以抽象成幾何元素的幾何物體,如筆,桌面和地板;(3)空間幾何體模型(教具).

2 引入立體幾何實物模型的必要性

2.1 發展數學核心素養的需要

2.1.1 發展數學抽象素養的需要

數學抽象,是指舍去事物的一切物理屬性,得到數學研究對象的思維過程.立體幾何的抽象過程如圖1 所示,分為四個層次: 客觀事物(模型)——直觀圖象——文字表述——符號刻畫.

圖1

認知心理學認為,通過數學多元表征學習數學內容,促進表征系統間的轉譯,更利于學生理解數學本質.從圖中不難看出,實物化的幾何體模型,是實現幾何體數學抽象的“基礎”.在現行教學中,越來越強調信息技術融合的數學課堂,雖然信息化手段展示生活中的幾何實際圖形,如土木建筑、機械設計、零件視圖等等,但是信息技術投影出來的始終是“平面圖形”,學生需要對“平面圖形”進行“形象化轉譯”才能得到“實物意象”,進而完成空間圖形的抽象.因此,在立體幾何教學中,讓學生能夠真實接觸到幾何體實物,觀察和感受幾何體的內部結構特征,有助于使學生建立更穩固地圖形理解,為后面在幾何體上的度量計算和推理論證提供基礎.

2.1.2 發展直觀想象素養的需要

實物化的幾何體模型,是發展直觀想象的重要“途徑”.直觀想象主要體現有: 建立形與數的聯系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題,運用空間想象認識事物.高中立體幾何的核心在度量,而度量的核心是長度與角度.幾何體直觀圖是幾何體的抽象圖形,學生需要根據直觀圖的信息估計幾何體的大小與位置以及其組成要素間的長度與角度等特征,這是學生學習立體幾何的難點之一.借助幾何體實物模型,對比其對應直觀圖,辨別幾何體的空間結構特征,聯想圖形與實物之間的聯系,進而幾何體內長度與角度變成直觀可測,降低了認知障礙,形成較強的直觀感受,增強空間想象能力.

2.2 實現教學公平的需要

立體幾何的學習依賴于生活經驗,學生的生活經歷與經驗各不相同,男女生之間在概念理解、圖形表示、符號語言敘述及辯證推理上有較大差異.因此,與其它板塊知識不同,學生在學習《立體幾何初步》時,幾何圖形認知基礎參差不齊,教師應提供一個共性化的平臺,滿足不同水平層次學生的需要,幫助學生完成把客觀世界數學化的抽象過程.通過實物化模型,關注所有學生的認知基礎,幫助缺乏生活經驗的學生順利完成立體幾何的數學抽象,并增強空間想象能力,保障教學上的公平.

2.3 掃除立體幾何學習的情感障礙的需要

在立體幾何學習中,許多同學都存在或者出現過興趣不足、畏難情緒和學習主動性不強等情感障礙.由于立體幾何的圖形抽象性和論證嚴謹性,容易使學生感覺內容枯燥,進而產生厭學情緒.教學中,教師可以引導學生制作立體幾何實物模型,并設計以模型為基礎的幾何探究活動,讓立體幾何實物模型成為生生之間,師生交流的媒介,進而增強學生在幾何學習中參與度和活躍度.

3 立體幾何實物模型融入策略

3.1 立體幾何實物模型融入原則

根據立體幾何教學和實物模型的特點,立體幾何實物模型融入教學中應滿足以下幾個原則:

(1)輔助性原則.引入立體幾何實物模型的目的是幫助學生理解某一概念、定理或者空間位置關系.

(2)問題及探究性原則.立體實物模型的引入,應該在某一探究問題情境中,或者是它本身承載著“問題”,或者需要借助它解決“問題”.

(3)可操作性原則.引入的立體幾何實物模型,應圍繞教學目的,符合學生的認知能力和行為能力,是切實可行的操作.

(4)共生性原則.立體幾何實物模型的引入,通常與信息技術手段相結合,伴隨著圖形語言、文字語言及符號語言等幾種語言系統的相互轉譯過程.

(5)趣味及互動性原則.通過引入立體幾何實物模型,激發學生學習興趣,把學生吸引到數學活動中,并且成為生生、師生間溝通交流的媒介.

3.2 立體幾何實物模型融入策略

3.2.1 辨識幾何體的直觀感知

立體幾何實物模型,最基本的功能就是展示幾何體實物,幫助學生實現客觀實物向幾何圖形及符號表述的抽象過程.教學中,教師利用實物模型的直觀性,引導學生觀察實物模型,從整體到局部,明確立體幾何的研究對象,發展直觀想象核心素養.在立體幾何的教學中,定義、定理及性質等的引入通常可以以實物模型為基礎,幫助學生獲取直觀感受,再將其一般化.

