一類直線過定點題型的變式探究與推廣

廣州市第九十七中學(510288) 黃 艷

廣州市南海中學(510170) 沈 鋼

一、試題展示與解法探究

題目(2020 年新課標第21 題)已知A,B分別為橢圓E:+y2=1(a ＞1)的左、右頂點,G為E的上頂點,=8,P為直線x=6 上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D,(1)求E的方程;(2)證明: 直線CD過定點.

圖1

分析該題主要考查直線與橢圓的位置關系,定點問題,屬于較難題;第(1)問求出各點坐標,表示出向量;

下面展示第2 問的幾種證法,并總結出可以作為通法的證法.

接下來對于③的運算處理1(分子分母同乘以y1或y2),

解題總結: 本題三個證法都有其優越性,解法1 思路簡答,運算沒有技巧處理考查學生的運算能力;解法2 利用橢圓方程消元最后可以化簡;解法3 利用韋達定理中兩根之和消元,最后得出的結果與分子分母中y1或y2的系數有關,×(-1)是否偶然呢?

二、變式探究

根據上題的特點,A,B為橢圓左右頂點,動直線CD與橢圓交于C,D兩點,直線AC與直線BD的斜率之比為定值,則直線過x軸的一個定點.

變式題目已知橢圓方程:+y2=1,A,B為上下頂點,P,Q為橢圓上的兩個動點,若2kP Q+kQB=0,求證: 直線PQ過定點.

證明因為直線PQ的斜率必存在,故設P(x1,y1),Q(x2,y2),A(0,1),B(0,-1),直線PQ:y=kx+m,將其與橢圓方程聯立得到(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,

故m=3,直線PQ:kx-y+3=0 過定點(0,3).

三、性質推廣

評注圓錐曲線大題在高考題中的運算非常大,在高三復習中,教師適當可以給學生拓展一些運算技巧或套路,可以簡化計算,比如熟記破解定理可以很快寫出需要的韋達定理,然后反推出一元二次方程.

證明因為直線PQ的斜率不可能為零,設P(x1,y1),Q(x2,y2),A(-a,0),B(a,0),直線PQ方程:x=ty+m,將其與橢圓方程聯立得到

證明因為直線PQ的斜率必存在,設P(x1,y1),Q(x2,y2),A(0,b),B(0,-b),直線PQ方程:y=kx+m,將其與橢圓方程聯立得到

證明因為直線PQ的斜率一定存在,設P(x1,y1),Q(x2,y2),A(0,b),B(0,-b),直線PQ方程:y=kx+m,將其與雙曲線方程聯立得到

以上是對一道2020 年的高考解析幾何題從不同角度進行解法探究,總結出斜率比之為定值的計算技巧.解析幾何是高考的熱點考點,也是必考題,這類題考查學生非常注重考查學生的計算能力,因此在高三后期復習中,可以讓學生掌握一些計算技巧.比如橢圓與直線聯立到韋達定理消元化簡過程中一般都是含有參數的,如果熟悉硬解定理可以直接寫出所需要的韋達定理.

以下試題供讀者練習

2.橢圓x2+=1 短軸的左右兩個端點分別為A,直線l:y=kx+1 與x軸,y軸分別交于兩點E,F,交橢圓于兩點C,D.設直線AD,CB的斜率為k1,k2,若k1:k2=2:1,求k的值.

3.設A,B為橢圓+y2=1 的左右頂點,直線l:y=kx+m交橢圓于C,D兩點,直線AC的斜率數直線BD的斜率的3 倍.若p為橢圓上異于A,B的一點,證明直線PA,PB的斜率之積為常數.證明: 直線CD過定點.

參考答案: 1.定點(1,0).2.k=3.3.(1)(2)定點(-1,0).