一道市級聯考題的解法探究與反思推廣

江蘇省江浦高級中學(211800) 何雪冰

數學教育家弗賴登塔爾說過:“數學是人的一種活動,如同游泳一樣,要在游泳中學會游泳.我們也必須在數學中學會數學.”[1]近期筆者在解題教學時遇到一道市級聯考題,考查了雙曲線的幾何性質,也考查了分析問題,解決問題的能力尤其是運算求解能力,本文現對其解法進行探究,并給出一般性的結論.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)過點P的直線l與雙曲線C交于A,B兩點,直線OP與直線AN交于點D.設直線MB,MD的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.

1.推廣探究

第(2)小題的答案是k1k2=2,即k1k2=.現將條件一般化,經過探究得到下面的命題:

命題1設雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)的左、右頂點分別為M,N,點P是直線x=-a上異于點M的任意一點,過點P的直線l與雙曲線C交于A,B兩點,直線OP與直線AN交于點D.設直線MB,MD的斜率分別為k1,k2,則k1k2為定值

圖1

反思一上述證明方法思路自然,邏輯順暢,利用設而不求和韋達定理策略處理斜率之積為定值問題,但是運算量大,學生不易算到最后結果.通過反思調整,得到如下證法.

設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AN的方程為y=s(x-a),直線BN的方程為y=t(x-a).直線AN與雙曲線方程聯立,消去y得:

反思二此方法看似繁瑣,實質有多次運用同構思想簡化運算,利用二次函數的對稱性得到斜率關系,相比證法一減少了很多運算量.而且有一個意外收獲,即kBD=kMD,因此可知BN//MD,由此可得命題2.

命題2設雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0)的左、右頂點分別為M,N,點P是直線x=-a上異于點M的任意一點,過點P的直線l與雙曲線C交于A,B兩點,直線OP與直線AN交于點D.則BN//MD.

2.類比探究

橢圓與雙曲線有很多相似的性質，于是考慮橢圓是否也具有相似的結論呢[1]? 經探究，可得如下命題：

命題3設橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的左、右頂點分別為M,N，點P是直線x=-a上異于點M的任意一點,過點P的直線l與橢圓C交于A,B兩點，直線OP與直線AN交于點D.則BN//MD.

圖2

設點A(x1,y1),B(x2,y2),直線AN的方程為y=s(x-a),直線BN的方程為y=t(x-a).直線AN與橢圓方程聯立,消去y得:

反思三注意到點P是橢圓在點M處切線上的一點,由此考慮將命題3 推廣到更加一般性的情況,得到如下命題.

命題4設直線m是橢圓C:=1(a ＞b ＞0) 的在點M處的切線,點M關于原點的對稱點為N,點P是直線m上異于點M的任意一點,過點P的直線l與橢圓C交于A,B兩點,直線OP與直線AN交于點D.則BN//MD.如圖3,利用GeoGebra軟件,不難驗證結論是正確的.命題4 的證明方法類似命題3,因運算較繁瑣,本文不再贅述,有興趣的讀者可以自行完成.

圖3

3.結束語

“數學是思維的體操”,在數學學習中,要不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、演繹證明、反思與構建等思維過程.圓錐曲線的定值問題的研究無窮無盡,需要師生堅持不懈地探索與反思,這樣才會在學習中提升數學品質和數學素養.