構圖藝術中的數學:黃金分割

張維忠 林夢奇

(浙江師范大學教育學院 321004)

當你繪制一幅圖畫時,你會如何使這幅畫更美?會將人物和景點鋪滿整個畫面,還是根據畫面的意境將人與景放在一定的位置上?會使這幅畫中所有的顏色占相同的面積,還是根據繪畫的內容確定顏色的搭配與比例?

不妨先來看看中國古代畫家是通過怎樣的構圖,使作品更加具有美感的．《溪山行旅圖》(圖1)是北宋山水畫家范寬的代表作,被董其昌譽為“宋畫第一”,在構圖、技法、墨色等方面都體現了其高超的造詣．畫中的巨峰巍然聳立,占據畫面的三分之二．山腳在畫面三分之一處,近處大石兀立、老樹挺立、溪水潺潺、霧氣氤氳．山路上一隊旅人趕著四頭驢走過,呈現一幅夏日山陰趕路圖,人畜雖皆畫得小如蟻,卻真實生動．如此豐富的景觀位于畫面的三分之一處,與占據全圖三分之二的山峰形成小與大、復雜與單純的對比,有如天地與蒼生之間的關系,一種天人呼應的崇高美感油然而生．

圖1 溪山行旅圖

范寬在構圖時緊緊抓住了近似1∶2的比例,使畫面整體和諧而又氣勢磅礴．通過精確的測量我們發現,這個比例大約為0.618．這個比例像詩一樣美妙,也被稱作“黃金分割”．利用黃金分割進行構圖的“黃金分割構圖法”被廣泛應用于中西方繪畫作品中,使畫面給人自然、舒適、妙不可言的感覺．除了構圖藝術中的應用,黃金分割還應用于美學、生物學、生產生活等各個領域．黃金分割從何而來?又是怎樣給人帶來美的感受?讓我們來一起探尋“美的密碼”——黃金分割．

1 黃金分割與黃金圖形

1.1 黃金分割

據說在古希臘時期,一天數學家畢達哥拉斯(Pythagoras,前580?—前500?)走在大街上,當經過鐵匠鋪時,他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽,便駐足傾聽．他發現鐵匠打鐵的節奏很有規律,這個節奏的比例被畢達哥拉斯用數學的方式表達出來,即黃金分割．

圖2

在西方數學傳入中國之前,中國人不曾直接論述黃金分割．但是在中國古代數學中也有記載,且實際上也蘊含著黃金分割,只是表達方式有所不同．中國古代數學中的黃金分割不像西方數學中演繹得清楚明白,但仍可以從許多中國古代的例子中推導和演繹出黃金分割．從勾股定理到《周易》的“大衍之數五十,其用四十有九”;從《河圖》《洛書》神秘的數字組合圖案到“賈憲三角形”的各項系數;從老子“三生萬物”的數字級數到中醫“五運六氣”學說的主運模式,無不滲透著黃金分割的思想．李廷基、梅文鼎、楊作枚等清初歷算學家在《幾何原本》的基礎上,結合自身認識對黃金分割進行推理論證,展現出中國算術特有的論證模式．與西方對其理解運用不同,中國的算術學更加注重數學的應用性[2]．雖然中國古代對黃金分割的研究沒有古希臘早,但它是由中國古代數學家獨立創造的,后來傳入了印度、阿拉伯等國家．在文藝復興時期前后,黃金分割又被阿拉伯人傳入了歐洲,被稱為最神圣的比例．而后這一數學命題又與著名的斐波那契數列聯系起來,從而獲得許多新的性質．

