探模型 悟本質 提素養
——以“SSA”模型的探究與應用為例

程如朋

(浙江省舟山綠城育華學校 316022)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“《新課標》”)在初中階段的核心素養表現中提到了模型觀念,并要求學生初步感知數學建模的基本過程,在圖形與幾何的教學提示中建議要借助圖形分析問題,形成解決問題的思路,發展模型觀念,會用數學的語言表達現實世界[1]．這體現了模型觀念的滲透不應當只重視結果,也應當關注過程.然而,現如今教師在教學中更偏重于直接利用模型解題.誠然,數學模型具有簡約性與概括性[2],借助模型能提升學生快速解題的能力,但忽視了模型建立的過程,缺乏模型探究的經歷,學生的思維將難以發展,素養將難以提升．基于此,筆者認為,模型教學也是數學教學的一個重要組成部分,也應當體現數學思維、數學能力、數學素養的發展與提升．因此,模型教學應當是“探究+應用”的有機融合,唯有親歷模型探究的全過程,學生才能悟出模型本質,提煉模型特征,從而自然生成解法．基于上述觀點,筆者在中考二輪復習階段,設計了一節“SSA”模型探究課．現以此為例談談模型探究的路徑,并對“SSA”圖形的問題解決提供通法指導．

1 模型探究

1.1 幾何作圖,引出模型

問題1如圖1,已知線段a,b,∠α,求作△ABC,使得AB=a,BC=b,∠A=α．

圖1

此題通過回顧“SSA”型作圖,開門見山,引出探究的核心．如圖2所示,學生首先作出∠A與AB,然后以B為圓心、b為半徑作圓,發現與AD相交于兩點(點C1與C2),因此他們發現這樣的三角形能作出2個(△ABC1與△ABC2),從而自然地感悟到“SSA”不能判定三角形全等．

追問既然SSA作出的兩個三角形是不全等的,那么這兩個三角形有沒有其他聯系呢?

教學說明突破全等的限制思考關聯,使學生在認知沖突中激發探究欲望,促進深度思考,同時引出本課研究的模型,即SSA條件下的兩個非全等三角形．在作圖探究中讓學生主動生成基本模型,解決了模型從哪來的問題,從而讓模型的研究、思維的提升不再是無源之水．

1.2 尋找關聯,生成模型

問題2如圖2所示,若AB=4,∠A=30°,BC1=BC2=3,求AC1和AC2的長．

圖3

在問題2的計算中,AC1可以表示成AE-EC1,AC2可以表示成AE+EC2,那么從“形”的角度來看,Rt△AEB剪去或補上一個直角三角形即可產生△AC1B和△AC2B,據此,學生可從“形”的角度感悟“SSA”型圖形的關聯．基于此,再次深入探究,如果將滿足條件的兩個三角形分離開來,那么還可以得到哪些結論呢?

問題3如圖4,若在兩個非全等△ABC與△DEF中,當AB=DE,BC=EF,∠A=∠D時,請用等式表示∠C與∠F之間的數量關系．

基于問題2的探討,對比圖3與圖4,學生會迅速發現∠C+∠F=180°．再結合圖3輔助線的構造方法,學生能想到過點B作BG⊥AC,過點E作EH⊥DF,因為AB=DE,∠A=∠D,∠G=∠DHE=90°,所以△ABG≌△DEH,故BG=HE,而BC=EF,則Rt△BCG≌Rt△EFH,從而∠F=∠GCB,所以∠F+∠ACB=∠GCB+∠ACB=180°,猜想成立．通過此問題的解決進一步加深了學生從“形”的本質感悟“SSA”型圖形的關聯．

對命題的充分性與必要性的辯證思考是數學探究的重要組成部分．因此,進一步地,筆者將條件與結論互換,引導學生思考命題是否成立．

問題4如圖4,若在兩個非全等△ABC與△DEF中存在四個關系,分別是①AB=DE;②BC=EF;③∠A=∠D;④∠ACB+∠F=180°．思考將其中任意三個關系作為條件,剩下一個關系作為結論的命題是否成立,并說明理由．

解分析可得,共有四種情況:①②③→④,①②④→③,①③④→②,②③④→①．顯然①②③→④即為問題3,現證明①②④→③．因為∠F+∠ACB=180°,∠GCB+∠ACB=180°,所以∠F=∠GCB,因為∠G=∠FHE=90°,BC=EF,則△BCG≌△EFH,故BG=HE,而AB=DE,則Rt△ABG≌Rt△DEH,所以∠A=∠D,故①②④→③命題成立．同理,在①③④→②與②③④→①兩個命題中,均可通過證明△BCG≌△EFH與△ABG≌△DEH說明命題成立．因此上述所有命題均成立．

據此,筆者引導學生關注上述四個條件中邊與角的聯系,從而歸納產生模型1．

模型1在兩個非全等三角形中,存在四個關系(兩邊對應相等、一邊所對的角相等、另一邊所對的角互補),若其中有任意三個關系成立,則剩余的一個關系也成立．

教學說明本環節的研究承接問題1,在“計算—抽離—探究—辨析—歸納”的過程中生成了模型,經歷了從特殊到一般、從孤立到關聯、從直觀到抽象、從表象到本質的模型探究過程,實現了“SSA”圖形關系的橫向延伸．從問題2開始,滲透“SSA”型圖形中“形”的本質,自然生長基本輔助線,并在問題3及問題4的解決過程中,貫穿本質與方法,使得模型探究的過程成為了數學本質的挖掘之路,促使學生產生深度思考,發展數學思維．

