巧妙計(jì)數(shù)等腰三角形

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 李彥姍 韓彥昌

1 原題呈現(xiàn)與解法分析

原題呈現(xiàn)從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)及四條邊的中點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),則“這三個(gè)點(diǎn)能夠組成等腰三角形”發(fā)生的概率為____.

原解法按照選取點(diǎn)中正方形頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類,依次可以為3、2、1、0 個(gè),相應(yīng)的等腰三角形個(gè)數(shù)為+(4×1+2×0)+4×2+=20,因此所求概率為

分析原解法以選中正方形頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)來進(jìn)行枚舉分類,較為繁瑣,且容易漏數(shù),可以對(duì)解法作出以下優(yōu)化.

2 解法優(yōu)化

因?yàn)槊總€(gè)非等邊的等腰三角形與這個(gè)三角形的頂點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),所以對(duì)該題中所涉及到的8 個(gè)點(diǎn)我們可以分為兩類:一類是正方形頂點(diǎn)Ai(i=1,2,3,4),第二類是正方形邊上的中點(diǎn)Bi(i=1,2,3,4).

圖1

如圖1 所示: 以A1為頂點(diǎn)可構(gòu)造的等腰三角形有3 個(gè),以B1為頂點(diǎn)可構(gòu)造的等腰三角形有2 個(gè).根據(jù)對(duì)稱性可知一共可構(gòu)造(2+3)×4=20 個(gè)等腰三角形.

3 問題拓展與深化探究

拓展一從正n邊形的頂點(diǎn)及各邊的中點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)成多少個(gè)等腰三角形?

解對(duì)于正n邊形頂點(diǎn)及各邊中點(diǎn),對(duì)這2n個(gè)點(diǎn)分為兩類: 一類是頂點(diǎn)Ai(i=1,2,···,n),另一類是中點(diǎn)Bi(i=1,2,···,n).分別計(jì)數(shù)以這兩類點(diǎn)為頂點(diǎn),能構(gòu)造出等腰三角形個(gè)數(shù)即可.

(1)先討論以A1為頂點(diǎn)能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù).

圖2

如圖2,不論n為奇數(shù)還是偶數(shù),除了A1點(diǎn)及其對(duì)面的點(diǎn)以外,其余的2n-2 個(gè)點(diǎn)兩兩組合,均可與A1組成以A1為頂點(diǎn)的等腰三角形,共=n-1 個(gè).所以全部頂點(diǎn)Ai能組成的以Ai為頂點(diǎn)的等腰三角形有n(n-1)個(gè).

(2)再討論以B1為頂點(diǎn)能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù).

圖3

如圖3,不論n為奇數(shù)還是偶數(shù),除了B1點(diǎn)所在邊上全部點(diǎn),及其對(duì)面的點(diǎn)以外,其余的2n-4 個(gè)點(diǎn)兩兩組合,均可與B1組成以B1為頂點(diǎn)的等腰三角形,共=n-2個(gè).所以全部頂點(diǎn)Bi能組成的以Bi為頂點(diǎn)的等腰三角形有n(n-2)個(gè).

(3)若n為3 的倍數(shù)時(shí)

以正六邊形為例,如圖4,注意到每個(gè)點(diǎn)都可構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,等邊三角形會(huì)多計(jì)數(shù)2次.因此對(duì)于等邊三角形,在數(shù)值上,應(yīng)該計(jì)數(shù)個(gè).即在上面計(jì)數(shù)的基礎(chǔ)上,每個(gè)點(diǎn)我們多算了個(gè),所以2n個(gè)點(diǎn)一共多計(jì)×2n=個(gè).

圖4

綜上所述,當(dāng)n不是3 的倍數(shù)時(shí),從正n邊形的頂點(diǎn)及各邊的中點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)成n(n-1)+n(n-2)=2n2-3n個(gè)等腰三角形;當(dāng)n為3 的倍數(shù)時(shí),從正n邊形的頂點(diǎn)及各邊的中點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)成n(n-1)+n(n-2)-個(gè)等腰三角形.

拓展二從正n邊形的頂點(diǎn)及各邊的三等分點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)成多少個(gè)等腰三角形?