1.2 黃金圖形

有一些圖形的邊角關系中也暗含著近似0.618的比例,這樣的圖形被稱作“黃金圖形”．

圖3

2 中國古代國畫中的構圖奧秘

《溪山行旅圖》(圖1)整體采用的是中軸式、巨碑式構圖,層次分明,中正平衡,畫面樸實穩定,比例精妙．山腳的樹木將整體畫面按黃金分割進行劃分,這樣精確的比例分割,使主體突出,對比強烈．遠景山形圓渾,占滿了畫面的約0.618,中峰巍峨,頂天立地,雄偉壯觀．在有限的畫布上繪出了天地自然的宏大,滿幅的效果,充斥著永恒、穩定、包容的視覺感．圖中山體右側的山澗中有一條瀑布直瀉而下,峻厚的山巒長著茂密的樹木,巖石的皴紋歷歷可辨,顯示出逼人的磅礴氣勢．對畫面主體山巒的外輪廓進行切割,一個矩形被劃分了出來．其頂部的短邊是基于山體頂部的最高點畫成的,短邊與長邊之比與黃金比例相差無幾,構成了一個和諧的黃金矩形．而這個黃金矩形也恰好包含了這幅作品中的主要表現對象．

“古人有法而不言法”．雖然沒有史料可以佐證范寬對黃金分割的具體運用,但從其畫作中卻可以看到他對黃金比例的細致把握．這些黃金比例的關系,或許是范寬憑借著絕佳的審美直覺,研究出的美的數學比例．原來,這些令人賞心悅目的作品背后還隱藏著數學的密碼．

除了《溪山行旅圖》,許多著名國畫中都巧妙地運用了黃金分割,使作品具有藝術性、和諧性．被譽為“畫中之蘭亭”的《富春山居圖》(圖4)用墨淡雅,節奏變化豐富．作者黃公望以浙江的富春江為背景,善用黃金比例,使景與留白、山與水之間的比例疏密得當,畫面呈現一種極致的美感．北宋著名畫家郭熙的《早春圖》(圖5),其主山與全山的比例中也蘊含著黃金分割[3]．畫面氣勢渾成,情趣盎然,表現了初春時北方高山大壑的雄偉氣勢,渲染出畫面寧謐而生機勃勃的氛圍．

圖4 富春山居圖

中國十大傳世名畫之一《千里江山圖》(圖6)畫面色調明亮、層次分明．底色與藍綠色的面積比、山石中綠色與藍色的面積比,整個畫面的色調都在巧妙地運用黃金分割．王希孟的創作細致入微,不愧為集北宋以來水墨山水畫之大成．黃金比例的靈活運用能夠使畫面關系明確、主次分明,給人以自然舒適、和諧愉悅之感．

中國古代畫家們雖然沒有明確提出黃金分割法的使用,但是從流傳的作品中可以看到,在他們的藝術實踐中細致地把握著這一數學的黃金原則．黃金分割法的使用,從內容到色彩,大到整個畫面,小到把握一根線條,無處不在．

3 黃金分割構圖法

3.1 畫家如何利用黃金分割構圖

黃金分割在數學中是非常準確的數值,但在藝術中并不能機械地運用,數學是理性的,藝術是感性的,藝術只要大概符合這個比例即可．在黃金分割構圖(圖7)的基礎上,衍生出九宮格構圖法(圖8)、黃金螺旋線構圖法、對角線構圖法等方法．

圖7 黃金分割構圖法

其實,在中國傳統繪畫中就有類似黃金分割的論述,在中國的《畫論》中叫做“三七停”．三七停構圖先用黃金分割將畫面橫豎各分成3份,取 1∶0.618的點,而繪制出九宮格圖．主體可以處于中間的任意一交點上,打破畫面的均衡,也易于形成韻律節奏,使畫面活靈活現．但這樣的方法實際操作起來確有不便,因此,常用三等分九宮格．這種繪畫的構圖方式在西方油畫中也有運用,從攝影誕生后也同樣被借鑒到了攝影藝術之中．

國畫《九寨多泉瀑》(圖9)中,作者以上下分段取勢,整體上虛下實,使畫面既有空靈感又有韻律感,具有詩情畫意．除了國畫,西方油畫中同樣也適用九宮格構圖法．達·芬奇的名畫《最后的晚餐》 (圖10)也采用了這樣的構圖方式,利用九宮格構圖法將畫面中的人物分割成幾個不同的板塊,呈現12門徒或震驚、或憤怒、或激動、或緊張的神態．

