從變式到模式:在結構生成中啟迪思維
——以“一次函數圖象下的三角形面積”教學為例*

張 靜

(江蘇省蘇州高新區實驗初級中學 215151)

本節課從一次函數圖象與直角坐標系相交而形成的直角三角形(坐標三角形)入手,通過不斷變式,歸納出通法,構建模式(模式是對某類事物具有共性表現的描述,是一種特定關系和結構,是指認識、表達、解決一類數學問題的程式化的方法[1]),形成結構,啟迪思維．現將教學的基本情況、教材分析、教學過程以及教學反思總結如下．

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自蘇州高新區實驗初級中學初二年級,基礎較好,有一定的自學、概括抽象和推理能力．此課前,學生已經完成《一次函數》整章的學習,能用待定系數法求一次函數的表達式,能在平面直角坐標系中求出簡單幾何圖形的面積．

1.2 教材分析

本節是蘇科版教材八年級上冊“一次函數”學習后指向問題解決的專題復習課．學習內容是一次函數圖象下的三角形面積,是在學習了一次函數概念、圖象、性質的基礎上,對平面直角坐標系內三角形面積的進一步研究,既是前面所學知識的深化和應用,也為后續研究反比例函數及 二次函數圖象下三角形面積奠定基礎．通過對基本圖形的變式來構建模式,形成問題解決的思維結構．

教學目標 (1)能夠利用多種方法求一次函數圖象下的三角形面積;(2)通過對一次函數圖象下三角形面積的探尋,形成一般方法,積累一般經驗;(3)經歷從變式到模式的過程,在探尋通法的過程中形成結構,啟迪思維,提升數學核心素養．

教學重點 求解一次函數圖象下三角形面積的一般方法的探尋．

教學難點 解決問題的模式構建及問題解決的一般方法的歸納．

2 教學過程

2.1 問題導向:基本圖形定基調

圖1

問題1結合圖形,你能得到哪些結論?

生1:可以求出點A坐標為(0,2),點B坐標為(-4,0);由此求得OA=2,OB=4,繼而求得△AOB的面積等于4．

師:一次函數圖象與兩坐標軸相交而形成的三角形,也叫作坐標三角形．在一次函數圖象相關的問題中,經常會用到這個基本圖形．

設計說明坐標三角形這一基本圖形的初現,為后續的學習及后續的變式定下基調．

2.2 初步變式:抽象特征探規律

學習材料2 過點A作直線,與x軸交于點C．

問題2可以形成幾個三角形,你會求它們的面積嗎?請用具體的點C來說明．

生2:如圖2,點C坐標為(2,0),圖中共有3個三角形,分別是△AOB,△AOC和△ABC,它們的面積分別是4,2和6．

圖2

生3:如圖3,點C坐 標為(-1,0),圖中共有3個三角形,分別是△AOB,△AOC和△ABC,它們的面積分別是4,1和3．

圖3

生4:如圖4,點C坐標為(-6,0),圖中共有 3個三角形,分別是△AOB,△AOC和△ABC,它們的面積分別是4,6和2．

問題3以上3位同學的解答有什么共同點和不同點?

生5:共同點是圖中都有3個三角形,并且字母完全相同;不同點是點C的位置不同,△AOC和△ABC的面積也有變化．

問題4這3個三角形的面積之間有什么樣的數量關系?

生6:圖2中,點C在原點右側時,S△ABC=S△AOB+S△AOC;圖3中,點C在B點和原點之間時,S△ABC=S△AOB-S△AOC;圖4中,點C在B點左側時,S△ABC=S△AOC-S△AOB．

問題5若點C的坐標是(xC,0),如何用含xC的代數式表示△ABC的面積?

問題6顯然,如上是三個不同位置關系下的分類討論,其結果雖有不同但有關聯,能不能找到它們的共同特征,探尋出一般的解法?

問題7對于這個公式,你有什么發現?

生9:這個公式就是解決這個問題的一般方法,并且S△ABC隨xC的變化而變化,所以S△ABC是關于xC的函數．

問題8你能針對這個公式提出什么問題?

生10:如果已知xC的值,可以求出唯一的S△ABC的值,就像前面三位同學舉的例子(圖2～4)那樣,將xC的值代入,求代數式的值即可;如果已知S△ABC的值,比如S△ABC的值為1,代入后得到方程|xC+4|=1,解之得xC=-3或-5,故而C有兩個位置(-3,0)和(-5,0)．

設計說明在原有坐標的基礎上添加了一條線,形成了不同位置關系的分類討論(由不同位置關系得到不同的數量關系)．再引導學生尋找不同分類的共同特征,進行抽象,歸納出解決此問題的一般方法,探尋出具有普適性的一般規律,為后面的模式構建積累了基本活動經驗與思維經驗．

2.3 構建模式:問題解決育思維

問題9我們研究問題往往是從簡單到復雜,從特殊到一般,從具體到抽象．由此,你想研究什么樣的問題?

圖5

師追問:你是如何思考的?

生11:PC與y軸平行相當于材料2中的點C在x軸上,可直接用三角形面積公式求解．

師評價:非常好!我們在前面的學習中積累的經驗,可以遷移到后續的學習中;后面的問題許多時候可以化歸為前面的問題來解決．

問題10根據材料2學習中積累的經驗:點C在x軸上不同的位置變化引發△AOB,△AOC和△ABC面積之間不同的數量關系．你覺得點P還有哪些不同的位置,會帶來什么不同的結果?