解將正n邊形的各邊按順時(shí)針標(biāo)記為第1,2,···,n條邊.對(duì)于正n邊形頂點(diǎn)及各邊三等分點(diǎn),仍然對(duì)這3n個(gè)點(diǎn)分為兩類: 一類是頂點(diǎn)Ai(i=1,2,···,n),另一類是第i條邊上的第j個(gè)三等分點(diǎn)Bi,j(i=1,2,···,n;j=1,2).分別計(jì)算以Ai點(diǎn)(或Bi,j點(diǎn))為頂點(diǎn),能構(gòu)造出的等腰三角形個(gè)數(shù)即可.

(1)我們先討論以A1為頂點(diǎn),能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù),乘以n即為所有Ai點(diǎn)能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù),如圖5.

圖5

Ⅰ.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

除了A1點(diǎn)以外,其余的3n-1 個(gè)點(diǎn)兩兩組合,均可與A1組成以A1為頂點(diǎn)的等腰三角形,共個(gè).故全部頂點(diǎn)Ai能組成的以Ai為頂點(diǎn)的等腰三角形有個(gè).

ⅠⅠ.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

除了A1及其對(duì)面的點(diǎn)以外,其余的n-2 個(gè)點(diǎn)兩兩組合,均可與A1組成以A1為頂點(diǎn)的等腰三角形,共個(gè).故全部頂點(diǎn)Ai能組成的以Ai為頂點(diǎn)的等腰三角形有

圖6

(2)再討論以B1,1為頂點(diǎn),能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù).乘以2n即為所有Bi,j點(diǎn)能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù).

Ⅰ.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

如圖6,以正五邊形、正七邊形、正九邊形為例,以B1,1點(diǎn)為頂點(diǎn),它們分別能構(gòu)造出2、3、4 個(gè)等腰三角形.由數(shù)學(xué)歸納法知,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),以B1,1點(diǎn)為頂點(diǎn),能構(gòu)造出個(gè)等腰三角形.故2n個(gè)Bi,j點(diǎn)共能構(gòu)造出=n(n-1)個(gè)等腰三角形.

ⅠⅠ.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

如圖7,以正四邊形、正六邊形、正八邊形為例,以B1,1點(diǎn)為頂點(diǎn),它們分別能構(gòu)造出1、2、3 個(gè)的等腰三角形.由數(shù)學(xué)歸納法知,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),以B1,1點(diǎn)為頂點(diǎn),能構(gòu)造出個(gè)等腰三角形.故2n個(gè)Bi,j點(diǎn)共能構(gòu)造出n(n-2)個(gè)等腰三角形.

圖7

(3)當(dāng)n為3 的倍數(shù)時(shí)

由上面討論可知:

當(dāng)n為奇數(shù)且不為3 的倍數(shù)時(shí),從正n邊形的頂點(diǎn)及各邊的三等分點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)造+n(n-1)=個(gè)等腰三角形;

當(dāng)n為奇數(shù)且為3 的倍數(shù)時(shí),從正n邊形的頂點(diǎn)及各邊的三等分點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)造+n(n-1)-2n=個(gè)等腰三角形;

當(dāng)n為偶數(shù)且不為3 的倍數(shù)時(shí),從正n邊形的頂點(diǎn)及各邊的三等分點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)造+n(n-2)=個(gè)等腰三角形;

當(dāng)n為偶數(shù)且為3 的倍數(shù)時(shí),從正n邊形的頂點(diǎn)及各邊的三等分點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)造+n(n-2)-2n=個(gè)等腰三角形.

拓展三從正n邊形的頂點(diǎn)及各邊的四等分點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)成多少個(gè)等腰三角形?

解正n邊形頂點(diǎn)及各邊的四等分點(diǎn)共有4n個(gè),我們可以分成三類: 第一類是頂點(diǎn)Ai(i=1,2,···,n),第二類是第i條邊(i=1,2,···,n按順時(shí)針排列)上第j個(gè)(j=1,2,3按順時(shí)針排列) 四等分點(diǎn)Bi,j(i=1,2,···,n;j=1,2,3).當(dāng)j=2 時(shí),Ci,2(i=1,2,···,n)為第i條邊上的中點(diǎn),我們記為第三類點(diǎn)Ci(i=1,2,···,n).

