隱函數求導在極值點偏移問題中的應用

廣東省中山市中山紀念中學(528454) 李文東

隱函數屬于高等數學的內容,在高中階段也沒有隱函數求導的法則和相關的知識,但是在一些多變量的問題中,變量之間是相互制約的,這個時候可以將一些變量看作某個變量的函數,但是這個函數的解析式卻又無法直接解出,這個時候我們稱之為隱函數[1].此時我們可以利用隱函數的相關知識去思考和求解,有時能夠使問題得到簡化.關于隱函數求導,其本質就是復合函數求導的法則,因此對于沒有學過高等數學的高中生來講也是完全可以理解和接受的.下面舉例說明隱函數求導在極值點偏移問題中的運用.

一、一道高考題解法的統一性引發的思考

2021 新高考全國Ⅰ卷第22 題是一道典型的極值點偏移問題,題目如下:

例1已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性;

(2)設a,b為兩個不相等的正數,且blna-alnb=a-b,證明: 2＜＜e.

這是典型的極值點偏移問題,其一般的證法是構造函數,具體過程如下:

不妨設m ＜n.由(1)知0＜m ＜1,1＜n ＜e,先證m+n ＞2.要證:m+n ＞2?n ＞2-m ?f(n)＜f(2-m)?f(m)＜f(2-m)?f(m)-f(2-m)＜0.令g(x)=f(x)-f(2-x),x ∈(0,1),則

g′(x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]≥-ln 1=0,所以g(x)在區間(0,1)內單調遞增,所以g(x)＜g(1)=0,即m+n ＞2.再證m+n ＜e.因為m(1-lnm)=n· (1-lnn)＞ m,所以需證n(1-lnn) +n ＜e.令h(x)=x(1-lnx)+x,x ∈(1,e),所以h′(x)=1-lnx ＞0,故h(x)在區間(1,e)內單調遞增.所以h(x)＜h(e)=e.故h(n)＜e,即m+n ＜e.

綜合可知2＜＜e.

上述證明雖然屬于證明極值點偏移問題的通性通法,但是對于2＜m+n ＜e 的證明需要分兩次構造函數,過程稍顯重復和繁瑣,結合f(x)=x(1-lnx) 的圖象不難得到: 若設f(m)=f(n)=t(0＜t ＜1),當t →0時,m+n →e,當t →1 時,m+n →2,而且對任意的t ∈(0,1),存在唯一的m ∈(0,1),n ∈(1,e) 與之對應,因此m,n為t的函數.這啟發我們將m+n看作t的函數,研究該函數的單調性即可.具體求解過程如下: 設f(m)=f(n)=t(0＜m ＜1＜n ＜e),即m(1-lnm)=n(1-lnn)=t(0＜t ＜1),對任意的t ∈(0,1),存在唯一的m ∈(0,1),n ∈(1,e) 與之對應,因此m,n為t的函數.對等式m(1-lnm)=t兩邊對變量t求導(這里把m看作t的函數,運用復合函數求導法則即可) 得:m′(1-lnm)-m′=1,故m′=-,同理n′=

上述借助隱函數求導的方法一次性解決了2＜m+n ＜e 的證明問題,這為我們解決極值點偏移問題提供了新的思路.無獨有偶,筆者旁聽了2023 年廣東省青年教師技能大賽的說題過程,也是一道極值點偏移問題,題目如下:

例2已知函數f(x)=lnx-ax有兩個零點x1,x2,且x1＜x2.

(1)求a的取值范圍;

(2)證明:隨著a的增大而減小;

(3)證明:x1x2＞e2.

解(1)f(x)=lnx-ax=0? a=,設g(x)=,由g′(x)=知g(x) 在(0,e) 上單調遞增,在(e,+∞) 上單調遞減.并且當x ∈(0,1] 時,g(x) ≤0;當x ∈(1,+∞) 時,g(x)＞0.由已知x1,x2滿足a=g(x1)=g(x2).由此可得0＜ a ＜且1＜x1＜e＜x2.

對于第二問,22 位省青賽選手有4 位完全沒有解出,還有11 位選手直接將x1,x2轉化為直線y=a和g(x)=的交點橫坐標,然后根據g(x)=的圖象得出結果(容易看到當a增大時,x1增大,而x2減小),直接以數形結合代替證明,卻并未給出嚴格的證明.剩下7 位選手有些證明也比較復雜.有一種將圖形語言轉化為符號語言的證明如下:

至于第三問,評委們向部分選手提出了更一般的問題:x1x2會是a的單調函數嗎? 為此我們繼續采用隱函數求導的方式求解.設φ(a)=x1x2,則

從而φ′(a)＜0,x1x2隨著a的增大而減小,從而x1x2＞e2.

二、隱函數求導解決極值點偏移問題方法舉例

例3 (2023 年廣東大灣區一模第22 題) 已知函數f(x)=

(1)討論f(x)的單調性;

(2)設a,b是兩個不相等的正數,且a+lnb=b+lna,證明:a+b+lnab ＞2.

例4(2021 年汕頭一模)已知函數f(x)=x-lnx-a有兩個相異零點為x1,x2(x1＜x2).

(1)求a的取值范圍;

評注本題欲證的結果中含有參數a,不太容易處理,參考答案的做法是用x1-lnx1=a將a替換后構造函數,比較復雜,這里采用隱函數求導,將含參數的極值點偏移問題轉化為不含參數的極值點偏移問題,證法比參考答案要簡單一些.

仿照例4 的做法,隱函數求導還可以用在拐點偏移的問題上.

例5已知函數f(x)=xlnx-+(a-1)x(a ∈R).

(1)若f(x)有兩個極值點x1,x2,求a的取值范圍;

(2)在(1)的條件下,證明:f(x1)+f(x2)＞2a-3.

因為f′(x1)=lnx1-x1+a=0,故φ′(a)=x1,同理δ(a)=f(x2),則δ′(a)=x2,設h(a)=f(x1)+f(x2)-2a+3,則h′(a)=x1+x2-2＞0,即h(a)在(1,+∞)上遞增,從而h(a)＞h(1)=0.

從上述問題看出,對于一些比較復雜的多變量的問題,我們不妨從隱函數的角度去思考求解有時會更容易(當然不是所有的極值點偏移問題采用這種方法都容易),這樣可以加深對函數概念的理解,提高學生的思維水平.