1.3 弱化條件,延伸模型

全等是相似的特例,而弱化條件能使全等走向相似,使得結論更為一般．因此,筆者引導學生去掉邊的關系,僅保留角的條件,探究此時這些角所對邊存在的關系．

問題5如圖5,若在△ABC與△DEF中,當∠A=∠D,∠ACB+∠F=180°時,請用等式表示線段AB,BC,DE,EF之間的數量關系．

圖5

此時,有學生主動提出,若在問題5的三個關系中,滿足另外兩個關系成立,那么第三個關系也成立嗎?顯然,這位學生已領悟了模型探究的路徑,充滿了探究的欲望,因此,筆者保護學生的思考,順勢而為,產生問題6．

據此,類比于模型1,歸納模型2如下:

模型2在兩個三角形中,存在三個關系(一角相等、一角互補、兩角所對的邊對應成比例),若其中有任意兩個關系成立,則剩余的一個關系也成立．

教學說明弱化條件,結合類比學習,從全等到相似,保持方法連貫,使模型更為一般化,適用性更廣,應用性更強,實現了“SSA”圖形關系的縱向拓展．承接模型1的探究思路,自然生成模型2的結構特征,進一步鞏固“探究—辨析—歸納”的模型探究思路,拓展學生思維的廣度與深度,發展模型觀念．

1.4 總結模型,形成通法

問題7你掌握了哪些模型,這些模型有何結構特征呢?

引導學生回顧模型1與模型2,梳理模型結構,生成解題方法,最終形成板書如表1．

表1

問題8回顧模型建構的過程,你知道如何構建模型了嗎?

與學生一起回顧模型建構的過程,歸納模型的探究路徑,形成各階段的功能(圖6)．

教學說明在總結中幫助學生形成歸納反思的能力,梳理模型的結構特征,領悟模型的本質內涵,為后續應用模型提供通式通法．在思維的發展中進一步聚焦思維,關注模型產生的路徑,學會如何建構模型．

建構模型的過程有助于學生明晰模型本質,形成解題思路,生成解題方法．但如何發現模型,應用模型、深化模型仍需在解題中才能實現．

2 教學思考

2.1 強化建模歷程,培養探究意識

幾何模型能有效地幫助學生在復雜的幾何問題中鎖定基本圖形,應用模型結論,實現快速解題．長久以來,教師一直非常重視幾何模型在解題中的應用,卻忽視了建模歷程中的育人價值．因此筆者有意以“模型背景—挖掘結構—辨析結構—歸納模型—推廣模型”為路徑設計模型探究歷程,幫助學生實現從“學知識”到“會研究”．通過設計問題串,讓學生在“作圖—計算—研究—辨析—歸納”的建模歷程中感受模型的產生與發展,逐漸明晰模型的本質,從而自然生成解法．在整個模型探究中,教師將探究方法可視化,使得學生的探究欲望被激發、探究意識被培養、探究能力被塑造．長此以往,學生將更能感悟到數學之美,激發數學學習的興趣與求知欲,最終形成勇于探索的理性精神．

2.2 強化反思總結,形成通式通法

《新課標》強調在中考命題中要關注數學的本質,關注通性通法[1]．這就要求教師在平時教學中要注重反思總結,積累通式通法,其中可包含研究路徑的一般化與解題思路的步驟化．如本課例在模型探究結束之后,教師引導學生反思如何研究模型,從而總結研究模型的路徑,為模型探究提供了通法引領．當學生探究出模型1與模型2后,教師引導學生反思模型結構并整理成表,從而深化了模型特征,為后續解題提供了通法引領．事實上,凝練概括通式通法的過程其實就是揭示數學本質的過程,唯有領悟數學本質,才能真正提升舉一反三,拓展遷移的能力．

2.3 強化思維訓練,提升核心素養

著名數學教育家斯托利亞爾指出:“數學教學是數學活動思維活動的教學,而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學．”[3]可見,任何數學課堂都應當是以知識為載體,滲透數學思想、揭示數學本質、生長數學方法,從而強化思維能力、提升核心素養．本課以“問題引導,思維引領”的方式在探究SSA模型中滲透了轉化化歸思想、方程思想,強化了數學語言的三種表達(文字語言、符號語言、圖形語言),揭示了SSA圖形在“形”中的本質結構特征,自然生長SSA圖形的思考路徑與解題方法．讓學生在幾何作圖引出模型中激活思維,在挖掘結構感悟本質中生長思維,在辨析結構生成模型中靈活思維,在反思總結歸納模型中凝練思維,在類比探究模型延伸中創新思維,進而提升學生的模型觀念、幾何直觀與推理能力,逐步實現“三會”．

總之,數學模型教學更多地應當關注思考問題的方式、問題解決的策略、圖形研究的方法、模型本質的挖掘,讓模型的探究與建立成為一項提升學生思維能力、發展核心素養的數學活動．