新高考抽象函數試題的解法探討和教學啟示

廣東省中山市華僑中學(528400) 魏鈺婷

抽象函數是高考中的熱點,在近幾年的新高考試卷中都能看到它的“身影”.抽象函數由于沒有具體的函數解析式作為載體,理解和研究起來比較困難.解題時需要學生具備嚴謹的邏輯推理能力、豐富的想象力和靈活的知識運用能力.以下對近三年來新高考試卷中的三道抽象函數問題進行解法探討,尋找突破這一重點難點的方法和規律.

一、試題分析

例1(2023 年新高考Ⅰ卷第11 題)已知函數f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則().

A.f(0)=0

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數

D.x=0 為f(x)的極小值點

解析思路一.利用賦值法對選項A，B，C 進行判斷.令x=y=0,則f(0)=0,故A 正確;令x=y=1,則f(1)=f(1)+f(1),得f(1)=0,故B 正確;為了判斷奇偶性,令y=-1,則f(-x)=f(x)+x2f(-1),需要求出f(-1),令x=y=-1,則f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),即f(-1)=0,從而f(-x)=f(x),又因為f(x)的定義域為R,所以f(x)為偶函數,故C 正確;接著利用特殊函數舉反例排除D 選項,顯然函數f(x)=0 符合題設條件,但此時f(x)無極值,故D 錯誤;故本題正確答案為A，B，C.

圖1

例2(2022 年新高考Ⅱ卷第8 題)已知函數f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則=().

A.-3 B.-2 C.0 D.1

解析思路一.采取賦值法和歸納法發現規律,令x=1,y=0 可得,2f(1)=f(1)·f(0),所以f(0)=2;令x=y=1 可得,f(2)+f(0)=f(1)·f(1)=1,所以f(2)=-1;令x=2,y=1 可得,f(3)+f(1)=f(2)·f(1)=-1,所以f(3)=-2;類似可求得f(4)=-1,f(5)=1,f(6)=2,f(7)=1...觀察可以發現f(x)以6 為周期,又因為一個周期內的f(1)+f(2)+···+f(6)=0,由于22 除以6 余4,所以=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故選: A.

思路二.在賦值中發現函數的奇偶性和周期性,令x=1,y=0 可得,2f(1)=f(1)·f(0),所以f(0)=2;令x=0 可得,f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以f(x)為偶函數;令y=1 可得,

(1) +(2) 可知f(x+2)=-f(x-1),從而f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以f(x)的一個周期為6.剩余步驟同思路一.

思路三.尋找滿足性質的特殊函數,由條件聯想到余弦和差化積公式cos(x+y)+cos(x-y)=2 cosx· cosy,可 設f(x)=acosωx,由思路一中f(0)=2,f(1)=1 可知a=2,acosω=1,則cosω=取ω=所以f(x)=則

圖2

經檢驗f(x)=符合條件,f(x)的周期6,剩余可結合右圖2 求解.

例3(2021 年新高考Ⅱ卷第8 題)已知函數f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,則().

A.f(-)=0 B.f(-1)=0

C.f(2)=0 D.f(4)=0

解析思路一.利用賦值法尋找兩式的聯系,因為函數f(2x+1)為奇函數,則

(1)式中令x=0 可得,f(1)=-f(1),則f(1)=0;又因為函數f(x+2)為偶函數,則

(2)式中令x=1 可得,f(3)=f(1)=0;繼續在(1)式中令x=1 可得,f(-1)=-f(3)=0,B 選項正確.

思路二.在代換中發現函數的周期性,因為函數f(2x+1)為奇函數,則

又因為函數f(x+2)為偶函數,則

如何將兩個等式聯系起來? 可以進行以下代換: (1)式中用x替換2x可得

(2)式中用x+1 替換x可得

由(3) 和(4) 可得f(x+3)=-f(x+1),故f(x+4)=-f(x+2),且f(x+2)=-f(x),從而f(x+4)=f(x),則f(x)是以4 為周期的函數.而F(x)=f(2x+1)為定義在R上的奇函數,則F(0)=f(1)=0;故f(-1)=-f(1)=0,其它三個選項未知.