圖6

圖7

問題11觀察上面三個變式中三種不同位置關系的分類討論的計算結果,你有什么發現?

生17:根據上面的分類討論與整合后的結論,結合圖形,我發現這類一次函數圖象下的三角形面積,就是過動點作y軸的平行線,被兩條已知直線截得的線段長度(就是線段PQ)與兩定點(點A和點C)橫坐標之差的絕對值乘積的一半．

師點撥:這里的|xA-xC|叫作水平寬,PQ的長度叫作鉛直高.你還能做出什么歸納?

設計說明在繼續變式中,對過程與結論進行自反抽象,逐漸探尋出一般規律:一次函數圖象下的三角形面積等于水平寬與鉛直高乘積的一半．在逐漸一般化的過程中,引導學生有層次地思考問題,適時地進行數學抽象,最終歸納出一般結論,構建有助于問題解決的模式．

2.4 課堂小結:回顧展望蘊智能

問題12本節課我們學習了什么內容,如何學習的?

問題13在學習的過程中,你感悟到哪些數學思想方法?

生20:如上的探究是從特殊到一般的過程,后續對公式的應用則是從一般到特殊的過程．

生21:在公式形成的過程中,我們不斷地發現不同變式之間的共同特征,這個是數學抽象,也是分類與整合．

生22:解決這類問題的關鍵所在,就是運用好坐標軸或者與坐標軸平行的直線,是一個“化斜為直”的過程,本質上是轉化與化歸．

設計說明對學習過程的回顧,對學習路徑的明晰,對個人經驗的反思,是一種實踐智慧．對數學思想方法的歸納與總結則是一種理性思維．

3 教學反思

3.1 從變式到模式,在數學抽象中啟迪思維

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:數學是研究數量關系和空間形式的科學．數學源于對現實世界的抽象,通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象,得到數學的研究對象及其關系[2]．思維是借助語言、表象或動作實現的對客觀事物概括的和間接的認識,是認識的高級形式．它能揭示事物的本質特征和內部聯系[3]．數學的對象都是抽象思維的產物．所謂抽象思維,一般是指抽取出同類事物的共同的、本質的屬性或特征,舍棄其他非本質的屬性或特征的思維過程[4]．學習材料2中,依據點C的不同位置關系進行分類討論,就是基本圖形的變式．根據結論中不同的數量關系的共同特征得到一般的結論S△ABC=|xC+4|,就是一種抽象思維．學習材料3則是基本圖形更加一般化的變式,對三角形面積的求解過程與結論的抽象,得到符號化的、具有普適性的模式．學生在不斷自反抽象中逐漸形成思維的意識與習慣,形成思維模式,提升思維能力．

3.2 從變式到模式,在邏輯推理中啟迪思維

如上教學過程中所形成的模式,本質上是一個數學命題．構建數學命題依賴的是歸納推理,這是一個從特殊到一般的思維過程[5]．材料3的學習過程顯然是對材料2的類比.類比是在兩種不同的事物之間進行對比,找出若干相同或相似點之后,推測其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式[6]．這樣的類比,很大程度上也是一種遷移——問題的遷移、知識的遷移、方法的遷移、經驗的遷移、思維的遷移等．另外,還有利于感悟知識之間內在的關聯,完善知識體系,形成好的思維結構．材料3中,三角形面積的求解過程則是演繹推理的表現．從一般情形演繹出一些特殊情況,可以把原本不太明晰的關系顯現出來,使我們的認識具體化和豐富化;通過演繹推理還可以將一般性前提中所蘊含的性質揭露出來;演繹推理將一些原始概念作為推理的出發點,推演出其他的事實,有利于揭示數學概念、命題、法則等之間的內在關聯,最終形成結構．

3.3 從變式到模式,在結構形成中啟迪思維

思維結構是思維活動特征的總和或整體[7]．無論是從數學的角度把握事物的本質與規律,還是用數學的語言描述事物的本質與規律,思維基礎都是抽象和推理[8]．本課例設計中,從基本圖形的初現,到點C在x軸上的變式,再到點P在一次函數圖象上的變式,通過抽象與推理逐步生成此類問題解決的模式．認知心理學認為,所謂模式是指由若干元素或成分按照一定關系形成的某種刺激結構[9]．所以從變式到模式是一個集知識結構、認知結構與思維結構于一體的特殊結構．

4 結束語

基于問題解決的微專題復習課,通過對基本問題的諸多變式,將數學知識進行統整,發現其中的聯系,通過不斷的抽象與推理,發現其中的關聯與規律,最終生成模式．

我們應當通過具體數學知識和技能的教學努力促進學生的思維發展[10]．教學中,我們應引導學生按照邏輯的順序(由簡單到復雜、由低維到高維)去把握各個相關內容,從而更清楚地認識它們之間的內在聯系．用聯系的觀點進行分析、思考,我們才能達到更大的認識深度;也只有達到了更大的深度認識,我們才能更好地發現不同對象之間的聯系[11]．由此生成好的模式,啟迪思維,發展學生的數學核心素養．