也談復數的大小問題*

石志群

(江蘇省泰州教育局 225300)

俞杏明

(江蘇省興化中學 225700)

搜索各種論文數據庫,有關復數大小問題的文章不一而足,但這類文章均立意于宏觀論證“復數集內不能建立大小關系”,甚至有些文章邏輯上還存在瑕疵,將“復數集內不能建立大小關系”等同于“復數不能比較大小”[1-2].事實上,“復數集內不能建立大小關系”是指在復數集全域內不能建立大小關系,不代表兩個特定的復數不能比較大小,如兩復數均為實數時它們能夠比較大小.因此,基于“復數集內不能建立大小關系”,難以判定“兩復數能否比較大小”.對于令人困惑的邏輯段“因為2+i-(1+i)=1>0,所以2+i>1+i”,難以給出正誤的理由.

在多項選擇題引入高考數學試卷后,高考指揮棒下模考試卷中經常出現包含如上邏輯段的試題:

例1已知z1,z2均為復數,則下列選項正確的是( ).

C,D略.

將復數的大小問題微觀細分,細分為任意兩個不同的虛數、任意一虛數與任意一實數等大小的子問題進行研究,復數的大小問題才能得到徹底解決.

1 虛數單位i的運算意義

1.1 等式運算的和諧性

等式中引入虛數單位i,使得一元三次方程的公式解、數學中兩個最重要的無理數e和π(eiπ= -1)等實現和諧統一.當然,所有這一切的前提是虛數單位i能夠參與等式運算.

1.2 不等關系的動態生成性

虛數單位i倘若能引入到不等式中,則其也必須能夠參與不等式運算,否則這樣的不等關系(大小關系)沒有數學意義.因此,數學中的大小關系不是固化的概念,它內含動態生成的過程,如在實數范圍內若有a0)等成立.

因為加法保序性與乘正數保序性是不等式運算的兩個基本性質,因此在復數范圍內若規定a0)等成立.

2 聚焦細分子問題

先證明,任意兩個不同的虛數不具有大小關系.

結論1已知虛數z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),虛數z2=c+di(c,d∈R,d≠0),當a=c且b≠d時z1與z2不具有大小關系.

證明(1)若z1>z2,即a+bi>c+di,因為a=c且b≠d,所以bi>di,即(b-d)i>0.

①當b-d>0時,則有i>0,因此有i·i>0·i,即-1>0,與-1<0矛盾.

②當b-d<0時,則d-b>0,因此(d-b)i<0,故i<0,從而-i>0,進而(-i)·(-i)>0·(-i),即-1>0,與-1<0矛盾.

(2)若z1

①當b-d>0時,則i<0,因此-i>0,從而(-i)·(-i)>0·(-i),即-1>0,與-1<0矛盾.

②當b-d<0時,則d-b>0,因此(d-b)i>0,故i>0,從而i·i>0·i,即-1>0,與 -1<0矛盾.

綜上,當a=c且b≠d時z1與z2不具有大小關系.

在結論1的證明過程中可以發現一個推論.

推論1 虛數單位i與實數0不具有大小關系.

結論2已知虛數z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),虛數z2=c+di(c,d∈R,d≠0),當a≠c且b≠d時z1與z2不具有大小關系.

證明(1)若z1>z2,即a+bi>c+di,則(b-d)i>c-a.

因此,a+bi>c+di不可能成立.

(2)若z1

綜上,當a≠c且b≠d時z1與z2不具有大小關系.

在結論2的證明過程中發現了另一個推論.

推論2 虛數單位i與實數m不具有大小關系.

結論3已知虛數z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),虛數z2=c+di(c,d∈R,d≠0),當a≠c且b=d時z1與z2不具有大小關系.

證明 (1)若z1>z2,即a+bi>c+di.

若a+bi>0,則有(a+bi)(a+bi)>(c+di)(a+bi),故a2-b2+2abi>ac-bd+(ad+bc)i.因為b=d,所以a2-b2+2abi>ac-b2+(ab+bc)i,從而b(a-c)i>a(c-a).

若a+bi<0,則-a-bi>0,從而(a+bi)(-a-bi)>(c+di)(-a-bi),即-a2+b2-2abi>-ac+bd-(ad+bc)i.因為b=d,所以 -a2+b2-2abi>-ac+b2-(ab+bc)i,從而b(a-c)i

因此a+bi>c+di不可能成立.

(2)若z1

綜上,當a≠c且b=d時z1與z2不具有大小關系.

下面再證明,任意一虛數與任意一實數不具有大小關系.

結論4已知虛數z=a+bi(a,b∈R,b≠0),c為實數,虛數z與實數c不具有大小關系.

證明(1)若z>c,即a+bi>c,所以bi>c-a.

所以a+bi>c不可能成立.

(2)若z

綜上,虛數z與實數c不具有大小關系.

3 整合形成最終結論

結論在復數集中除了兩個數均為實數,其他的任意兩個數均不具有大小關系.

因此,對于邏輯段“因為2+i-(1+i)=1>0,所以2+i>1+i”,因為兩個虛數無法比較大小,所以不存在2+i>1+i.同樣道理,例1中形似實異的A,B兩個選項,只有選項B是正確的.