圖3

思路三.結合圖象尋找符合條件的特殊函數,因為將f(x+2) 的圖象向右平移2 個單位可得到f(x),而f(x+2)為偶函數(關于y軸對稱),則f(x) 關于直線x=2 對稱;又因為將f(2x+1)橫坐標伸長為原來的2 倍可得到f(x+1)的圖象,繼續將f(x+1)的圖象向右平移1 個單位可以得到f(x)的圖象,而f(2x+1)為奇函數(關于原點對稱),則f(x)關于點(1,0)對稱;聯想同時具有軸對稱和中心對稱性質的正余弦函數,可假設f(x)=cosωx,如右圖3 所示.由圖易知T=4,即ω=則f(x)=,將四個選項逐一代入可發現僅有選項B 是正確的.

二、試題特點

從上述試題來看,抽象函數的問題在高考中往往出現在選擇題壓軸的位置,尤其2023 年新高考Ⅰ卷的試題還是多選題的壓軸題,難度不小.從考查內容來看,抽象函數問題是考查學生對函數性質、函數圖象、導數等內容掌握程度的載體.從解題方法來看,可采取賦值、特殊函數舉例、抽象性質分析等方法突破.試題兼具了基礎性、綜合性和創新性的要求,考查了學生分析問題和解決問題的能力,考查了數學抽象、邏輯推理、數學運算素養,充分體現了高考評價體系對核心素養、關鍵能力和必備知識的要求[1].

函數作為高中數學的主線之一,其重要性是不言而喻的.函數思想可以幫助學生提高思維能力,是學生形成良好數學認知的紐帶[2].大學數學中,函數依舊是一個核心概念,它貫穿了微積分、線性代數和概率論等學科.因此,高中階段的學習者應該理解函數的本質、洞悉函數的性質、熟練掌握用函數圖象研究函數的方法,為后續的學習和終身發展打下牢固的基礎[3].

三、教學啟示

(一)結合實例探究函數性質

《課標》中強調通過具體實例了解指對冪函數和三角函數的性質.課堂上教師可以通過問題串的方式幫助學生更好地理解賦值法和特殊函數舉例法.一方面可以給出抽象的函數性質,引導學生分析函數特點,尋找滿足相應性質的具體函數;另一方面可給出具體的函數,讓學生嘗試用抽象的表達式刻畫該函數的性質,如下表1 所示.

表1

(二)針對易錯辨析函數性質

理解函數的定義、熟練地進行運算是學習抽象函數的基礎.學生在函數的學習中常常因為概念理解不清而出現錯誤,比如容易將函數f(x+1) 是奇函數錯誤地翻譯成f(x+1)=-f(-(x+1)),此時教師應提醒學生抓住函數“對應”的本質,設g(x)=f(x+1),若g(x) 為奇函數,則g(x)=-g(-x),也即f(x+1)=-f(-x+1).學生也容易因為對充要條件理解不到位而出現運算錯誤,比如“函數f(x)滿足性質f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),則f(0)=1”是一個錯誤的命題.但學生在令x=y=0 后得到2f(0)=2f(0)·f(0),很容易將兩邊的f(0)約去而得到f(0)=1.同時學生還容易因為聯想到函數f(x)=cosx而認為f(0)=1 是正確的.此時教師應該指出f(x)=0 也能滿足本題的條件,但f(0)=0.

(三)抽象迭代歸納函數性質

學習抽象函數要善于歸納函數性質,將相關知識點進行梳理才能形成系統的知識框架.教師在函數性質教學時應該有意識地引導學生對性質進行推廣,理解周期性的多種表現形式,洞悉對稱性和周期性之間的聯系等.例如對于周期性,有如表2 的推廣.

表2

(四)借助圖象理解函數性質

抽象函數問題通常較為靈活,教師要引導學生在同類型問題的比較中總結和發現規律,要注重方法的運用和思路的拓展,可以積累一些解題技巧,比如賦值法、特殊函數舉例法、抽象性質推導法等.這些方法共同都指向了研究函數的兩條路徑,即代數法和圖象法.通過函數圖象,可以清晰地看到函數的幾何特征和數量特征,比如函數是否過定點、是否有周期規律、是否具有對稱性質、在不同區間的單調性又是如何.當函數的性質在數與形的結合中生動直觀地展現在眼前了,抽象函數也不再抽象.