《數學教學》第1162 號問題的探究

安徽省壽縣第一中學(232200) 梁昌金

《數學教學》2022 年第10 期“數學問題與解答”第1162號問題[1]為: 在ΔABC中,BC=a,CA=b,AB=c,求證:2(a2cosA+b2cosB+c2cosC)≤ab+bc+ca.

該不等式簡潔、優美,只涉及到三角形的基本元素.本文對結論進行加強,并進行類似結論的探究,與大家分享.

1 問題的加強

命題1在ΔABC中,有

為了證明該命題,先給出以下引理.

引理1ΔABC的三個內角分別A,B,C,三邊長分別為a,b,c,外接圓半徑、內切圓半徑、半周長分別為R,r,p,則有∑ab=p2+4Rr+r2,∑a2=2(p2-4Rr-r2),a3=2p(p2-6Rr-3r2),abc=4pRr.

引理2[2]Gerretsen 不等式p2≤4R2+4Rr+3r2.

命題1 的證明由余弦定理,得

2 問題的類似

三角函數除了余弦以外,還有正弦、正切、余切、正割、余割五種,仿照上述命題1 的形式,筆者通過探究,獲得了以下結論:

命題2在銳角ΔABC中,有

證明由余弦定理及均值不等式,得

所以∑a2sinA≥∑4(1-cosA)S=4(3-∑cosA)S.又在銳角ΔABC中,

當且僅當ΔABC為正三角形時等號成立.所以a2sinA≥4(3-∑cosA)S≥4(3-)S=6S.所以a2sinA+b2sinB+c2sinC≥6S.

命題3在銳角ΔABC中,有

命題4在ΔABC中,有

命題6在ΔABC中,有

《數學教學》的“數學問題與解答”欄目,備受關注,每期的5 道題目,筆者都認真研究、探討,這已經形成了一種習慣,以上就是筆者對本刊第1162 號問題的探究.筆者水平有限,證明過程難免復雜和錯誤,請讀者批評指正.