(1)我們先討論以A1為頂點(diǎn),能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù).乘以n即為所有Ai點(diǎn)能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù).

如圖8,不論n為奇數(shù)或偶數(shù),除去A1及對(duì)面上的一個(gè)點(diǎn),剩余的4n-2 個(gè)點(diǎn)兩兩組合,均可構(gòu)成以A1為頂點(diǎn)的等腰三角形,n個(gè)頂點(diǎn)共n×=(2n-1)n個(gè).

圖8

(2)再討論以B1,1為頂點(diǎn),能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù).乘以3n即為所有Bi,j點(diǎn)能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù).

Ⅰ.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

如圖9,與拓展二(2)I.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)的討論類似,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),以B1,1點(diǎn)為頂點(diǎn),能構(gòu)造出個(gè)等腰三角形.故3n個(gè)Bi,j點(diǎn)共能構(gòu)造出個(gè)等腰三角形.

圖9

ⅠⅠ.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

圖10

如圖10,與拓展二(2)II.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)的討論類似,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),以B1,1點(diǎn)為頂點(diǎn),能構(gòu)造出個(gè)等腰三角形.故3n個(gè)Bi,j點(diǎn)共能構(gòu)造出個(gè)等腰三角形.

(3)當(dāng)n為3 的倍數(shù)時(shí)

每個(gè)點(diǎn)都可構(gòu)成一個(gè)等邊三角形.即在上面計(jì)數(shù)的基礎(chǔ)上,每個(gè)點(diǎn)我們多算了個(gè).所以4n個(gè)點(diǎn),一共多計(jì)了

(4)最后討論C1點(diǎn)能構(gòu)造的等腰三角形個(gè)數(shù).

在本題(2)討論的基礎(chǔ)上,對(duì)于Ci點(diǎn)(即Bi,2)為頂點(diǎn)能構(gòu)成的等腰三角形,我們會(huì)漏數(shù).求出C1點(diǎn)漏數(shù)的個(gè)數(shù)再乘以n,即得所有Ci點(diǎn)漏數(shù)的等腰三角形個(gè)數(shù).

圖11

由上面討論可知:

4 總結(jié)反思與變式練習(xí)

對(duì)于正n邊形的所有頂點(diǎn)及m等分點(diǎn)能構(gòu)造的等腰三角形,通過探究可知: 1○n,m的奇偶性會(huì)影響Ai點(diǎn)以及Bi,j點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)方法.②當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),基于以上計(jì)數(shù)方法,正n邊形邊上的中點(diǎn)Ci點(diǎn)(即)能構(gòu)造的等腰三角形,會(huì)造成漏數(shù)(如拓展三情況(4)).③當(dāng)n為3 的倍數(shù)時(shí),每個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)造一個(gè)等邊三角形,要去掉重復(fù)計(jì)數(shù)的三角形.

以下給出兩道變式練習(xí),感興趣的讀者可利用本文的探究過程或結(jié)論進(jìn)行求解.

題1從正六邊形的頂點(diǎn)及各邊的四等分點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)成多少個(gè)等腰三角形?

答案: 128 個(gè).

題2從正七邊形的頂點(diǎn)及各邊的五等分點(diǎn)中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),能構(gòu)成多少個(gè)等腰三角形?

答案: 203 個(gè).

5 提煉升華

從原問題到各類變式問題,乃至到總結(jié)反思的更一般問題,我們發(fā)現(xiàn)問題雖然很相似,但解決問題過程中,以每類點(diǎn)為頂點(diǎn),構(gòu)造等腰三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)方法會(huì)有一些不同,體現(xiàn)出了解決問題中同與不同的辯證思維.原問題的解決簡(jiǎn)單粗暴,解決新問題時(shí)不具有一般性,找到同一問題的新解決方案,會(huì)帶來對(duì)問題新認(rèn)識(shí)的同時(shí),也給出了一般性問題的通性解法,體現(xiàn)出變與不變的辯證思維.