算法與算理相結合提升問題解決能力

摘要 問題解決能力是一個學生具有數學核心素養的重要體現。通過經歷解決真實情境中真實問題的過程，明晰研究對象和問題，小組合作探究不同的問題解決方法，歸納概括并理解算理的一致性，優化、選擇問題解決的最優策略，感悟數學知識的應用價值。

關鍵詞 小數乘法 運算方法 算理 問題解決

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力。[1]8運算能力的培養，首先是明晰運算的對象和意義，并能理解運算的問題；其次是理解算法與算理之間的關系，選擇合理簡潔的運算策略解決問題，發展學生的推理意識。本節內容選自北京師范大學出版社《義務教育教科書·數學》（四年級·下冊）第三單元中“小數乘法”[2]，該單元內容是新課標中“數與代數”領域課程內容的重要組成部分。小數乘法以整數乘法為基礎，其運算方法、運算意義是一致的。本研究旨在通過真實問題解決，深化對小數乘法算理的理解和認識，進一步鞏固小數乘法的運算方法，核心內容是探究不同運算方法與算理之間的關系，從而能優化、選擇運算策略，感受數學知識的應用價值。

一、教學目標設計

1.通過明晰真實情境中的運算對象和問題，探究解決問題的方法，經歷從已知走向未知的過程，初步具備多種方法解決真實問題的能力。

2.通過對算法的觀察分析，理解不同算法的算理的一致性，初步理解算法與算理的關系。

3.通過明晰算理，優化、選擇問題解決的最優策略，感受數學知識的應用價值。

二、教學過程設計

（一）創設情境，明晰對象和問題

【情境】某縣正在創建全國文明城市，增加居民的活動空間，提升居民生活的幸福指數，預建設若干個健身廣場。展示其中一個健身廣場的平面設計圖。廣場的長、寬分別為30米、20米，計劃在廣場中修建4個花壇，每個花壇的長、寬分別為3米、2米，花壇以外的部分鋪設長、寬分別為0.3米、0.2米的地磚。

問題1：廣場、花壇的占地面積分別是多少？需要多少塊地磚？

設計意圖：通過創設真實情境，激發學生的數學學習興趣，培養學生觀察、提取數學信息的能力，明確情境中的研究對象分別是廣場、花壇和地磚。通過問題驅動，明確所要解決的數學問題是地磚的數量。根據題目中數字信息，為學習小數乘法做鋪墊。

（二）小組合作，探究算法

[師]地磚鋪在廣場上除花壇以外的空白區域。因此，要想知道地磚的數量，需要知道花壇以外空白區域的面積。根據前面所學習的長方形的面積公式，回答下列問題。

問題2：廣場和花壇的面積分別是多少？鋪磚區域的面積是多少？

[生]廣場的面積為：30×20=600（平方米）；花壇的面積為：4×3×2=24（平方米）；鋪磚區域的面積為：600－24=576（平方米）。

問題3：已知鋪磚區域的面積，如果施工單位要計算需要地磚的數量，還需要知道什么？

[生]還需要知道每一塊地磚的面積。

追問：地磚的長、寬分別為0.3米、0.2米，那么一塊地磚的面積如何計算？

學習活動：以小組為單位，自主探究地磚數量或地磚面積的計算方法。

【學生展示探究結果】

方法一：單位換算法，如圖1所示。首先將單位米轉換為分米，再進行面積計算，0.3米=3分米，0.2米=2分米，3×2=6（平方分米）；然后根據平方米與平方分米之間的進率是100，將面積單位由平方分米轉化為平方米，6÷100=0.06（平方米），所以6平方分米=0.06平方米。

方法二：面積模型法，如圖2所示。將邊長為1米的正方形的邊長進行10等分，得到100個邊長為0.1米的小正方形。因此，0.3米就是三個小正方形的邊長，0.2米就是2個小正方形的邊長。通過畫圖得到6個小正方形，1個小正方形的面積是0.01平方米，6個小正方形面積就是0.06平方米。

設計意圖：通過問題1、問題2及追問的持續驅動，引導學生從題目的已知條件逐漸向待計算結果過渡，最終引出本節課的重點內容——“小數乘以小數”的計算。學生以小組為單位，根據已學知識探究地磚面積的計算方法，經歷將未知轉化為已知的過程，體會知識間的聯系，進一步掌握算法，領悟“轉化”思想。

