縱然圖形多變幻 執面索點得截線

福建省福清第三中學(350315) 何文昌 何 燈

近年來,多面體的截面問題是高考和省市質檢的熱點問題,主要考查截面的作圖,截面形狀的判斷,截面周長或面積,與截面有關的角、距離、位置關系等問題[1].這類問題對空間想象、邏輯推理和運算求解能力的要求較高,給學生的解答帶來較大的困難,學生往往無從下手.這類問題的難點是如何作出截面.本文以2023 年廣東省佛山二模第20 題為例,就多面體截面問題求解策略作一探析,與讀者交流.

一、試題呈現

中國正在由“制造大國”向“制造強國”邁進,企業不僅僅需要大批技術過硬的技術工人,更需要努力培育工人們執著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神,這是傳承工藝、革新技術的重要基石.如圖1 所示的一塊木料中,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,點E,F是PC,AD的中點.

圖1

(1)若要經過點E和棱AB將木料鋸開,在木料表面應該怎樣畫線,說明理由并計算截面周長;

(2)若要經過點B,E,F將木料鋸開,在木料表面應該怎樣畫線,請說明理由.

本題源于《2019 年人教A 版高中數學教材必修二》第138 頁木料畫線問題.本題內涵豐富,新穎獨特,解題入口寬,第二問解法多樣,考查多面體和截面、線面平行性質定理、四個基本事實和推論等知識;考查空間想象、邏輯推理和運算求解能力;考查數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養;體現基礎性、綜合性與創新性.

二、解法剖析

(1)(幾何法—作平行線)

如圖2,因為AB//CD,平面PCD,CD ?平面PCD,所以AB// 平面PCD,又AB ?平面ABE,設平面ABE∩平面PCD=l,則AB//l,又AB//CD,由基本事實4 得CD//l.設l ∩PD=K,則KP=KD,連接AK,EK,AK就是應畫的線.截面是四邊形ABEK,周長為+3(過程略);

圖2

圖3

評注上述解法由線面平行的性質定理得到AB//l,通過作出平行線延展平面,從而確定截面.

(2)解法一(代數法—坐標法)

評注該解法是學生很熟悉的坐標法,把四點共面代數化后,求出交點位置,從而確定交線和截面.其理論依據如下:若四點B,E,F,H共面,則平面BEF的法向量n與--→BH垂直.坐標法雖然符合很多學生的答題習慣,但該法耗時長,在無法建系時無法奏效.

(2)解法二 (代數法—基底法)

(2)解法三(幾何法—作平行線和延長線)

如圖4,截面與平面PAD有一個公共點F,因此它們有且只有一條過F的公共直線.要確定截面,需確定截面與平面PAD的另一個公共點.過P作PG//AD,延長BE交PG于G,則G ∈平面PAD∩平面BEF,平面PAD∩平面BEF=FG,由相似三角形的知識得,PH=2HD,截面是四邊形BEHF.

圖4

圖5

評注上述解法通過作AD的平行線延展平面PAD,通過延長BE延展平面BEF,先確定交點再確定交線,最后確定截面.該解法靈活應用線面位置關系和平行性質定理,空間想象和邏輯推理味道濃厚.

(2)解法四(幾何法—作延長線)

如圖5,截面與平面PCD有一個公共點E,因此它們有且只有一條過E的公共直線.要確定截面,需確定截面與平面PCD的另一個公共點.延長CD和BF交于I,則I ∈平面PCD∩平面BEF,平面PCD∩平面BEF=EI.設EI ∩PD=H,易得H是ΔPCI的重心,則PH=2HD,截面是四邊形BEHF.

評注 上述解法通過延長直線延展平面,從而確定截面,解題過程簡潔明了,令人耳目一新.解法三、四中,條件“PA⊥平面ABCD”均未使用,筆者揣摩命題者的命題意圖是讓一些習慣用坐標法的學生能迅速上手,不是命題失誤,而是體現了人文關懷.

三、策略探析

教師在教學中,應重視代數法和幾何法的講解與訓練,它們各自有用武之地.立體幾何的學習過程中,直觀想象和邏輯推理素養起著非常重要的作用,它們是學習立體幾何過程中的素養成分,也是命題老師青睞的考查目標,因此教師應該把幾何解法作為教學中的首選解法.截面問題中,作出截面和幾何體相關面的截線是問題的關鍵.基于此,直觀幾何圖形特征,抽象幾何圖形中點面的位置關系,為此找出兩個平面的交點,進而得到截線,就成為解決這類問題的重中之重.

