對一道2022 年兩直線斜率之積為定值模擬題的探究

北京市第十二中學高中部(100071) 范小英 劉 剛

一、試題

(2022 年南昌市高三第二次模擬測試) 如圖,已知橢圓E:=1(a ＞b ＞0)的左、右頂點分別為A(-2,0),B(2,0),點H是直線l:x=1 上的動點,以點H為圓心且過原點的圓與直線l交于M,N兩點.當點H在橢圓E上時,圓H的半徑為

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線AM、AN與橢圓E的另一個交點分別為P、Q,記直線PQ、OH的斜率分別為k1,k2,判斷k1k2是否為定值? 若是,求出這個定值;若不是,說明理由.

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質、直線和橢圓的位置關系以及定值問題,考查了直觀想象、數學運算等核心素養,檢驗了分析問題與解決問題的能力.試題解法多樣,內涵豐富,體現了在知識交匯處命題的特點,是一道符合新課標理念的好題.下面探究試題的解法以及推廣,供大家參考.

二、解法探究

評注解法1 以點M、N的縱坐標為研究對象,先表示出直線AM的方程并借助韋達定理得到點P的坐標,同理得到點Q的坐標,由此完成解答,體現了坐標法的應用.

評注解法2 以直線AM,AN的斜率為研究對象,通過聯立直線AM,AN與橢圓的方程并借助韋達定理表示出點P,Q的坐標,接下來借助斜率公式求解,體現了轉化思想.

三、推廣探究

由解法3 可知除了k1k2為定值以外,直線PQ還過定點,因此題目中蘊含著定值、定點規律.對試題一般化,得到:

性質1 中“以點H為圓心且過原點的圓與直線l交于M,N兩點”本質就是kOMkON=-1,如果kOMkON為非零常數,結論如何呢? 經過探究,得到:

性質2已知橢圓E:=1(a ＞b ＞0)的左頂點為A,點M,N在直線l:x=t(t0 且t-a)上,滿足kOMkON=λ(λ0),若直線AM、AN與橢圓E的另一個交點分別為P、Q,MN的中點為H,則

在性質2 中,如果將原點O變為x軸上的其他定點,那么結論如何呢? 另外,還有其他的定值、定點規律嗎? 經過探究,得到:

性質3已知橢圓E:=1(a ＞b ＞0)的左頂點為A,定點G(m,0),點M,N在直線l:x=t(且t-a)上,滿足kGMkGN=λ(λ0),若直線AM、AN與橢圓E的另一個交點分別為P、Q,MN的中點為H,則

在雙曲線中也有類似性質,此處不再贅述.下面探究一下拋物線中的相關性質.

性質5已知拋物線E:y2=2px(p ＞0)的頂點為O,定點G(m,0),點M、N在直線l:x=t(tBZ_37_1074_1136_1112_1178 且tm)上,滿足kGMkGN=λ(λ BZ_37_1074_1136_1112_1178),若直線OM、ON與拋物線E的另一個交點分別為P、Q,MN的中點為H,則

(4) 當λ ＜0 時,以MN為直徑的圓過定點(t ±|t-m|,0).

以上從一道橢圓的定值問題出發,先從解法上進行了多角度探究,然后由特殊到一般,進行了拓展,得到了一組定值、定點性質,從而使試題的價值最大化.在解題教學中,教師應引導學生從不同角度認識,嘗試一題多解、一題多變,運用特殊到一般、類比等思想方法不斷尋求問題的本質,努力培養學生良好的探究習慣,這樣才能以不變應萬變.

以下試題供讀者練習.

1.(河北省五校聯盟2022 年3 月模擬考試) 已知橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的左、右頂點分別為A,B,O為坐標原點,直線l:x=1 與C的兩個交點和O,B構成一個面積為的菱形.

(1)求C的方程;

(2)圓E過O,B,交l于點M,N,直線AM,AN分別交C于另一點P,Q.

①求kAP kAQ的值;②證明: 直線PQ過定點.

2.(廣東省2021 屆高三綜合能力測試)已知橢圓C的中心為坐標原點,焦點在x軸上,焦距為2,橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2) 設點A,F分別為橢圓C的左頂點、右焦點,過點F的直線交橢圓C于點P,Q,直線AP,AQ分別與直線l:x=3 交于點M,N,求證: 直線FM和直線FN的斜率之積為定值.

3.(2014 年全國高中數學聯賽福建預賽)已知F為橢圓C:=1 的右焦點,橢圓C上任意一點P到點F的距離與點P到直線l:x=m的距離之比為

(1)求直線l方程;

(2)設A為橢圓C的左頂點,過點F的直線交橢圓C于D、E兩點,直線AD、AE與直線l分別相交于M,N兩點.以MN為直徑的圓是否恒過一定點? 若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.

參考答案: