指向生活實踐情境的近三年高考概率與統計試題回顧與展望

南京師范大學教師教育學院(210023) 曹雨花

鹽城師范學院數學與統計學院(224002) 段志貴

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡稱《課標》)中明確提出,學生已儲備的數學認知和社會實踐經驗對于數學學習尤為重要.相較于導數、數列等模塊的測評,概率與統計試題具有明顯的情境特征.它們大多以生活實踐情境為背景,要求學生能夠從復雜的問題情境中抽象出數學問題,并建立數學模型進行解決,最終將數學問題的解還原為現實問題的解釋或決策.近年來,許多學者從問題情境、綜合難度、知識考查、統計素養、數學思想方法、數學核心素養、關鍵能力等維度對高考概率與統計試題進行了研究[1][2][3],雖然都考慮了情境維度,但尚未能對生活實踐情境進行更深入全面的分析.本研究基于近三年全國高考數學新高考卷、全國卷和地方卷(包括北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷,以下簡稱“地方卷”),對面向生活實踐情境的高考概率與統計試題進行統計分析,以更充分地把握生活實踐情境下的高考數學命題規律,探索高考數學命題趨勢.

1 生活實踐情境與高考數學試題取材

近幾年來高考數學試題不僅考查學生對基本數學概念、數學原理的應用以及簡單的邏輯推理和數學運算,更加注重數學與社會生活的聯系,體現出數學學科的應用性和社會價值,生活實踐情境成為實現高考“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的綜合考查載體.高考概率與統計試題的設計,正如專家所說,正在一步步走向“豐富試題背景”,在試題考查中“讓學生感受到數學來源于生活,數學能夠回歸生活,從而養成應用數學知識解決實際問題的習慣”[4].

1.1 高考數學試題中的情境創設

《課標》在“學業水平考試與高考命題建議”中明確提出:在命題中,選擇合適的問題情境是考查學生數學學科核心素養的重要載體.《中國高考評價體系》也指出要培養的“學科素養”就是在面對生活實踐或學習探索情境時,能夠在正確的思想價值觀念指導下,合理運用科學的思維方法,有效整合學科相關知識,運用學科相關能力,高質量地認識問題、分析問題、解決問題的綜合品質.

近年來高考數學試題中生活實踐情境出現的頻率愈來愈高,尤其側重于培養學生學以致用,將數學知識與生活實踐聯系的能力.相關研究表明,引領學生解決的數學問題越貼近他們的生活實踐,越能激發他們的學習興趣,調動學生的積極性與主體性,也更能幫助他們理解和掌握抽象的數學知識.高考數學試題通過創設生活實踐情境,將學科問題直接融入到學生熟悉的日常生活情境中,讓學生通過不斷地提取、梳理和加工相關信息,綜合運用知識技能來分析和解決學科問題.試題中的生活實踐情境大多選取貼近時代、貼近社會、貼近生活的素材,讓學生體會到理論知識在日常實踐活動中應用價值的同時,培養學生綜合運用理論知識和實踐能力的數學學科核心素養,對學生素質的全面發展具有積極意義.

1.2 高考數學試題中的情境分類

“無情境,不成題”.當前高考特別強調試題情境的創設.這里的試題情境,亦即問題情境,指的是以問題或任務為中心構成的活動場域.通過試題情境的創設,考查學生把新信息和記憶中儲存的信息進行相互關聯或重新組合,以尋找較復雜情境下面臨問題的解決方案.高考評價體系將情境視為實現“四層”考查內容和“四翼”考查要求的載體,讓學生在真實背景下發揮核心價值的引領作用,運用必備知識和關鍵能力去解決實際問題,全面綜合展現學科素養水平.

基于知識應用和產生方式的不同,《中國高考評價體系》將命題情境分為學習探索情境與生活實踐情境.有專家提出生活實踐情境通常包括日常生活、工業生產、國家發展、社會進步等實際問題[5].也有學者則提出生活實踐情境是指選取的情境材料來自于日常生活和生產實踐活動(包括衣食住行、醫療衛生、文體娛樂、生產制造、經濟發展等方面)[6].還有專家根據問題的來源不同,將生活實踐情境分為跨學科情境、生產實際情境、現實生活情境三類[7].綜合以上觀點,本研究將高考概率與統計試題有關生活實踐情境劃分為兩類五種.一是社會生活類情境,主要涵蓋與人們日常生活聯系比較緊密的衣食住行、醫療衛生、文體娛樂等三種背景;二是生產實踐類情境,主要包括關聯社會經濟發展的生產制造、經濟發展兩種背景,如圖1 所示.

圖1 指向生活實踐情境的高考試題分析框架

2 高考概率與統計生活實踐情境類試題回顧

概率與統計作為中學數學基礎知識中較為重要的一部分,它是處理或然與必然問題的重要工具,已經滲透到我們日常生活和現代社會工農業生產的各個方面.隨著概率與統計的不斷推廣和實踐應用,它在高考數學中的考查形式得到了拓展,各類知識點的考查都在更多地融入生活實踐情境.由此我們選取了近三年高考數學概率與統計這一內容領域,進行深入地統計與剖析.

2.1 近三年概率與統計試題基本樣態

2.1.1 試題題型與分值

近三年來新高考卷、全國卷和地方卷中有關生活實踐情境類概率與統計試題的題型與分值分布情況,如表1 所示.

表1 近三年高考概率與統計生活實踐情境類試題題型與分值統計

試卷中生活實踐情境類概率與統計試題的分值逐年增加,大多分布在單選題與主觀題部分,多選題與填空題較少涉及.從考查合計分值以及每年試卷平均分值來看,近三年生活實踐情境下的概率與統計內容的考查愈來愈受到重視,2023 年試卷平均考查分值達17 分.在題型分布上,可以看到每年各類試卷都會設置單選題和解答題進行考查,只有新高考卷設置了多選題,并在該題型中僅考查過一次.填空題的考查分值地方卷最高,此外地方卷中北京卷的題型設置仍只包括解答題,天津卷只設置單選題和填空題,浙江卷則僅設置填空題,并且在2023 年改革不再自主命題.上海卷在2023年打破以填空題為主要考查形式的傳統,開始設置單選題和解答題.由此可見生活實踐情境越來越成為高考試題背景設置的重要載體.

2.1.2 考查知識點分布

近三年來有關新高考卷、全國卷和地方卷中的生活實踐情境類概率與統計試題考查知識點分布,我們結合題型進行統計,如表2 所示.

從表2 中的考查知識來看,分布比較均勻.在近三年高考中概率和統計均有涉及,考查的內容沒有太大變化,基本上以基礎知識為主,此外也有一些結合其他模塊知識的綜合考查,重要內容年年考,次要內容輪流考.“概率”部分主要考查獨立事件、古典概型、離散型隨機變量的分布列及期望等知識點;“統計”部分則主要考查統計圖、數據的數字特征、樣本估計總體以及獨立性檢驗等;此外還有不少對排列組合的考查.而對主、客觀題的考點分布進行比較,可以發現客觀題重點考查古典概型、排列組合、數據的數字特征等基礎知識點,主觀題考查的知識點主要是離散型隨機變量的分布列、期望、獨立事件、獨立性檢驗等,對概率與統計內容的考查愈加深入,注重考查學科知識的融合性.

2.1.3 試題情境來源

表2 近三年高考概率與統計生活實踐情境類試題考查知識點分布

對近三年指向生活實踐情境的概率與統計試題情境來源進行統計,如表3 所示.

表3 近三年高考概率與統計生活實踐情境類試題情境來源

基于對近三年高考試題生活實踐情境背景的分析,不難發現相關素材涉及生活實踐的各個方面,以學生比較熟悉的實際應用性問題為重要載體.主要選取日常生活和生產實踐活動(包括衣食住行、醫療衛生、文體娛樂、生產制造、經濟發展等方面)為背景,其中以學生學習生活中接觸最為密切的文體娛樂活動占比最大,充分結合高中數學基礎知識,設計指向生活實踐情境的試題,涉及到的概率與統計知識范圍較為寬泛.主要考查學生將生活實踐背景抽象為統計語言,由此去分析和解決問題,這也充分體現了概率與統計知識的應用價值.

2.2 近三年概率與統計試題情境解析

依據生活實踐情境下試題情境來源的不同,我們對近三年概率與統計典型試題的相關情境進行分析.

2.2.1 衣食住行類情境

不難發現,衣食住行類情境大多是以增加生活便利、維護生存環境的實際問題作為背景.

例1(2022 年高考全國甲卷(理科)第2 題)某社區通過公益講座以普及社區居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10 位社區居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10 位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:

則().

A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于講座后正確率的中位數

B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于講座前正確率的平均數

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

分析大力推行垃圾分類制度,關系到我國人民生活環境的改善,是推動形成綠色生活方式的一場革命.本題以普及垃圾分類知識的公益講座為背景,考查散點圖與數據的數字特征等知識,有助于學生形成正確的垃圾分類觀念,提升保護環境、降低垃圾處理成本的素質和意識.從散點圖中講座前后居民回答正確率的明顯提升可以看出,知識普及類的培訓講座能夠明顯改善居民對垃圾分類知識的掌握情況,從而提升居民環境保護意識,從數學視角驗證了舉辦公益講座的社會價值.

2.2.2 醫療衛生類情境

以醫療衛生為背景的試題,大多選用疾病與流行病調查、臨床試驗等與我們身體健康息息相關的實際問題.

例2(2023 年新高考ⅠⅠ卷第19 題)某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率記為q(c).假設數據在組內均勻分布,以事件發生的頓率作為相應事件發生的概率.

(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設函數f(c)=p(c)+q(c),當時c ∈[95,105],求f(c)的解析式,并求f(c)在區間[95,105]的最小值.

分析本題以某種疾病患病者與未患病者的某項醫學指標設置情境,屬于醫學統計中的重點研究問題之一,試題對頻率分布直方圖、數據的數字特征等概率統計知識與函數等其他領域的知識進行了交互性考查.考查學生利用生活實踐經驗確定臨界值,從而制定合理的檢測標準,體現數學知識在醫療衛生方面的應用性.考查數據分析、數學運算、數學建模等核心素養.題目考查的知識點屬于“應知應會”的基礎內容,運算過程和運算量也較為簡單合理,以現實背景、簡單問題考查學生的思維品質,體現新時代高考改革取向.

2.2.3 文體娛樂類情境

近三年以文體娛樂活動為背景的概率與統計試題相對較多,考查的問題貼合生活實際,與學生的認知水平相契合,學生能夠以知識經驗去挖掘現實問題中的數學本質,提升數學思維.

例3(2023 年新高考Ⅰ卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下: 若命中則此人繼續籃,若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3)已知: 若隨機變量Xi服從兩點分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,···,n,則記前n次(即從第1 次到第n次投籃)中甲投籃的次數為Y,求E(Y).

分析近三年來以體育比賽為背景的概率與統計試題常考常新.這類試題貼近生活實際,情境易于理解,能夠聚焦于概率與統計本質的考查,體現了數學知識對解決日常生活問題的必要性與應用價值,有助于指導學生的生活實踐活動.本題綜合考查了全概率公式、相互獨立事件、數列遞推關系以及兩點分布等知識,考查學生的數據分析、數學運算、數學建模素養以及綜合運用數學不同內容領域知識的能力.

2.2.4 生產制造類情境

近三年以生產制造作為命題情境的高考試題,一般難度不大,多以對比分析為背景.

例4(2023 年高考全國乙卷(理科)第17 題)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,進行10 次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,···,10).試驗結果如下:

記zi=xi-yi(i=1,2,···,10),記z1,z2,···,z10的樣本平均數為樣本方差為s2.

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高.

分析工藝效果的提升對產品生產至關重要,通過抽樣選取產品樣本去判斷不同工藝處理手段對產品質量提升的效果,需要運用各種數學知識和工具,尤其是概率與統計的知識.本題以兩種工藝處理下橡膠伸縮率的提升為背景,主要考查數據的數字特征和假設檢驗的基本思想,考查學生數據分析、數學運算的核心素養與靈活運用統計與概率知識分析、解決問題的能力.此外可以明顯看出該題參考了2021 年高考乙卷理科的第17 題,難度或命題模式極為相近.

2.2.5 經濟發展類情境

對于表3 中以經濟發展為背景的試題,可以發現素材十分廣泛,不僅包括經濟發展現狀,更是常常選取經濟快速發展下國家舉辦的各種重大活動.

例5(2021 年高考全國甲卷(理科)第2 題)為了解某地農村經濟情況,對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查,將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖:

根據此頻率分布直方圖,下面結論中不正確的是().

A.該地農戶家庭年收入低于4.5 萬元的農戶比率估計為6%

B.該地農戶家庭年收入不低于10.5 萬元的農戶比率估計為10%

C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5 萬元

D.估計該地有一半以上的農戶,其家庭年收入介于4.5 萬元至8.5 萬元之間

分析本題以我國全面建成小康社會,獲得脫貧攻堅戰的全面勝利為背景,給出某地農戶家庭收入情況調查數據的統計圖.引導學生關注我國社會經濟發展現狀,關心脫貧問題,增強對國家不斷發展進步,人民日益獲得美好幸福生活的認同感和信念感,樹立為社會主義事業、民族振興、人民幸福做貢獻的責任意識.本題考查利用樣本的頻率分布直方圖估計總體的頻率分布和平均值,要求對圖形中數據進行分析和計算,考查數學運算、數學抽象、數據分析等素養以及數形結合的思想,引導學生在國家經濟發展中發現數學問題,應用數學知識.

3 生活實踐情境下的概率與統計試題特點

基于上述回顧與分析,我們總結出近三年指向生活實踐情境的概率與統計試題有以下三個特點.

3.1 生活化素材立意

不難發現,近三年高考概率與統計試題多選取緊貼學生生活實際的生活化素材,體現數學的應用價值.譬如選擇題中2023 年高考全國乙卷理科第7 題、2022 新高考ⅠⅠ卷第5題等以課外讀物選讀、文藝匯演等情境考查經典的排列組合問題,解答題中2022 年高考北京卷第18 題、2021 年新高考Ⅰ卷第18 題等重視離散型隨機變量的分布列及其數學期望等基礎知識融入校運動會、知識競賽這類與學生學校生活密切相關的情境.總體來看,試題中生活化素材的選取都具有廣泛的教育意義,指向學生德智體美勞全面發展與素養提升,引導學生形成正確的人生觀、價值觀與世界觀.考查學生從生活化背景中提取數學問題,并對問題進行建模和推理轉化的數學抽象、數學建模等素養,體現高考概率與統計試題設計生活化的趨勢.

3.2 真實性問題解決

近三年的概率與統計試題密切聯系學生生活實踐中的各種真實性問題,考查學生將生活實踐情境中的真實性問題轉化為數學問題并用數學知識分析和解決的關鍵能力,充分引領學生關注生活實際,理解數學的實際應用價值,培養發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的創造力和思考力.比如2021 年新高考Ⅰ卷第18 題,以與學生實際生活聯系比較密切的知識競賽為背景,要求學生計算出相應的概率及數學期望,并判斷“先答哪一類題”累計積分的期望最大,可見高考對概率與統計的考查并非只停留在計算的層面,更強調能夠利用計算結果為決策提出關鍵性的依據驗證,從而為解決真實性問題提供較為科學的決策建議.

3.3 跨學科交叉融合

近三年的高考試題除了對概率與統計知識的單獨考查以及與其他數學知識的結合考查,也很關注跨學科知識點的交叉融合.如2022 全國乙卷第10 題與2023 天津卷第7 題,分別將概率統計與不等式、函數知識融入下棋比賽與花萼種群的情境進行交互考查,2023 新高考Ⅰ卷第21 題在體育比賽背景中進行概率統計與數列知識的融合考查.對試題進一步分析還能發現,概率與統計的跨學科試題大多是與物理、生物的結合,例如2023 新高考Ⅱ卷第12 題多選題以信號傳輸為背景,與物理知識進行交互,2021 新高考Ⅱ卷第21 題與微生物繁殖的生物知識進行融合,都需要學生結合多個知識點及思想方法去分析和解決問題.這些試題重視優化學生思維品質、培養核心素養,體現了對知識交互、能力復合、素養全面的綜合性考查要求.

4 指向生活實踐情境的概率與統計試題展望

依據對試題的統計與特點總結,不難預測未來高考概率與統計模塊將進一步加強生活實踐情境試題的命制,并呈現以下趨勢.

4.1 豐富情境背景,關注科技發展

當前跨學科學習倍受重視,高考數學中的概率與統計跨學科試題一樣也可能越來越受到關注.生活實踐情境作為數學試題命制的重要背景,其應用性較為廣泛,遍布人文社會科學類和工程技術科學類.概率與統計試題理應打破數學與其他學科的界限,豐富跨學科情境,深入挖掘其在不同學科中的應用價值.不難預見,未來指向生活實踐情境的高考概率與統計試題的命制將會更加注重科技背景的融入.通過聚焦科技發展與中華民族復興、與社會經濟發展以及日常生活的關聯,引領學生在提升數據分析素養的同時,著意提升適應時代發展的科學意識和科學品質.

以科技發展為背景的試題,并非遠離生活實踐中的情境.事實上,我們身邊有大量的科技背景可以作為試題命制的素材.可以將不少國家科技創新成果,譬如國產手機芯片在5G技術上的新突破,或是智能機器人在我們生活各個方面的應用等貼近學生生活的情境,作為背景融入數學與物理、化學等跨學科情境的概率與統計試題中,讓學生更加真切地感受數學在科技發展中的作用.未來數學與多門學科的融合不僅能夠使跨學科試題的學科分布更趨均衡,而且能使試題的知識分布更廣.

4.2 貼近真實問題,激活基礎知識

數學來源于生活,又服務于生活.基于生活實踐情境的命題最基本的共識是所有的試題情境都必須真實可靠.對近三年高考試題進行統計與分析,可以預見未來高考概率與統計的考查仍會以數據分析素養為核心,更加重視設置貼近學生現實生活的真實問題,與學生的認知發展水平相適應,調動學生解決問題的積極性和學習數學的興趣,加強基礎知識考查的實際應用性,進一步落實課程標準和高考改革命題要求.

在試題情境的設計上,可以適度變化,關注真實問題,既可以選取貼近學生學習生活的背景,也可以從現代生活發展進步的進程中挖掘具有育人價值的真實問題;此外不僅可以選取數學背景下的真實問題,還可以從其他學科的真實問題中挖掘數學問題.命題時注意選取適宜的素材,呈現現實問題或是再現數學知識或理論的來源背景,讓學生能夠立足真實問題,靈活運用概率與統計基礎知識去分析和解決問題,發揮數學試題的育人價值和導向作用.

4.3 緊跟時代熱點,引領核心價值

為誰培養人、培養什么樣的人以及如何培養人是高考數學命題必須遵循的一條準則.事實上,生活實踐情境素材的呈現,可以培養學生的發散性思維和正確的核心價值觀.未來概率與統計試題的命制應當重視密切聯系當前重大時事熱點,可以選取有積極導向的國家重大活動作為背景材料,引導學生認識各種重大事件、社會焦點問題與數學知識之間的相互關系,樹立正確的情感、態度和價值觀.

事實上,對于不同類型的概率與統計試題,都可以將各種社會熱點融入其中.比如,可以將一些國家盛大體育賽事舉辦地的旅游景點人流量作為熱點融入衣食住行為背景的情境,考查頻率分布直方圖、數據的數字特征等知識;可以將國產企業產品創新升級帶動的消費熱潮作為經濟發展背景設計試題,考查離散型隨機變量分布列及期望等知識,展現我國經濟發展新活力;可以以各類社會盛大文體娛樂活動為背景,考查古典概型、排列組合、獨立性檢驗等知識.像這樣將試題與現實熱點緊密結合,能夠讓學生深切體會數學知識的應用價值,更充分地激發他們學習數學的興趣,調動他們學好數學的熱情.

4.4 滲透社會文化,導向綜合素養

鑒于高考數學其他知識領域(如數列、函數、幾何等方面)的試題中傳統文化背景的應用較多,在未來高考概率與統計試題的命制中也應同步跟進傳統文化活動的融入.諸如,“相同生日”問題、“高爾頓板”游戲等富有生活氣息的文化活動,未來都可能進入高考試題作為背景資源.在概率與統計的社會文化試題設計中,可以選取不同類型的文化活動情境作為背景以促進學生文化素養的提升.

概率與統計內容與社會文化,尤其是與人們日常交往、生活娛樂等文化活動之間存在著天然的聯系,為社會文化融入高考試題提供了相對容易的切入點.因此,概率與統計試題的命制,應加強以社會文化為載體,可以設置現代生活中具有積極意義的社會文化現象或活動作為情境,促進學生真切理解“數學源于生活,高于生活,并且最終服務于生活”,培養學生的人文素養和正確的價值取向;還可以設置一些數學史相關的傳統文化試題,培養學生的數學素養與實踐能力,并注意不同類型文化活動背景設置的合理性,全方位多層次地考查學生的綜合素養,落實立德樹人的培養目標.