案例1以蘇教版《普通高中教科書數學必修第二冊》13.1“基本立體圖形”中的棱柱、棱錐和棱臺的教學為例,可以開展以下幾個探究活動:

探究1: 教師將事先準備好的奶茶杯、紙箱、籃球、電燈、燈罩、魔方等實物,分散發給部分同學,每人一件(也可以提前讓同學們自己準備,每人一件),請同學們觀察自己手上及周邊同學的物品形狀,找到它們的相似點.請認為手上物品相似的同學拿著物品站到一起,并選取一個同學解釋你們站一起的原因.

探究2: (上課前布置同桌間用小木棍制作兩個全等多邊形(可以在通用技術課上制作),準備一些細繩)請同學們用相同長度的繩子綁在兩個多邊形的各個角的頂點上,將繩子繃直,就形成了一個幾何體,隨著兩個多邊形的移動,就會形成很多形狀各異的多面體,請同學們觀察手上幾何體,你能發現某些特殊的幾何體嗎?

探究3: 我們懂得了棱柱的定義,請同學們把自己手上的幾何體擺放成棱柱,觀察自己手上的棱柱和身邊的同學手上的棱柱,你能找到它們在形狀和位置上的相似與不同嗎?

探究4: 把連接多邊形的繩子束成一點,我們手頭上就形成了一個棱錐,類比研究棱柱的研究方法,我們應該怎樣觀察棱錐呢? 研究它的什么地方呢? 你有什么結論?

探究5: 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間那部分幾何體叫棱臺,請同學們觀察手上的棱錐,被平面截取后,請思考棱臺結構上有什么特征?

探究6: 利用手上的多邊形和繩子,請把它們變換成長方體、棱錐、棱柱、棱臺、直棱柱,四面體、平行六面體,并歸納它們之間的關系,請用Venn 圖表示出來.

設計意圖相比直接告訴學生各種多面體的定義,通過上述6 個探究,引導學生從客觀世界抽象出空間幾何體,并通過觀察、分析和歸納幾何體的形狀、結構特征和組成元素之間關系等共性特征,進而概括出相同多面體的結構特征,這個過程更生動活潑,更能體現新課程的“三會”思想.而在這個過程中,實物模型作為課堂教學推進的媒介,在發展學生數學抽象、直觀想象等數學核心素養起到了重要作用.

3.2.2 依托定理推論的教學融入

按《標準》要求,空間點、直線、平面位置關系的定義,基本事實1～4 和四個判定定理(直線與平面平行,平面與平面平行,直線與平面垂直,平面與平面垂直)都是通過借助長方體,直觀感知,抽象并歸納而得到.在教學過程中,如何使學生是否感知并確信這些定義、基本事實及判定定理,是教學設計的重點和難點,突破這一重難點的關鍵,是教學中提供豐富的實例引起學生在生活經驗的共鳴.課堂中引入恰當的實物模型,正是促使學生從生活經驗中提取空間關系的重要渠道.

案例2在“直線與平面垂直”教學中,引入下列幾個探究活動:

探究1:請同學們觀察手中的長方體,與平面A1B1C1D1平行的直線有哪些?請說出原因.請觀察側棱AA1與平面A1B1C1D1的關系.

探究2: 在生活中,地面上有許多筆直或豎直的形象(多媒體上投影斜聳立的高樓、斜拉橋的橋塔和廣場上旗桿等影像).我們想研究它們這樣的關系,那我們應該從哪里入手?

探究3: 請一位同學把一支鉛筆樹立在桌面上,另外一位同學打開小手電照向筆桿,移動小手電,請同學們觀察和歸納筆桿的影子與筆桿的關系.

探究4: 我們歸納了直線與平面垂直的定義,大家觀察這個圓錐模型,請問: 圓錐的軸與地面是什么關系?為什么?

設計意圖探究1 依托長方體,回顧直線與平面平行的判定方法,使學生意識到線面到線線降維處理的方法,與此同時,通過側棱與底面的關系,感知直線與平面的垂直關系,并初步了解直線與平面垂直時與平面內部分直線垂直的事實.探究2 通過生活中與地面垂直的實例,加深對線面垂直的感知,并思考如何確定直線與平面垂直的關系,進得研究對象是直線與平面內直線的關系.探究3 是對教材中探究的改進,實際教學中,垂直關系是學生立體幾何學習最大障礙之一,影子與旗桿垂直看似簡單的關系其實相當部分學生是無法感知確信.因此,通過實物實驗,觀察得到影子與筆桿垂直,再根據異面直線垂直的定義得到筆桿與平面內的所有直線都垂直,并嘗試將用圖形語言、文字語言和符號語言表述.探究4 是得出定義后的簡單應用,通過一個實例再次體會和確認直線與平面垂直的定義.李善良教授認為,概念的學習會經歷表象—意象—本質—定義—辨析—應用等幾個階段.這4 個探究正是根據這一個過程,依循學生的認知規律,借助實物模型,逐步地發現、感知、確認、提煉、歸納與應用的過程.

