方法型數(shù)學(xué)模型教學(xué)的實(shí)踐與思考
———以蘇科版“二次根式乘除(1)”為例

李 榮

(江蘇省蘇州市陽山實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)校 215151)

1 引言

模型觀念主要是指對運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題有清晰的認(rèn)識[1].作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)之一,它要求學(xué)生能從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,會(huì)用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律等,會(huì)對結(jié)果進(jìn)行討論和修正.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中有76處有關(guān)“模型”的字眼及相關(guān)解釋,可見數(shù)學(xué)模型的重要性.在部分一線教師的認(rèn)知中,模型觀念的培養(yǎng)基本局限在應(yīng)用題中,對于法則、公式和方程解法等課型的教授基本以“幾個(gè)例子+法則歸納+反復(fù)練習(xí)”的形式為主,學(xué)生自主探究的機(jī)會(huì)很少.本課通過對方法型數(shù)學(xué)模型的教學(xué)實(shí)踐,使學(xué)生對此類課型的自主探究成為可能,有效地發(fā)展了初中生的模型觀念.

按照數(shù)學(xué)模型中對象的特點(diǎn),數(shù)學(xué)模型可分為概念型數(shù)學(xué)模型、方法型數(shù)學(xué)模型和結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型[2].方法型數(shù)學(xué)模型是指數(shù)學(xué)中的各種公式及運(yùn)算系統(tǒng)、各類方程及其求解方法等,是由實(shí)際對象間量的關(guān)系抽象出來的.初中階段多出現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)領(lǐng)域.方法型數(shù)學(xué)模型作為數(shù)學(xué)模型的一種,大致要經(jīng)歷“實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題—數(shù)學(xué)模型—模型求解—模型檢驗(yàn)—模型應(yīng)用—實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題”等建模過程,形成一個(gè)閉環(huán).

學(xué)生對方法型數(shù)學(xué)模型并不陌生,在小學(xué)三四年級就已經(jīng)開始接觸到現(xiàn)實(shí)問題中的加法模型、乘法模型,以及一些算理和算法.進(jìn)入初中,引入了有理數(shù)之后,學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加減乘除乘方等運(yùn)算和一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組等的解法;引入實(shí)數(shù)之后,學(xué)習(xí)了平方根、算術(shù)平方根的概念,二次根式的定義,二次根式的乘除加減混合運(yùn)算,一元二次方程的解法等.這些都可以歸為方法型數(shù)學(xué)模型.如何在方法型數(shù)學(xué)模型的教學(xué)中擺脫“幾個(gè)例子+法則歸納+反復(fù)練習(xí)”的老路是每個(gè)教師都要認(rèn)真思考的問題.本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生感受法則課也可以變得充滿探索性和挑戰(zhàn)性.

2 教學(xué)分析

本節(jié)課“二次根式的乘除(1)”是江蘇鳳凰科技版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)(八年級下冊)》第12章第2節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容,主要介紹二次根式的乘法法則的得出及其應(yīng)用,屬于運(yùn)算系統(tǒng)中的乘法運(yùn)算,是典型的方法型數(shù)學(xué)模型的課型.

二次根式既與代數(shù)式、勾股定理和實(shí)數(shù)等有緊密聯(lián)系,又為后面學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)、一元二次方程和二次函數(shù)等內(nèi)容做鋪墊,其重要性不言而喻.二次根式的運(yùn)算是本章的重中之重,乘法運(yùn)算作為二次根式運(yùn)算之首,為學(xué)生學(xué)習(xí)后面的運(yùn)算做好準(zhǔn)備.本文結(jié)合方法型數(shù)學(xué)模型的建立過程,從數(shù)學(xué)探究的角度,讓學(xué)生以問題為載體,親歷二次根式乘法法則的得出過程,從而讓學(xué)生加深對法則類教學(xué)的理解和認(rèn)識.

3 教學(xué)過程

3.1 模型回顧

問題1 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式,你可以用二次根式表示2嗎?

效能分析本環(huán)節(jié)為模型回顧,主要回顧了二次根式的定義和性質(zhì),它們也屬于方法型數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)知識重在理解,教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn),精準(zhǔn)地?cái)⑹鲆粋€(gè)數(shù)學(xué)概念或者法則對學(xué)生來說是一件比較困難的事情,所以在平時(shí)的教學(xué)中,涉及數(shù)學(xué)概念、定理或公式等知識的復(fù)習(xí)回顧,可以讓學(xué)生根據(jù)自己的理解舉例.本課直接由數(shù)學(xué)問題引入,這是建立模型的第一步,考查學(xué)生對已學(xué)知識的遷移能力.