（三）歸納概括，理解算理

問題4：觀察上面兩種計算方法，它們之間有什么共性？

學習活動：小組討論交流，歸納出兩種計算方法的相同點。

[生]兩種計算方法都是將未知轉化成了已知的計算，即將“小數乘以小數”轉化為“整數乘以整數”，0.3×0.2轉化為3×2。

追問1：在兩種算法中，6分別表示什么？

[生]在方法一中是6平方分米，6÷100=0.06，6平方分米=0.06平方米；在方法二中是6個小正方形，就是6個0.01，是0.06平方米。

追問2：通過兩種計算方法計算后，得到的新單位分別是什么？

[生]在方法一中，1分米乘以1分米等于1平方分米，1平方分米÷100=0.01平方米；在方法二中，0.01是1個正方形面積，作為新單位。

追問3：“÷100”和“×0.01”是一樣的意思嗎？

[生]“÷100”和“×0.01”都表示把1平均分成100份，其中的一份是一百分之一。雖然它們的表達形式不一樣，但是意思是一樣的。

設計意圖：通過歸納概括兩種計算方法的相同點，尋找不同方法間的聯系，明確小數乘法可能產生新的計數單位[3]，引導學生深度學習，理解不同方法背后的道理。體會小數乘法轉化為整數乘法計算的合理性，實現算理上的一致[4]。感悟運算的一致性，為進一步探索小數乘以小數的計算方法積累經驗，促進學生運算能力的進階發展。

（四）明晰算理，選擇最優運算策略

問題5：在理解算理時，兩種計算方法均是將“小數乘以小數”轉化為“整數乘以整數”。那么，轉化為整數后，小數的位數如何在積中體現出來呢？

學習活動：計算0.3×0.2，0.4×0.13，0.13×0.22，學生計算后展示交流自己的想法。

[生]0.3×0.2=0.06，0.4×0.13=0.052，0.13×0.22=0.0286，通過積的小數位數和乘數小數位數比較后，可以發現，積的小數位數等于乘數的小數位數之和。

追問：分析上述兩種算法和算理，如何確定小數位數？

[生]先把小數轉化成整數，然后根據乘數的小數位數確定積的小數位數。

設計意圖：通過運用規律自主計算相似題目，在進一步觀察、交流中明晰積的小數位數與乘數的小數位數之間的關系，總結歸納小數乘以小數的計算方法，最終形成通法，由一個問題的解決走向一類問題的解決，培養學生的運算能力不斷進階。

（五）解決真實問題，感受知識價值

問題6：請你幫助施工隊計算一下，理論上需要多少塊地磚？（寫出算式即可）

[生]根據除法法則，地磚數量=鋪磚區域面積÷每塊地磚面積=576÷0.06。

設計意圖：通過計算所需要地磚的數量，與情境問題前后相呼應，解決學生心中的疑慮，體會數學知識在解決真實問題中的重要價值，初步形成規范思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神。由于該計算式涉及小數除法問題，所以學生能寫出計算式即可，由教師直接給出答案。

三、教學反思

（一）創設生活情境，喚醒學生問題意識

新課標倡導要注重學生在真實情境中解決問題，讓學生感受數學的應用價值。教學初始，教師創設貼近生活實際、真實的“文明城市創建”情境，激發學生探究問題的欲望，讓學生明確研究對象和意義，理解所要研究的問題。

（二）通過小組合作，發展學生解決問題能力

小組合作進行交流討論是學生間進行思維碰撞的重要學習活動形式。文中在環節二、環節三、環節四均采用了小組合作形式。環節二中通過小組合作碰撞出了兩種小數乘法的計算方法，環節三在環節二的基礎上進行深入研究，理解算理，環節四進一步通過實例分析比較，選擇最優的計算策略，促進了學生對小數乘法算理的理解和認識。

（三）通過真實問題解決，促進數學素養發展

與現實生產生活相關聯，并能解決真實情境中的真實問題，這是數學知識存在價值的重要體現。運算一致性是指運算之間是有一致或相通的聯系。學生通過解決真實情境中的真實問題，感悟數的運算之間的關系，體會數的運算在本質上的一致性，這有助于發展運算能力和推理意識。課堂上教師從運算意義、算理算法兩個層面引導學生感悟小數乘法和整數乘法意義的一致性，對比單位換算法、面積模型法等多種方法，溝通算理與算法，揭示小數乘法與整數乘法運算在本質上的一致性，即轉化為整數乘法來計算，從而優化了算法，發展了運算能力及推理意識。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]劉堅，孔企平，張丹.義務教育教科書·數學（四年級·下冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2013：33-48.

[3]周冬梅，劉延革，李文會，等.將未知轉化為已知，初悟運算的一致性：“小數乘法（第二課時）”教學實踐與思考[J].小學教學（數學版），2023（9）：19-21.

[4]葉錫青，邵漢民.利用小數意義實現算理一致：人教版五上“小數乘法筆算”教學實踐[J].小學數學教師，2023（Z1）：160-164.

（責任編輯：姜顯光）