權(quán)方和不等式的妙用

湖北省通山縣第一中學(xué)(437600) 劉昌領(lǐng)

不等式是高考數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一,也是高考的熱點(diǎn)問題之一,這類試題蘊(yùn)含極為豐富的重要數(shù)學(xué)思想方法,本文通過對我校10 月聯(lián)考填空壓軸題進(jìn)行多解法探究與思考,側(cè)重于利用權(quán)方和不等式解決分式不等式的最值問題,它比常數(shù)代換法更簡單快捷,介紹如下.

一、原題呈現(xiàn)

分析1通過對所要求解的式子進(jìn)行分子分母同時除以y變形處理,再與條件式子進(jìn)行比對,配湊便可使用常數(shù)代換法.

評注顯然利用常數(shù)代換法計算過程較長.

分析2通過觀察,可以把y換成關(guān)于xy的式子,再雙換元,應(yīng)用基本不等式即可.

解法2(變形+雙換元+基本不等式)

分析3通過觀察條件式子,把xy整體替換,雙變量化為單變量,通過對式子進(jìn)行變形處理,再令t=整體換元,從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.

解法3(雙變量化單變量+換元+二次函數(shù)求最值)

解法4(變形1+權(quán)方和不等式)

解法5(變形2+權(quán)方和不等式)

評注通過比較以上五種解法,發(fā)現(xiàn)對于兩個分式之和的最值問題,當(dāng)分子都是常數(shù),且分母之和也為常數(shù)時,利用權(quán)方和不等式能快速計算出正確答案.

二、權(quán)方和不等式

證法1(基本不等式)

證法2(二維形式的柯西不等式)

在高中階段,我們只需要掌握二元和三元的權(quán)方和不等式即可.二元權(quán)方和不等式用于“知和求和型”求最值,本質(zhì)是“1”的常數(shù)代換.

三、典例分析

圖1

解法六(拆分+逆用權(quán)方和不等式)

點(diǎn)評本題六種解法,從三角換元,雙換元,拆分,巧妙變形等不同角度對式子進(jìn)行變形,再用權(quán)方和不等式,第六種解法逆用權(quán)方和不等式很巧妙.通過一題多解,培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生發(fā)散思維的能力.

四、感悟

從上述例題的計算過程可知,應(yīng)用權(quán)方和不等式解題,蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想,如“配湊”思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、構(gòu)造思想、整體代換思想、“消元”思想等.而且,多元權(quán)方和不等式為我們解決多元不等式提供了新思路、新方法.

權(quán)方和不等式可以很快地計算分式表達(dá)式的最值,對于應(yīng)用基本不等式較難的題目,應(yīng)用權(quán)方和不等式能比較快捷地得出正確結(jié)果,對于選擇填空題中的不等式來說具有較大的優(yōu)勢,可以直接應(yīng)用.靈活選用權(quán)方和不等式能起到意想不到的化簡效果.對于解答題,權(quán)方和不等式也能給人啟發(fā),轉(zhuǎn)化為基本不等式的問題進(jìn)行求解即可.

在高中數(shù)學(xué)教材中沒有權(quán)方和不等式的相關(guān)知識,權(quán)方和不等式實(shí)質(zhì)是Holder 不等式的特例.在講解不等式的過程中,可以將權(quán)方和不等式的內(nèi)容滲透進(jìn)去,既能為求不等式的最值、證明不等式提供更加廣闊的思路,又能提高學(xué)生的解題效率和準(zhǔn)確性.