借用點旋轉 妙解一類題
——一道教材習題多角度探究與應用

山東省微山縣第一中學(277600) 焦猛 朱廣軍

1 題目呈現

人教版新教材必修二53 頁綜合運用第11 題: 已知對任意平面向量=(x,y),把繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角得到向量=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉θ角得到點P.已知平面內點A(1,2),點,把點B繞點A沿順時針方向旋轉后得到點P.求點P的坐標.

此題目根據旋轉公式很容易求出點的坐標.旋轉公式是如何得到的學生不理解,為此進行了探究,其意義在于首先讓學生重視教材,教材是源,理解教材,把握教材才能抓住高考,不做無源之水,無根之木,其次自主構建知識結構,同一問題由不同模塊知識解決,理解不同模塊知識的銜接點,融會貫通所學的知識,再次打破常規知識點題型練習的復習模式,提高復習效率,培養學生數學核心素養的形成.

2 旋轉公式的證明

問題涉及角度,思考與角度有關的知識有三角函數、向量的數量積、斜率與傾斜角、復數的三角形式等都涉及角度問題.將從以下幾方面進行證明.

2.1 三角函數法

此方法考慮到向量旋轉后長度不變,利用三角函數定義建立角度和坐標之間的聯系,證明過程簡潔明了.但要對三角函數定義理解透徹,三角恒等變換公式熟練掌握.

2.2 向量的數量積

此方法考慮到向量旋轉角度和坐標表示,利用數量積公式建立角度和坐標之間的聯系,解方程組即可.但求解sinθ時,較復雜需要討論.

2.3 斜率到角公式

此方法利用兩點斜率公式與傾斜角正切值的關系建立角度和坐標之間的聯系,同樣用到三角函數同角基本關系式且解方程組,但需要單獨討論特殊點.

2.4 復數三角表示形式

證明=(x,y)對應的復數為x+yi,=(x′,y′)對應的復數為x′+y′i.則(x+yi)(cosθ+isinθ)=x′+y′i,∴xcosθ-ysinθ+(xsinθ+ycosθ)i=x′+y′i,

此方法利用復數與平面向量是一一對應的,向量旋轉θ角,由復數的乘法幾何意義知相當于乘以一個模為1 輔角為θ的復數,利用復數相等即可》雖是選學內容,證明過程最簡單.

3 旋轉公式的應用

圖象是由無數點組成的,圖象的旋轉則是點的旋轉,下面在三個方面例析通過旋轉圖象可以得到熟知的圖象,簡化問題的研究.

3.1 旋轉圓

例1(2009 年上海高考理14) 將函數y=-2,(x∈[0,6]) 的圖象坐標繞原點逆時針方向旋轉角θ(0≤θ≤α)得到曲線C,若對于每一個旋轉角θ,曲線C都是一個函數的圖象,則tanα的最大值為______.

評析圓繞坐標原點逆時針旋轉θ角后仍是圓,且恒過原點,結合圖象只要旋轉后的縱坐標不大于零,函數對應的圓弧一直表示函數,由旋轉后的圓方程的圓心坐標直接得出最大值.

3.2 旋轉橢圓

例2(2019 北京理8題) 數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線,曲線C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個結論:

其中,所有正確結論的序號是().

評析曲線C旋轉后得到標準的橢圓方程,相應問題轉化為在標準方程及其幾何性質下解決則變得更加容易,求y′=x′+與橢圓相交的點的個數,是橢圓長軸的定點有兩個點滿足,就是橢圓面積公式.這些在原方程中都體現不出來.

3.3 旋轉雙曲線

例3(2020 泉州質檢) 若雙曲線C:mx2+ny2=1.(mn＜0)繞其對稱中心旋轉可得到某一函數的圖象,則C的離心率可以是().

評析通過旋轉公式求出一般方程,若表示一個函數則必定y′2的系數為零,考慮雙曲線焦點的位置,不僅解得離心率,還可以求得函數解析式判斷其性質.當雙曲線焦點在x軸時,函數為y′=為對勾函數,當雙曲線焦點在y軸時,函數為y′=為增函數.