圖9 九寨多泉瀑

九宮格構圖能使畫面具有方正的靜態之美．而黃金螺旋線(圖3)能夠給人帶來無限延伸的動態美的感受,畫家在繪畫中也常以此進行構圖:以畫面的主體作為起點,也就是“黃金螺旋線”繞得最緊的那一段,畫面的其他部分則繞著螺線慢慢旋轉展開．這樣的構圖通過無形的螺旋線條,吸引觀賞者的視線,創造出富于變化的動態美感．

著名畫家達·芬奇也是一位數學家,他是黃金分割的超級“粉絲”．他的名畫《蒙娜麗莎》(圖11)中,蒙娜麗莎的臉型接近于黃金矩形,頭寬和肩寬的比例也接近黃金分割．沿著蒙娜麗莎的鼻子、下巴、頭頂、肩膀和手等重要部位繪制光滑的曲線,可以畫出一條黃金螺旋線．原來,蒙娜麗莎微笑的秘密,就是黃金分割．

圖11 蒙娜麗莎

當然,在實際創作中,畫家不可能一味地拿著直尺測量,機械地運用黃金分割進行構圖．除了構圖中運用黃金分割,其實它也可以運用在畫面的內容、色彩、筆墨、濃淡干濕等各種關系．畫家借助數學的魔法,賦予了藝術作品和諧、美妙的感受．

3.2 中考與高考中的黃金分割

黃金分割所衍生的黃金分割比、黃金分割螺線、黃金分割三角形、黃金分割矩形中蘊藏著豐富的中華優秀傳統數學文化,近些年來,它已成為中高考題的熱門題材．下面,我們再來看看數學中考與高考試題中有哪些關于黃金分割的內容．

圖12

(1)若AC=20 cm,則AB的長為．

(2)如圖14,對邊長20 cm的正方形進行如下操作:對折正方形ABCD得折痕EF,連接CE,將CB折到CE上,點B對應點H,得折痕CG．試說明:G是AB的黃金分割點．

圖14

(3)如圖15,小明進一步探究:在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點E(AE>DE),連接BE,作CF⊥BE,交AB于點F,延長EF,CB交于點P．他發現當PB與BC滿足某關系時,E,F恰好分別是AD,AB的黃金分割點．請猜想小明的發現,并說明理由．

圖16 斷臂維納斯

A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190 cm

(參考答案:B)

4 如何運用黃金分割構圖法完成一幅繪畫作品

黃金分割能給人帶來美的享受,黃金分割構圖法則能使一幅畫呈現和諧之美．你能運用黃金分割構圖法完成一幅美麗的繪畫作品嗎?請完成如下活動．

活動1 黃金矩形因其長寬比為黃金比例有著獨特的美感．當繪畫作品的畫布為黃金矩形時,畫面更富有和諧之美．那么怎樣才能得到黃金矩形的畫布呢?下面給出了兩種方案,請你根據提示,得出一張長為30 cm的黃金矩形畫布,并試著證明這兩種方案的合理性．

方案1(折疊法)請根據如下提示,動手操作,利用寬為30 cm的矩形長紙條,折出一張長為30 cm的黃金矩形作為繪畫的畫布．

(1)在矩形長紙條的一端,利用圖17的方法折出一個正方形,然后把紙片展開;(2)把這個正方形折成兩個相等的矩形,再把紙片展平(圖18); (3)折出內側矩形的對角線AB,并把它折到圖19中的AD處;(4)展平紙片,按照所得D點折出E點,矩形BCDE就是黃金矩形(圖20)．

圖17

圖19

方案2(尺規作圖法)閱讀數學家海倫(Heron of Alexandria,10?—70?)利用尺規作出黃金比例的方法．根據海倫的方法,進行動手操作,利用尺規裁剪出一張長為30 cm的黃金矩形作為繪畫的畫布．

