一道等軸雙曲線定值問題的探究

華南師范大學數學科學學院(510631) 鄧清睿

廣州大學附屬中學(510000) 王守亮

1 問題背景

圓錐曲線問題是歷年來熱門的探究問題,主要涉及: 求解各類曲線方程、求解最值問題、求解離心率取值范圍以及定點定值的證明問題等.等軸雙曲線是雙曲線的特例,過去在等軸雙曲線與其他幾何圖形位置關系的探究方面也取得了一些成果[1]-[4],包括: 等軸雙曲線上四點共圓的充要條件;等軸雙曲線上點到特殊點的距離成等比數列的延伸結論;等軸雙曲線與圓交點距離平方和的定值問題及與特殊圓交點滿足的幾何關系;借助反比例函數探究等軸雙曲線的相關問題等.本文僅針對第二問展開解法研究與問題推廣.

2 解法分析

題目已知等軸雙曲線C的中心為坐標原點O,焦點在x軸上,且焦點到漸近線的距離為

(2)若C上有兩點P,Q滿足∠POQ=45°,證明:是定值.

第(1)問已得C的方程為x2-y2=2,本文給出(2)的三種證明方法.

圖1

注記2證法2 巧妙地運用了參數方程,用含參變量t1、t2及α的關系式分別表示點P、Q的橫、縱坐標,進而消參求解,計算量比證法1 少,且消參的關鍵在于∠POQ=45°.

注記3證法3 按常規做法表示出直線OP、OQ的方程,用含參變量k表示點P、Q的坐標,進而表示出|OP|2、|OQ|2,從而消參求解,計算量比證法2 略大,比證法1 略少.

注記4.在題干條件下,x1y1x2y2=-1.

3 推廣結論

這部分針對試題和文獻結果給出3 個新結論.

4 結論證明

1.僅證明1○、3○?2○與2○、3○?1○.

證明1○、3○?2○.(僅證C:x2-y2=-m(m ＞0)的情形).