關(guān)鍵能力回歸教材落地開(kāi)花,核心素養(yǎng)深度引領(lǐng)高考備考
——以一道高三平面向量試題為例

廣州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校(511458) 范友寶

2023 年新高考試題充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科的作用,落實(shí)立德樹(shù)人的基本原則,堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向,能力為重的原則,加強(qiáng)對(duì)關(guān)鍵能力的考查,避免機(jī)械刷題帶來(lái)的弊端,注重考查了學(xué)科知識(shí)的綜合能力,落實(shí)高考評(píng)價(jià)體系中的“一核四層四翼”的考查要求,全面體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的新時(shí)代考查要求,下面筆者就以一道2023 年高三模擬試題為例,具體分析如何挖掘試題的本質(zhì),探究試題的一般性結(jié)論與方法,充分體現(xiàn)試題所體現(xiàn)的關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng),從而為高考備考提供方向與思路.

1 試題展示

題目設(shè)O為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足

2 試題解析

圖1

本試題是高三一次模擬試題的題目,考查的是平面向量的線性運(yùn)算,平面向量的基本定理,試題在回歸教材的基礎(chǔ)上,注重學(xué)生對(duì)三角形面積的研究,既有代數(shù)運(yùn)算的抽象性,同時(shí)又有幾何圖形的直觀性,從代數(shù)的角度研究代數(shù)結(jié)構(gòu)特征,同時(shí)從幾何的角度挖掘幾何特征,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,下面通過(guò)解法分析揭示試題的深刻本質(zhì).

思路一通過(guò)向量的線性運(yùn)算法則對(duì)向量代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行化簡(jiǎn),從而推導(dǎo)出M,O,N三點(diǎn)共線結(jié)論,借助平面向量的共線定理,探求出點(diǎn)O的位置,進(jìn)而得到三角形面積之間的關(guān)系,充分考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)形結(jié)合的能力.為了挖掘試題的本質(zhì),深刻理解三角形的“四心”,我們先引入以下引理:

圖2

圖3

引理已知O為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),則有

圖4

由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖像和奔馳汽車(chē)的標(biāo)志(logo)很相似,我們把它稱為“奔馳定理”.

由“奔馳定理”推論可得:

思路二在對(duì)向量的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行化簡(jiǎn)后,發(fā)現(xiàn)符合奔馳定理推論形式,從而直接運(yùn)用奔馳定理的推論,大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

3 背景溯源

A.三邊均不相等的三角形

B.直角三角形

C.底邊和腰不相等的等腰三角形

D.等邊三角形

A.重心,外心,垂心 B.重心,外心,內(nèi)心

C.外心,重心,垂心 D.外心,重心,內(nèi)心

4 拓展推廣

圖5

圖6

圖7

圖8

5 應(yīng)用舉例

1.(2018 學(xué)年上學(xué)期衡水中學(xué)高三年級(jí)理科第10 題)已知O是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足

λ ∈(0,+∞),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ΔABC的().

A.重心 B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心

在新教材的教學(xué)中設(shè)計(jì)探究性活動(dòng)用向量法研究三角形的性質(zhì),一方面完善有關(guān)三角形性質(zhì)的知識(shí),另一方面加深對(duì)向量法基本思想的理解.在此過(guò)程中,充分運(yùn)用了平面向量基本定理、向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及向量共線定理,體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)讓學(xué)生深刻感受到向量集數(shù)與形于一身的無(wú)限力量,既有代數(shù)的抽象性,又具有幾何圖形的直觀性,通過(guò)挖掘試題的本質(zhì),發(fā)展和提高了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).