圖21

活動2 思考還有其他方案能得出黃金矩形嗎?進一步證明得出的矩形是黃金矩形．

活動3 運用“黃金分割構圖法”進行構圖,繪制一幅美麗的圖畫．

活動4 向你的同學、家長或老師展示繪畫作品與活動報告,并匯報設計理念．

活動5 完成如下活動評價表(表1),并進行回顧反思．

表1 數學活動評價表

5 無處不在的黃金分割

5.1 黃金分割在美學中的應用

在古代中國,常利用黃金分割使國畫構圖、書法筆陣、禮樂器物、圖案紋飾等更具美感．早在公元前14年,殷商甲骨文中的“旬”(圖22)、“士”等字就與黃金螺旋線有關[4]．《蘭亭序》《毛公鼎》等著名書法作品中大部分的字都符合黃金比例．2008年北京奧運會的會徽“中國印·舞動的北京”(圖23)以印章作為主體表現形式,蘊含著濃厚的中國韻味,其圖像主體(白色“京”字)部分的面積與剩余部分的面積之比同樣符合黃金分割[5]．原來像這樣既承載著中華優秀傳統文化又蘊含著昂揚的時代激情的圖案也蘊藏著數學的奧秘．

圖22 甲骨文“旬”

在注重祭祀禮制的中國古代,黃金比例也被廣泛地運用到了器物的制作中．像司母戊大方鼎(圖24)、商大禾方鼎等禮器的長寬都符合黃金比例,這使鼎美觀而莊重．傳統紋樣中也常用黃金螺旋線來裝飾,從上古巖畫到戰國銅鏡上的蟠螭紋(圖25),還有我們熟悉的祥云圖、飛天圖,都展現著綿延不絕的生生之美．

圖24 司母戊大方鼎

仔細觀察中國武術的一招一式,你會發現表演者的身形總能呈現一種美的比例．這其實是黃金分割蘊含的數學原理對武術動作的規范與運動規律的把握提供了參考[6]．類似地,芭蕾舞演員總是踮著腳起舞,這也是因為踮腳能夠使其身材比例更接近黃金比例,而使舞姿更富有美感．

在西方,黃金分割也在繪畫、雕塑中喚起人們的審美感受．號稱世界上最美的雕塑——斷臂維納斯,她從腳下到肚臍的高度跟整個雕塑的高度符合黃金分割比．同樣運用黃金比例展現藝術之美的雕塑還有《大衛》《宙斯》等等．數學的密碼與藝術的結合帶來了非凡的和諧與美的感受．

5.2 黃金分割在音樂中的應用

也許自從畢達哥拉斯讓數學走進音樂,音樂與黃金分割的融合似乎成了必由之路．作為中國傳統音樂文化符號,古琴的形制體現了中國“天人合一”的哲學理念,部分官制琴的琴身比例與黃金分割一致．由“三分損益”原理設計的骨笛、笙管、鐘鼓等樂器,無一不體現著黃金分割的思想．

其實在音律、音程、調式、曲式中,都有黃金分割的存在,而且還成為了樂曲歷久彌新的法寶．《義勇軍進行曲》全曲37小節,前奏、第一段與第二段之間的小節數均符合黃金分割．全曲利用樂句之間的變化,營造出一種迸發的趨勢,形成一種不可遏制的力量．《黃河大合唱》《游擊隊之歌》等曲式結構中也包含了這樣的美學比例．莫扎特(Wolfgang Amadeus Mozart,1756—1791)《D大調奏鳴曲》第一樂章的高潮位于第99小節,樂章全長160小節,兩者之比恰為0.618．莫扎特的大部分鋼琴曲中都應用了這個方法,以至于有人評價莫扎特是一位喜歡數字游戲的天才．當樂器激蕩起樂章時,悠揚的旋律起起落落,數學上的比例之美,通過樂聲得到了傳達．

