《數學通訊》問題614 的妙解、推廣與變式

江西省貴溪市第四中學(335400) 吳善祥

1 問題呈現

《數學通訊》2023 年第6 期問題614[1]給出了這樣一個多元變量代數式的最值問題:

已知實數a,b,c,d滿足:a≥b≥c≥d,a+b+c+d=5,a2+b2+c2+d2=7,求ab-cd的最小值.

筆者對該問題進行研究,得到該問題的一個妙解,并且通過深入探究,得到問題614 的一個推廣及其推廣的兩個變式.

2 問題解答

分析假設a+b ＜3 得出(a+b)2+(c+d)2≥13與(a+b)2+(c+d)2＜13 這兩個矛盾的結論,從而得出a+b≥3,然后由

便可得出ab-cd≥1,即可求出ab-cd的最小值.

解注意到ab+cd+ac+bd+ad+bc=((a+b+c+d)2-(a2+b2+c2+d2))==9.因為a≥b≥c≥d,所以(a-d)(b-c)≥0,(a-b)(c-d)≥0,從而ab+cd≥ac+bd≥ad+bc,所以3(ab+cd)≥ab+cd+ac+bd+ad+bc=9,即ab+cd≥3,所以

若a+b ＜3,則2＜ c+d≤a+b ＜3,從而0 ≤(a+b)-(c+d)＜1,所以

因為a+b+c+d=5,所以

②+③得(a+b)2+(c+d)2＜13,這與①矛盾,故a+b≥3,所以a2+b2+2ab=(a+b)2≥9=2+a2+b2+c2+d2≥2+a2+b2+2cd.從而ab-cd≥1,當且僅當a=2,b=c=d=1 時取“=”.因此ab-cd的最小值為1.

3 問題推廣

著名數學家波利亞曾說過:“一般化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合,或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮一個包含該較小集合的更大集合.”[2]數學認識的根本目的是為了揭示更為普遍、更為深刻的事實或規律,數學問題的一般化是數學創造的基本形式之一,數學問題的一般化主要表現在對問題的推廣.筆者欲將問題614一般化,將a+b+c+d=5 改成a+b+c+d=m,將a2+b2+c2+d2=7 改成a2+b2+c2+d2=n,做了嘗試性探究,得到當n=且m≥-1 時問題614 的一個推廣.

4 變式探究

波利亞說過:“解題就像采蘑菇,當我們發現一個蘑菇時,還應四處看看,它的周圍可能還有一個蘑菇圈.”[2]筆者在探究問題614 的一般化的過程中,發現在刪除條件a≥b≥c≥d時,還可以探究a,b,c,d的取值(范圍).

變式1已知實數a,b,c,d滿足:a+b+c+d=m,a2+b2+c2+d2=n,求d的取值范圍.