基于“四基四能”教學 探索數學育人路徑
——以一節幾何專題復習課為例*

何 萍

(浙江省溫州市第三十中學 325019)

胡瞿博

(浙江省樂清市城南中學 325600)

對于一線教師而言,推進立德樹人目標落地的突破口在于強化學科教學的育人功能[1].數學式立德樹人要以數學的方式開展育人活動,即在一般觀念的引領下,通過數學活動,讓學生學會思維,并由理性思維逐步走向理性精神,體驗情感、態度、價值觀,發展數學素養,成為一個真正的理性人,由此實現立德樹人的教育目標.

基于“四基四能”的教學是實現學科立德樹人目標的必由路徑.“四基”強調了數學內容的本質聯系,促進學生領悟數學思想和積累數學活動經驗并進行條理化,有利于獲得主觀性體驗和感悟.“四能”更重視問題的發現,通過讓學生經歷科學探索的過程,培養他們用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界,有利于發展創新性和實踐性能力.從“四基”到“四能”,是實現“三會”的核心教學線索.2022年5月,筆者受邀送教龍港,與學生共同演繹了一節基于“四基四能”的數學課,現與讀者交流分享.

1 “四基四能”教學實踐:由條件看結果——從一個矩形說起

1.1 教學立意

傳統幾何專題復習課一般是訓練基本技能讓學生運用各種基本圖形的性質證明結論、求解答案,至于這個問題是怎么發現、提出的,常常不愿花時間讓學生去探討.而“四能”教學立足于問題發現、提出、分析、解決的全過程,引導學生在具體的情境中用數學的眼光去觀察現象、發現問題,用數學的語言進行數學抽象,用數學的思維方式分析問題,用數學的方法解決問題.這個過程不僅促進了學生“四基”的發展,而且在數學交流與表達、主動運用數學的意識與態度上加強了數學學習的情感體驗,融入了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象等數學素養的培育,有利于“三會”能力的發展.矩形是初中幾何里重要的基本圖形,包含了等腰三角形和直角三角形的圖形結構.選取矩形為背景,能體現出對等腰三角形、直角三角形、軸對稱、旋轉等初中主要幾何知識的綜合考查.

1.2 教學目標

(1)通過經歷由條件發現和提出數學問題的過程,認識幾何圖形性質的本質,積累從特例中發現和提出問題的活動經驗,發展數學抽象和數學建模素養;(2)通過解決問題,復習運用相似、三角函數、等腰三角形性質、直角三角形性質、軸對稱性質、旋轉性質等知識,培養分解圖形、運用基本圖形解決問題的能力,發展空間觀念;(3)通過運用科學的方法經歷探索過程,發展數學推理能力,踐行科學精神,體驗真善美,發展唯物主義辯證觀.

1.3 教學實施

·如何發現和提出數學問題?

情境1如圖1,矩形ABCD中,AB=4,點E是邊AD的中點,點F是對角線BD上一動點,∠ADB=30°,連接EF.

圖1

(1)明確研究對象

師:觀察點F運動的路徑,在這個范圍內,哪些量不變?哪些量改變?把不變的結論求出來．

學生交流后得到:不變的量有△ABD、△BDC、矩形ABCD的內角、邊長、面積、周長,變量有線段EF,DF,BF的長,∠EFD,∠DEF,∠AEF,∠EFB的大小,線段EF與BD(AD)的位置關系.

師:你選擇哪些變量為研究對象?你是如何選擇的?

學生討論后得到以下結論:∠EFD,∠DEF,∠AEF,∠EFB有關聯,所以研究其中一個角就可以研究其余的角;四邊形ABFE和△EFD有關聯,研究其中一個圖形就可以研究另一個圖形;線段DF和線段BF的和為定值,所以研究其中一條線段就可以研究另一條線段;這些變量都與線段EF有關.

經過充分的交流后,學生將研究對象聚焦到“隨線段EF的變化而產生的圖形的大小和位置”,隨后展開后續學習.

(2)發現和提出問題

師:點F從點D運動到點B,線段EF長度變化的趨勢如何?∠EFD變化的趨勢如何?四邊形ABFE面積變化的趨勢如何?你發現哪些特殊情況?你會提出哪些數學問題?

學生交流后得到:線段EF先變小后變大;∠EFD由鈍角變到銳角,存在∠EFD是直角的特殊位置,∠FED由銳角變到鈍角,存在∠FED是直角的特殊位置;△DEF的形狀會變化,存在等腰、直角(此時△DEF相似于△DAB)、梯形ABFE的特殊位置;四邊形ABFE面積一直在減少.