5.3 黃金分割在建筑中的應用

黃金分割的比例性、藝術性、和諧性,蘊藏著豐富的價值,在建筑中顯示了巨大的作用．

在中國的寺廟建筑中,黃金分割常常與天圓地方的概念相結合．山西的五臺山佛光寺大殿、北魏時期的嵩岳寺塔、遼代的應縣木塔中都有黃金分割的出現．故宮中最大的宮殿太和殿位于故宮中軸線上,是故宮的核心．太和殿廣場長寬與黃金分割比十分接近．不僅是古代建筑,上海東方明珠塔同樣也運用了黃金比例．建筑師們巧妙地在塔身0.618高的位置上裝置了球體與太空艙,既可供游人登高俯瞰城市景色,又使塔身有了曲線變化,使整體協調美觀．

古希臘人民為祀奉智慧女神雅典娜所建造的帕特農神廟,其寬高比約為0.618,分析其結構關系,會發現與黃金螺旋線密不可分．胡夫金字塔是古埃及法老胡夫的陵墓,被譽為“世界古代七大奇跡之一”,金字塔的高與底面的邊長之比也接近黃金分割．埃菲爾鐵塔、圣彼得大教堂、巴黎圣母院等西方經典建筑中都通過黃金分割使其更加莊嚴雄偉又具神秘色彩．從古至今,人類對美的追求有著共通的成分,驗證了黃金分割比的天然合理性．

5.4 黃金分割在自然界中的應用

在自然界中,黃金分割更是神奇地存在．

我國是世界上天文學發展最早的國家之一．世界上最早的星表之一——我國的《石式星經》確定了赤道坐標體系與黃道傾角．東漢天文學家張衡、唐代的徐昂、元代數學家郭守敬等人通過不同方式的計算得出黃道面與赤道面夾角的數值之比為黃金比例[7]．

植物種子的排列也與這個神秘的數有關,向日葵種子的排列由逆時針的螺旋線和順時針的螺旋線構成．仔細觀察向日葵種子螺旋線數目,會驚喜地發現順時針有34條,逆時針55條,兩者之比約等于0.618．在松果、菠蘿中也存在這樣的比例．這能使植物在有限的空間中開出足夠多的花并結出足夠多的種子．在漫長的進化過程中,自然選擇讓向日葵有了可以用黃金分割來解釋的數學之美．樹枝的分叉、樹葉的脈絡中也黃金比例的出現．鸚鵡螺身上每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑之比、昆蟲身上的分節竟然也符合黃金分割．蝸牛殼、海螺殼、玫瑰花、龍卷風與旋渦中的螺線,也是美麗的黃金螺旋線(圖26)．哪怕在人類世界,人從胚胎、嬰兒、孩童到成年的發育時間,也遵循著黃金分割．養生學家發現,動和靜也應有黃金比例,大致四分動六分靜才是較佳養生之法．

圖26 自然界中的黃金螺線

5.5 “黃金分割”在生產生活中的應用

日常生活中所見到的書籍、報刊等的形狀通常是黃金矩形．甚至連火柴盒、國旗的長寬比例都恪守黃金比例．在音樂會上,主持人在舞臺上的最佳位置,是舞臺寬度的0.618之處．拍攝照片時,照片的默認比例16∶9或4∶3也與黃金比例相近．建造旋轉樓梯時,會按照黃金螺旋線來設計．設計師設計LOGO時也會使用黃金分割使其具有藝術感．生活中的黃金分割無處不在．

我國著名數學家華羅庚先生在20世紀70年代推廣的優選法與黃金分割密切相關,因其簡潔高效被運用電子、機械、化工、石油、交通運輸、糧食加工等多個領域.在優選時將嘗試點放在黃金分割點上尋找最優選擇,也稱為黃金分割法．優選法以較少的試驗次數,找到合理的組合方案、合適的工藝條件．黃金分割不僅給人帶來美的感受,也符合自然界中的許多規律,又與現實生活深深交織在一起.黃金分割更是數學的密碼,蘊含著豐富的跨學科知識,已成為提升學生數學核心素養的重要數學素材．