2023 年高考新課標Ⅰ卷第9 題的探究與備考啟示

廣東省佛山市樂從中學(528315) 林國紅

一、試題呈現

題目(2023 年高考新課標Ⅰ卷第9 題)有一組樣本數據x1,x2,···,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則().

A.x2,x3,x4,x5的平均數等于x1,x2,···,x6的平均數

B.x2,x3,x4,x5的中位數等于x1,x2,···,x6的中位數

C.x2,x3,x4,x5的標準差不小于的標準差

D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,···,x6的極差

本題是多項選擇題,試題突出基礎性要求,考查樣本數據的基本數字特征,考查考生對樣本的平均數、標準差、中位數、極差概念的理解和掌握,不僅注重試題的基礎性,而且使基礎知識的考查和能力的考查有機結合,較好地體現了統計中數字特征的核心內容和基本思想方法的考查,對于考生運用數學知識,尋找合理的解題策略以及推理論證和運算能力有較高的要求.

二、試題的解答

解析對于選項A:設x2,x3,x4,x5的平均數為m,x1,x2,···,x6的平均數為n,則

因為不能確定2(x1+x6),x2+x3+x4+x5的大小關系,所以無法判斷m,n的大小.例如: 1,2,3,4,5,6,可得m=n=3.5;又如1,1,1,1,1,7,可得m=1,n=2;再如1,2,2,2,2,2,可得m=2,n=;故A 錯誤.

對于選項B:不妨設x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,可知x2,x3,x4,x5的中位數等于x1,x2,···,x6的中位數均為,故B 正確.

對于選項D:不妨設x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,則x6-x1≥x5-x2,當且僅當x1=x2,x5=x6時,等號成立,故D 正確.故選: B,D.

評注本題根據平均數、中位數、標準差、極差的定義逐項分析判斷即可.另外,作為多項選擇題也可以用排除法作答: 取x1,x2,···,x6為1,1,1,1,1,7,則x2,x3,x4,x5的平均數為1,x1,x2,···,x6的平均數為2,故A 錯誤;x2,x3,x4,x5的標準差為0,x1,x2,···,x6的標準差顯然大于0,故C 錯誤,所以只能選BD.

三、選項C 的探究

選項C 表明: 樣本數據x1,x2,···,x6去掉最大值和最小值后,標準差不大于原來的標準差.這個事實看起來自然,但是要怎么嚴格證明呢?

證法1為證明上述命題,先給出引理1 與引理2:

評注引理1 實際上是教材(人教A 版2019 年版)必修第二冊213 頁練習題的第2 題,此性質稱為方差的平移不變性.

證法2為證明上述命題,先給出引理3:

等號當xk ∈{x1,xn},且x1+xn=0 時取得.

綜上,引理3 得證.

綜上所述,命題得證.

評注當x1≤x2≤··· ≤x6時,由命題可知,x2,x3,x4,x5的方差不大于x1,x2,···,x6的方差,即x2,x3,x4,x5的標準差不大于x1,x2,···,x6的標準差(取等條件為一半數為最大數且另一半數為最小數),所以原試題的選項C 是錯誤的.

《普通高中數學課程標準(2017 年版,2020 年修訂)》中多次出現“情境”一詞,《中國高考評價體系》也規定了高考的考查載體——情境,并以此承載考查內容,實現考查要求.數學情境是高考評價體系中最重要的創新之一,是實現“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的考查目標的載體.數學試題情境一般取材于學生生活中的真實問題,貼近學生實際,具有現實意義,具備研究價值.本題的情境是學生所熟悉的,源于比賽或評比中常用的“去掉一個最高分,去掉一個最低分”的計分方式,引導考生從數學上思考這種計分方式的合理性.對于選項C,去掉最高分和最低分后,新樣本的標準差總是不大于原標本的標準差,且在很多情形下,小于原樣本的標準差,這符合考生的直觀判斷,也說明了在比賽打分去掉最高分和最低分后,總的來說可能降低數據的分散程度和波動性,從而提高評分的合理性.

四、追本溯源

問“題”那得清如許,唯有源頭活水來.

題源(2021 年全國新高考Ⅰ卷9) 有一組樣本數據x1,x2,···,xn,由這組數據得到新樣本數據y1,y2,···,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,···,n),c為非零常數,則().

A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣本數據的樣本極差相同

可以看出今年考題的“母題”來源于上述高考題,兩題的考查內容基本是一致的,只是將原考題進行適當的改編,賦于更豐富的知識,并增加難度而已.傳承試題,又適度創新!這說明命題專家很重視命題的相互借鑒,所以在高考的備考中,適當加入高考真題的訓練的必要的,特別是近幾年的高考真題.

五、鏈接高考

在統計模塊中,“三數(平均數、中位數、眾數)”與“三差(方差、標準差、極差)”相關類型的考題是高考中的重要考點,備受命題者青睞.為了凸現考題的有跡可循,把握復習的側重點,提高復習效率,下面給出近三年全國卷相關的高考試題,以供參考.