3.2.3 依托實際探究問題融入

史寧中教授指出,“學生思考數學問題的思維方式、數學品格的養成與學生經歷的數學活動程度有關,學生只有親身經歷數學化活動,才能真正形成數學核心素養”[2].立體幾何的探究活動,可以利用空間幾何體作為載體,設置恰當的問題情境,通過觀察幾何體的位置關系和形態變化,引導學生對空間幾何體的形狀、結構、元素間的位置關系和數量關系進行辨別、分析、歸納、猜想和論證,積累數學活動經驗,進而培養學生的幾何直觀和空間想象力,發展學生的數學核心素養.

案例3《標準》中案例11: 正方體中的截面問題[1]

探究1: 截面是指用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形,叫截面.如圖2,用一個平面截正方體,就會得到一個截面,圖中的截面圖像是三角形.隨著平面位置不一樣,截面圖形也不相同,你能設計一個觀察這個截面圖形的實驗嗎?

圖2

探究2: 我們可以通過在透明的正方體盒子中注入有顏色的水,觀察不同擺放位置、不同水量時的液體表面的形狀,得到截面的圖形的形狀.請同學們利用手上的模具和水,思考以下問題:

問題組1:

(1)隨著水量和不同擺放位置,液體表面形狀可以是什么圖形?并畫出它們的幾何圖形.

(2)形成的每種圖形又可以分成幾類不同特殊圖形?請說明原因.

問題組2:

(1)是否存在直角三角形?請說明理由.那鈍角三角形呢?

(2)是否存在直角梯形?請說明理由.

(3)是否存在正五邊形?請說明理由.

(4)是否存在正六邊形?請說明理由.

(5)是否存在七邊形或者邊數更多的多邊形?請說明理由.

3.2.4 實物模型與信息化技術結合融入

實物模型的引入,并不是舍棄信息化教學手段,而是二者相輔相成,發揮各自的優勢.信息化的教學手段,在呈現幾何體動態變化及幾何體分解等有較大的優勢,教學中因根據教學需要,綜合各類教育技術手段,呈現數學知識.

案例4祖暅原理與柱體、錐體的體積

探究1: 請同學們在稿紙上畫兩條平行線,用沾了顏料的筆刷,保持筆刷與直線平行,拖動筆頭,保持筆與直線平行,從一條畫到另外一條平行線,請同學們相互比較,看看得到的圖形有什么共同點?并說出理由.

探究2: 把剛剛得到的結論類比到空間,就是夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.那么這個結論是否成立呢?我們可以設計個實驗檢驗它.

思考1: 在講臺上放了一沓A4 紙,它就組成了一個幾何體,我們改變一下它的形狀,得到了另一個幾何體,它們的體積發生了什么變化?

思考2: 請同學們觀察,教師使用GeoGebra 軟件演示,平面α上放著底面積都等于π的矩形、圓和六邊形邊形,他們的高都是5 的一個長方體、一個圓柱和棱柱,教師演示三個幾何體被與平面α平行的平面β所截截面的面積及三個幾何體的體積.

設計意圖: 利用實物與信息技術,從平面到空間,學生經歷操作、提煉、猜想、類比等思維活動,最終形成對祖暅原理的主觀確認.

3.2.5 結合數學史上的實物模型融入

近年來,數學史與數學教育(HPM)是一個熱門研究方向.汪曉勤教授在西方有關研究的基礎上,結合中國實踐背景,將數學史的教育價值分為“知識之諧”、“方法之美”、“探究之樂”、“能力之助”、“文化之魅”和“德育之效”六個方面.在中國古代,幾何學成就主要體現在幾何圖形面積計算和幾何體的體積計算上,其中突出貢獻者有劉徽、祖沖之和祖暅等.立體幾何教學中,適當的插入古代幾何體相關問題,如圖3,既有助于完成立體幾何教學任務,也能激發學生學習興趣,增加民族自豪感.

圖3

4 結語

立體幾何教學是高中數學重要教學內容之一,其本身就具有豐富的育人價值,是發展學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學素養的優良載體.在數學教學中,教師充分開發和用好實物模型,“手中有模,心中有型”,搭建起學生從現實向抽象圖形(語言)轉換的橋梁,引導學生走好學習立體幾何的重要一步.