解法四中,平面BEF與平面PCD有一個公共點E,它們就有一條過E的交線,需確定兩個平面的另一個交點,可以聚焦平面PCD,不妨稱為“執面”.延長CD和BF交于I,求出兩個平面的另一個交點H,不妨把找交點稱為“索點”.接著得到交線HE和HF,不妨稱為“求線”,最后確定截面.它通過三個步驟來畫出截面,分別是“執面”,“索點”,“求線”,所以把這個求解策略歸納為“執面,索點,求線”.學生在執面,索點,求線的過程中,把畫截面問題化歸轉化成找點和畫線,實現了操作的程序化和思維的可視化,提高空間想象,化歸轉化和邏輯推理能力.

四、應用賞析

例1如圖6,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中點,平面B1C1D與三棱柱ABC-A1B1C1的面相交,畫出交線圍成的截面,并說明畫法.

圖6

圖7

圖8

法1如圖7,平面B1C1D與平面A1C1CA有一個交點C1,先執面A1C1CA.兩個平面有一條過C1的交線,接著索點.延長B1D與A1A交于E,E是兩個平面的交點,兩個平面的交線是C1E,設C1E ∩AC=M,于是索到點M.由平面幾何知識知M是AC的中點,連接D和M得到DM,完成求線,最后確定截面是四邊形B1C1MD.

法2如圖8,平面B1C1D與平面ABC有一個交點D,先執平面ABC.兩個平面有一條過D的交線,記l,接著索點.由線面平行或面面平行的性質定理得B1C1//l,∵BC//B1C1,所以l//BC,過D作l//BC交AC于M,易得M是AC的中點,于是索到點M.連接DM,C1M完成求線,易得截面為四邊形B1C1MD.

評注截面與多個面都有交點,找到與截面只有一個交點的面,聚焦這些面,完成執面.索點的主要方法是作平行線和作延長線.

例2如圖9,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N分別是BC,AE,CD1的中點,AD=AA1=1,AB=2.

(1)求證:MN//平面ADD1A1;

(2)在(1)的條件下,試確定直線BB1與平面DMN的交點F的位置,并求BF的長.

圖9

圖10

分析(1) 略;(2) 如圖10,要確定平面DMN與平面BB1C1C的交點,先執平面BB1C1C,接著索點.延長DN,易知它過C1,延長DM交CB的延長線于點G,于是索到點G.連接C1G交BB1于F,完成求線.由ΔADM～=ΔEGM知EG=1.又E是BC的中點,則GB=由ΔGBF～=ΔGCC1得,所以BF=

例3(多選)如圖11,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長都為4,P,Q,R分別在棱AA1,AB,B1C1上,AP=AQ=2,B1R=3,過三點P,Q,R的平面將三棱柱分為兩部分,下列說法正確的是().

A.截面是五邊形

C.截面將三棱柱體積平分

圖11

圖12

五、素養綜析

《中國高考評價體系》從深化高考內容改革、銜接高中育人方式改革進行頂層設計,構建全面考查的內容體系,實現了高考的三個轉變.“高考評價體系”確立了高考學科素養的考查目標,標志著中國高考正在實現從“能力立意”到“素養導向”的歷史性轉變.中國高考評價體系將理性思維作為高考考查的基本要求,包括觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括,全面考查學生的核心素養.

多面體截面問題的解決要求學生掌握立體幾何中的一些必備知識,如空間的四個基本事實,平行的判定和性質定理,同時對學生的分析能力作出較高的要求.解決多面體截面問題的關鍵是能夠作出截面,在提煉和運用“執面,索點,求線”求解策略的過程中,學生先直觀想象幾何圖形所滿足的特征性質,感知到兩個平面有一個交點,再從圖形與圖形特征中抽象出需要再找一個交點,最后通過空間想象和邏輯推理找到另一個交點,無疑,在這個過程中,直觀想象,數學抽象,數學建模和邏輯推理等素養得到了培養和發展,這樣學生就能應對核心素養背景下的高考素養考查[2].