教學說明 “提出問題的教學”是近年來流行的一種教學方式,但是大部分“提出問題的教學”像一塊西瓜皮,滑到哪里算哪里.學生提出的問題沒有方向,想到什么就提什么,這樣的“提出問題的教學”無利于學生思維的發展.我們更需要在“明確研究對象”上,引導學生積累如何用數學的眼光觀察一類事物、在哪些方面提出問題等的數學活動經驗.以矩形為背景,讓學生經歷“觀察變化-分析變量-選擇對象-聚焦性質-發現特例-提出問題”的數學活動過程,充分體驗數學問題是怎么產生的;明確“研究幾何圖形性質就是研究圖形相關要素之間的位置關系和數量關系”,可以在“圖形相關要素之間特殊的位置關系和數量關系”上提出數學問題.由此引申、歸納平面幾何的一般研究內容和方法.這樣的學習才有價值.

·如何發現解決問題的方法?

情境2如圖2,矩形ABCD中,AB=4,點E是邊AD的中點,點F是對角線BD上一動點,∠ADB=30°,連接EF.作點D關于直線EF的對稱點P,直線EP交BD于點Q.

圖2

師:點P運動的路徑是什么?

有學生錯誤地認為點P運動到與點A重合即止(圖3).

師追問:你是如何確定點P最終與點A重合的?此時點F的位置在哪里?

學生受到啟發,聯想點F從點D運動到點B,得到點P的運動路徑(圖4).

師:點Q運動的路徑是什么?

學生觀察到點Q運動的路徑是線段DB.

師:關注直線EP的變化,在這個過程中,∠EQD變化的趨勢如何?線段EQ長度變化的趨勢如何?有哪些特殊情況?請提出一個數學問題并解決它.

學生觀察到∠EQD一直在變小,線段EQ的長先變小再變大,然后根據特殊情況提出了一些新的問題.課堂上選擇了其中的兩個問題進行進一步求解.

問題1:若EP⊥BD,求DF的長.

1.2 調查方法 采用自制問卷，調查了解西部地區基層中醫師崗位職業能力情況。調查問卷包括了調查對象的一般情況(如性別、年齡、在基層工作時間、健康狀況、資格證書等)、崗位職業能力適應情況。崗位適應情況調查又包括了工作環境適應能力、人際溝通能力、中醫診療能力、儀器設備使用操作能力等。由經統一培訓的專業調查人員進行預調查，對存在的問題進行修改，問卷最后由專家審核后統一實施現場調查。

有學生錯誤地只畫了點P在矩形內的情況(圖5).

圖5

師追問:此時點P的位置是唯一的嗎?點P的運動路徑是什么?

學生受到啟發,補畫了點P在矩形外的情況(圖6).

當點P在矩形內時(圖5),學生給出3種解法:①在頂角為120°的等腰△EFD中求出DF=2; ②解Rt△DEQ和Rt△EQF求出DF=2;③在正△EPD中求出DF=2.當點P在矩形外時(圖6),∠DEQ=60°,則∠PED=120°,由對稱性得∠PEM=∠DEM=60°,則∠FEQ=60°,得DF=6.

問題2:直線EP交DB于點Q,若△DEQ是銳角三角形,求DF長的取值范圍.

圖8

教學說明 學生經常錯誤地認為數學就是解題,教師要有意識地在教學中幫助學生樹立正確的學習觀和認識觀.教師怎么教決定了學生認識事物的態度和方法.以上過程呈現出“問題解決”的完整過程.首先,讓學生運用“獲得研究對象”的經驗去發現和提出問題,隨后展開分析問題和解決問題的數學活動.學生運用基礎知識和基本技能解決問題時,在“如何獲得數學對象—如何研究數學對象—如何應用數學對象”上積累數學活動經驗,體驗了“研究一個數學對象”的基本思路.這個過程,在獲得“四基”中發展了“四能”,在“四能”的數學活動中鞏固了“四基”.學生在經歷獨立探究、合作交流、討論疑點、辨偽證實的學習過程中,逐步學會用數學的思維去思考世界,用數學的語言去表達世界,發展邏輯推理能力和科學理性思維,形成完整的認識信念,從而學會學習,脫離題海,提高學習效率.