1.(2023 年高考全國甲卷文19)一項試驗旨在研究臭氧效應,試驗方案如下: 選40 只小白鼠,隨機地將其中20 只分配到試驗組,另外20 只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境,對照組的小白鼠飼養在正常環境,一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量(單位: g).試驗結果如下:

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

(1)計算試驗組的樣本平均數;

(2)(i)求40 只小白鼠體重的增加量的中位數m,再分別統計兩樣本中小于m與不小于m的數據的個數,完成如下列聯表.

(ii)根據(i)中的列聯表,能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異?

2.(2023 年高考全國乙卷文/理17)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,進行10 次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,···,10).試驗結果如下:

記zi=xi-yi(i=1,2,···,10),記z1,z2,···,z10的樣本平均數為樣本方差為s2.

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如果則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高,否則不認為有顯著提高).

3.(2022 年高考全國甲卷文/理2)某社區通過公益講座以及普及社區居民的垃圾分類知識.為了解講座效果,隨機抽取10 位社區居民,讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷,這10 位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:則().

A.講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

4.(2022 年高考全國乙卷文4)分別統計了甲、乙兩位同學16 周的各周課外體育運動時長(單位: h),得如下莖葉圖:

則下列結論中錯誤的是().

A.甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數為7.4

B.乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數大于8

C.甲同學周課外體育運動時長大于8 的概率的估計值大于0.4

D.乙同學周課外體育運動時長大于8 的概率的估計值大于0.6

5.(2021 年全國新高考Ⅱ卷9)下列統計量中,能度量樣本x1,x2,···,xn的離散程度的是().

A.樣本x1,x2,···,xn的標準差

B.樣本x1,x2,···,xn的中位數

C.樣本x1,x2,···,xn的極差

D.樣本x1,x2,···,xn的平均數

6.(2021 年全國乙卷文/理科17)某廠研制了一種生產高精產品的設備,為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高,用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10 件產品,得到各件產品該項指標數據如下:

高考試題是精心之作,具有典型性、示范性和權威性.高考題除了具有測試與選拔功能外,還具有良好的教學功能,要了解高考動向、把握高考脈搏,高考試題的研究分析是重要的路徑.所以在復習中,要加強高考題的滲透,通過高考真題的訓練體會命題思想,善于作解后反思,方法的歸類,并對試題進行挖掘、拓展、引申,擴大高考題的輻射面,從而實現高考試題功能的最大化、最優化.

六、統計模塊的備考啟示

1.夯實基礎,注重對數學概念的教學

高考對統計內容的考查,雖然試題千變萬化,但都以基礎概念、基礎知識、基本思想為基礎,所以在復習中要以課程標準為軸,圍繞教材,對重點概念強化復習,夯實基礎知識.統計中的概念眾多,在復習備考過程中引導學生回歸教材,對教材中的基本概念進行梳理.下面的主線可以將統計的有關概念串聯起來: 統計的基本研究過程: 收集數據→整理數據→分析數據→統計推斷.

2.加強數據處理能力和運算能力的培養

課程標準對能力的要求有空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識.其中“數據處理能力”是指: 會收集、整理、分析數據,能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息,并做出判斷.選擇合適的統計方法整理數據,并構建模型對數據進行分析、推斷,獲得結論.“運算求解能力”是指: 會根據法則、公式進行正確運算、變形、和數據處理,能根據問題的條件尋找合理、簡捷的運算途徑,能根據要求對數據進行估計和近似計算.運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力,也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.

統計問題的核心是樣本數據的收集和處理方法,這也是高考考查的核心體現,所以在教學中要加強數據處理能力和運算能力的培養.數據處理的一般過程是: 用抽樣方法收集數據,用統計圖表整理數據,用數字特征分析數據,用估計思想作出推斷.即“圖表→信息→公式→模型”,體現了數據處理的四個層次.

3.加強閱讀理解能力的培養

高考在統計方面的命題常以應用題為載體,重視統計的理論知識與實際生活相結合,題材內容豐富,注重考查考生的應用意識、閱讀理解能力、分類討論與化歸轉化能力,往往考題的文字描述多,對考生的閱讀理解能力要求高.所以要加強閱讀理解能力的培養,重視審題教學,教會學生準確理解題意,能從大量的信息中提取對研究問題有效的信息,并做出判斷,這是數據處理能力的基本要求.

4.注重數學核心素養的培養及數學思想方法的滲透

高考命題的趨勢是以知識為載體,能力立意,思想方法為靈魂,核心素養為統領.統計的命題兼顧基礎性、綜合性、應用性和創新性,以此展現數學的科學價值和人文價值,在全面考查綜合數學素養的基礎上區分考生的數學能力的差異.因此教師在統計復習時,要結合相應的教學內容,落實“四基”,培養“四能”,適當滲透數學思想方法(如數學建模、轉化與化歸、分類討論等思想)促進學生數學核心素養(如數據分析與處理、數學運算等)的形成與發展.

5.認真研究考題,把握高考命題方向

把脈高考命題方向是每位教師備考時的一項重要工作,近幾年高考對統計方面的考查內容和方向變化不大,保持較高的穩定性.主要考查統計中的基本概念,抽樣方法,樣本的數字特征,頻率分布直方圖,莖葉圖,獨立性檢驗與回歸方程等知識的應用、決策問題.復習時要做好近年高考題的歸類整理,備考選題以全國卷為主,分類分組訓練,避免知識類型的“盲區”,并領會題目所蘊含的數學思想與方法.