3.2 模型的引入

圖1

效能分析在作圖的過程中,及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生識別數(shù)學(xué)模型,強(qiáng)調(diào)作圖的準(zhǔn)確性,讓他們體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.“割補(bǔ)法”求面積是為后面求長方形面積做準(zhǔn)備的,“割補(bǔ)法”也是計(jì)算圖形面積的一種模型.此處考查了學(xué)生的知識遷移能力.這是方法型數(shù)學(xué)模型的第二步,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題到數(shù)學(xué)模型的過渡,通過教師引導(dǎo)和學(xué)生探究自然地引入二次根式乘法模型,借助“割補(bǔ)法”讓學(xué)生進(jìn)一步探究乘法算式的結(jié)果,為接下來模型的求解做好準(zhǔn)備.

3.3 模型的求解

圖2

問題5 你還能舉一些類似的例子來探索二次根式乘法法則嗎?

圖3

效能分析該問題為開放性問題,這也是對數(shù)學(xué)建模結(jié)果開放性的響應(yīng).學(xué)生還是選擇了自己比較熟悉的二次根式模型,部分學(xué)生忽略了前面探究中“兩個(gè)二次根式之積與圖形面積相等”的事實(shí),以致出現(xiàn)了失誤,接下來必會(huì)影響模型的進(jìn)一步求解,所以在求解模型的過程中也要能發(fā)現(xiàn)問題并解決問題,這也是“四能”的要求.

3.4 模型的完善和驗(yàn)證

問題7 思考得出的模型是否正確?有沒有需要完善的地方?如何驗(yàn)證?

3.5 模型的推廣和應(yīng)用

效能分析數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系的途徑,建立起的模型能否進(jìn)一步推廣、有沒有實(shí)用價(jià)值,都是我們需要考慮的問題,所以應(yīng)用必不可少．對于方法類數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行適當(dāng)?shù)木毩?xí)必不可少．但是要抓典型題目,讓學(xué)生觸類旁通,而不是搞題海戰(zhàn)術(shù).

3.6 建模過程的回顧反思

教學(xué)說明引導(dǎo)學(xué)生從基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)四個(gè)方面進(jìn)行反思,并且給出如圖4所示的思維框架,即是數(shù)學(xué)模型的建立過程.

圖4

效能分析讓學(xué)生再次回顧并分享整節(jié)課的思路,自己畫出思維框架,體會(huì)方法型數(shù)學(xué)模型的建立過程,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型觀念.通過畫出本節(jié)課的思維框架,學(xué)生跳出了繁瑣的知識細(xì)節(jié),從宏觀上或者縱向地了解本節(jié)課的知識架構(gòu),長此以往學(xué)生就能更準(zhǔn)確地把握整個(gè)初中數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu),對于整體理解數(shù)學(xué)知識、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大的促進(jìn)作用.

4 教學(xué)思考

4.1 注重方法型數(shù)學(xué)模型的探究過程

方法型數(shù)學(xué)模型基本用于解決運(yùn)算類問題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,有助于學(xué)生形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度,其重要性不言而喻.但方法型數(shù)學(xué)模型教學(xué)中普遍存在的問題是“重應(yīng)用,輕探究”.筆者在近幾年的教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的計(jì)算能力堪憂,原因就是方法型數(shù)學(xué)建模課型的教授出現(xiàn)了問題.教師往往把教學(xué)重點(diǎn)放在建模的最后一步,即應(yīng)用模型解決現(xiàn)實(shí)問題或數(shù)學(xué)問題,而很少對模型的求解過程進(jìn)行深入探究．這就導(dǎo)致學(xué)生形成了“只記結(jié)果,不問出處”“會(huì)算就行”的惰性心理.教師要通過教學(xué)設(shè)計(jì),讓學(xué)生真正了解法則的來龍去脈,讓數(shù)學(xué)探究充滿課堂.

4.2 注重轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)建模貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué).目前學(xué)生所理解的數(shù)學(xué)建模僅停留在解應(yīng)用題上,對于一些公式類、法則類的課型,他們根本不會(huì)探究,也意識不到可以通過數(shù)學(xué)建模去探究．長期下去,學(xué)生的思維就會(huì)固化,創(chuàng)新精神也就無從談起．因此,教師要幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變方法類數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)方式,告知他們方法類數(shù)學(xué)模型建立的基本過程,并且還要通過實(shí)例讓學(xué)生清楚每個(gè)環(huán)節(jié)的具體操作,通過模型思想的滲透,提高學(xué)生建立方法型數(shù)學(xué)模型解決問題的意識,讓學(xué)生自主探索,敢于嘗試,從而提升他們的核心素養(yǎng)．

4.3 注重培養(yǎng)學(xué)生的問題意識

問題是數(shù)學(xué)的心臟．教師在方法型數(shù)學(xué)模型教學(xué)中,應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的問題意識.方法型數(shù)學(xué)模型建立的每個(gè)過程都在考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力.比如在本課的探究中,如何發(fā)現(xiàn)二次根式模型、如何建立二次根式乘法與圖形面積之間的聯(lián)系、如何對已得到的模型進(jìn)行修正,都要求學(xué)生具有問題意識．因此,教師在平時(shí)的教學(xué)中要多放手,讓學(xué)生探究,以學(xué)生為主體,在學(xué)生激烈的思想碰撞中,必能擦出問題的火花．