2 立德樹人視角下的初中數學“四基四能”教學育人路徑

基于“四基四能”的教學,提倡以問題為導向、活動為載體,重視問題解決的全過程,增強了數學活動的實踐性和應用性.在開展“三會”活動的空間里,學生獨特的數學眼光、反常規的數學思維、不拘一格的數學表達都會得到鼓勵和指導,這種數學學習的情感體驗讓學生成為了一個完整的人,賦予了學生一種具有數學創新意識的秉性,提高了學生數學思維的品質.

2.1 發展育人:從“四基”“四能”到“三會”,發展核心素養

未來教育更加重視人的核心素養與綜合技能的提升,致力培養學生的批判思維和創造性思維[2].數學學科以培養理性思維為育人目標,使學生通過數學學習達到“三會”.從“四基”到“四能”再到“三會”,展示出一個明晰的發展學生核心素養的教學線索.“四基”立足于打好數學學習基礎,體現出基礎性、整合性、結構性;“四能”立足于問題解決活動,體現出情境性、過程性、探索性;“三會”立足于行為養成,體現出實踐性、創新性、發展性[3].

本節課以矩形為載體,利用點的運動和軸對稱變化,讓學生經歷數學知識發生發展的過程,在情境中明確研究對象,積累從特殊情況提出問題的經驗,養成從本質和結構對幾何圖形問題進行一般性思考的習慣,并以本質、結構、定理、數學工具為研究基石,不斷發現新的幾何問題,得出各種各樣的定性關系和定量關系.這個知識發生發展的過程體現了數學的思維方式,是數學課堂育人的根基.學生通過自主學習和探索學習,獲得數學知識,領悟數學思想,在日積月累、潛移默化中逐步形成數學的思維方式和能力,從而提升數學學科核心素養.

2.2 情感育人:創設自由可見的學習活動,促進生命成長

學校教育最重要的是營造一個良好的外在環境,讓孩子內心的成長動力與外在的環境積極地呼應,教師的作用就是去激發它、保護它,讓每一個孩子都像一顆正常發育的種子一樣,有內在的生命張力,吸收土壤、水、陽光和空氣,慢慢長成他自己.以“自由可見”的學習方式讓學生積極參與到課堂學習中,讓學生的數學學習更加適合他自己.

教師以兩個核心問題“如何提出數學問題”“如何探尋解決問題的方法”主導數學學習,開展獨立思考、合作交流、自主解決、交流表達、評價議疑等數學活動.教師是引導者、組織者,在學生學習疑難處和學習關鍵處時及時出手.以驅動性問題明晰數學活動的目的和方向,以追問引導啟發對知識本質的思考,讓學生有所發現、有所感悟.采取“學、教一致”的方式,讓教學活動服從于學生學習的需要,服務于學生學習的需要,體現了“以學生為本”的教育思想.

“自由學習”給每個孩子的生命成長創造了各種可能性,“可見的學習”以做中學、動手操作、實踐體驗等方式促進學生思維的內化,教師支持他、引導他,培養其講理的習慣,更好地激發了學生學習數學的興趣和自信,有助于學生樹立積極的人生觀和世界觀,做一個講道理、明事理、守規則的人.

2.3 導向育人:滲透數學的文化價值,發展科學理性精神

就本質而言,數學的文化價值主要體現為理性探索精神,數學的理性精神之根本就是求真、求善、求美[4].遵循數學理性探索精神的原則,面對學生的學習難點和疑點,不批評、不嘲笑,而是積極鼓勵學生發表看法,面對困難時不斷反思,完善自己的認知結構.從數學家們研究問題的角度設計問題鏈是進行數學文化教育的有效途徑.通過類比、聯想、特殊化、一般化等思維活動發現和提出數學問題、形成研究思路、找到研究方法,以數學家研究問題的基本規范展開數學學習,以理性探索精神指導實踐行為,讓學生在數學學習過程中獲得真、善、美,這也是數學學科立德樹人的核心.

本節課引導學生體驗研究一個幾何對象的內容、過程、方法等,注重數學的整體性、思想的一致性、邏輯的連貫性和思維的系統性,體現了“數學的方式”,讓學生從證偽到證實,逐步猜想和發現,不斷檢驗和修正,感悟問題的核心和問題之間的聯系,并學會演繹地證明[5],對促進學生學會學習、感悟數學家們創新思維中的文化基因大有裨益,有益于發展其科學理性精神.