始于教材 顯于本質 彰顯素養
——一道二次函數綜合題的命制與思考

徐國紅

(江蘇省蘇州市吳中區木瀆實驗中學 215101)

近期,筆者參加了區級中考數學模擬試卷的命題工作,命制了一道二次函數綜合題,該題位于全卷第26題,屬于二次函數壓軸題．試題的命制細目表要求該題以二次函數為背景,依據《義務教育數學課程標準(2022年版)》的要求,所考查的核心知識、數學思想方法、關鍵能力等方面要與往年同類型題保持基本一致．以下是筆者的命題過程及思考．

1 命題分析

二次函數綜合題是初中數學考查的核心題型．分析筆者所處大市近五年考試卷中的二次函數綜合題,發現它們具有如下主要特征:(1)都能從教材中尋獲其本源或出處,命題者通過對教材中的素材進行適當的拓展及延伸,改變了原有的呈現形式,實現了命制試題的推陳出新;(2)試題的命制主要以二次函數為背景,以基本的幾何圖形為載體,借助函數、方程及圖形性質與運動的基本規律,探索和發現二次函數的本質屬性,實現代數與幾何知識的融會貫通;(3)都很好地滲透了抽象能力、運算能力、幾何直觀、推理能力等數學核心素養．

基于以上分析,筆者對命制試題做如下定位:首先,遴選教材中二次函數相關內容為基本命題素材,利用二次函數與坐標軸交點及其本身存在的特殊點構造基本幾何圖形,探究二次函數與其衍生出來的幾何圖形中蘊含的相關元素之間的關系;其次,對所選素材進行深入分析和挖掘,獲取素材本質特征與幾何圖形之間的相互聯系,并以此設問,力求所設問題之間在外顯上相對獨立,但在問題核心內涵上又緊密相關、層層遞進,著重體現數學學科的本質,揭示數學知識的發展過程,提升學生的數學關鍵能力;最后,試題的命制須落實核心知識、重要的數學思想和方法,考查關鍵能力,發展數學核心素養．

2 命題過程

2.1 素材來源與分析

命題素材的選取是試題命制的關鍵,在熟悉的問題情境下設計試題,能多角度考查學生解決問題的能力,實現命題者的命制意圖．筆者翻閱教材注意到:蘇科版教材九年級下冊第5章“二次函數”第四課時的“思考與探索”[1]中有這樣一段素材:

如圖1,二次函數y=x2―2x―3的圖象與x軸的交點坐標分別是M(3,0),N(―1,0)．由此可知,當x=3時,y=0,即x2―2x―3=0．也就是說,x=3是一元二次方程x2―2x―3=0的一個根．同樣,x=―1是x2―2x―3=0的另一個根．

圖1

這段素材描述了二次函數與相應的一元二次方程的關系．借助二次函數圖象可以揭示相應的一元二次方程解的幾何意義．觀察圖象,我們容易得到該二次函數與y軸的交點G的坐標．如圖2,連接MG,NG,可以發現:△OMG是等腰直角三角形,△ONG中兩個銳角∠NGO與∠ONG的角度為定值．將上述兩個三角形按照命題需要進行平移、翻折或旋轉,能與坐標軸形成多種不同位置的組合,并產生相對應的不同的二次函數．若以上述發現的結論作為命制試題的切入口,可抵近學生最近發展區,實現試題設計熟而不俗．初稿醞釀成形．

2.2 挖掘素材內涵,錨定命題方向,形成初稿

如圖3,拋物線y=x2+4ax+3a(a是常數且a>0)與x軸交于A,B兩點(點A位于點B右側),與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點,且點D的縱坐標為-1,連接AC,BC,CD．

圖3

(1)求該拋物線的表達式及點D坐標;

(2)若點P為拋物線上的點,連接CP,當∠BCD=∠PCB時,求點P的坐標;

(3)若在x軸上存在一動點Q,且動點Q的橫坐標為m,當∠QCB<∠ACO時,直接寫出m的取值范圍．

圖4

初稿突破了所選素材的外在形式,在堅持保留素材數學內核的基礎上將原素材中的等腰直角三角形和已知兩銳角的直角三角形平移和翻折,創設了新的問題情境,生成新的二次函數y=x2+4x+3,新函數繼承了素材中二次函數的基本數學特征,在引入頂點后,頂點與二次函數和坐標軸的交點構成∠BCD,通過計算發現∠BCD為一定角,這就為研究角之間的大小及位置關系提供了思考和探索的空間．試題以簡單的求二次函數的解析式及頂點坐標作為思維的發端,逐步引導學生自主構建相關的幾何圖形,并探究其中相關圖形之間或圖形與函數之間的關系,重點考查了二次函數的相關性質、結論及基本幾何圖形的重要性質．初稿的設計從教學實際出發,結合學生的數學學習經驗和心理認知特征創設問題情境,設計體現不同思維層次的問題,觸發學生的數學思考,立意清晰明確．

本稿試題存在的主要問題:首先,第(1)問在設計時意圖通過求二次函數的解析式及點D的坐標,引導學生自主建構問題解決所需的幾何圖形．但實際解題過程中,利用點D的縱坐標求a的值的計算較復雜,無法保證得分率．其次,第(2)問的解法不唯一,既可以通過翻折△CBD構造等腰三角形解決,也可以通過延長DB并截取DB的等長線段構建線段的垂直平分線,抑或構建“一線三等角”等方法解決,但此設問都是圍繞點B,C,D所組成的三角形或其中的角來展開命制思路,沒有和二次函數與坐標軸交點所組成的其他幾何圖形(如△ACO等圖形)形成廣泛聯系,二次函數應有的價值沒有充分被挖掘．最后,第(3)問雖然引入了x軸上的動點Q,但學生通過直觀想象及簡單操作容易得知:動點Q只要在CP與x軸的交點及CD與x軸的交點之間運動即滿足題意．該設問在思維能力要求上相較第(2)題沒有明顯的提升,不能引發學生對試題數學本質的進一步探索和思考,問題的價值大打折扣．

其實,在編制初稿的過程中我們已經發現:∠BCD=∠OCA且tan ∠CAO=3．如果確立以△OCA中的兩個銳角為命題主線,從命題的視角及立意方面重新設計,命制的試題在問題情境的創設上和設問之間的內涵聯系上將大為改觀．至此定稿形成．

2.3 重塑問題情境,明確命題主線,終成定稿

如圖3,拋物線y=x2+4ax+3a(其中a是常數)與x軸交于A,B兩點(點A位于點B右側),與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點,且點A的坐標為(-1,0),連接AC,BC,CD．

(1)求該拋物線的表達式及點D坐標;

(2)若點P為拋物線上的點,連接CP,當∠ACO=∠PCB時,求點P的坐標;

(3)若在x軸上總存在一動點Q,且動點Q的橫坐標為m(m>-3),當∠ACO<∠QCB<∠CAO時,請直接寫出m的取值范圍．

圖5

定稿中已知點A的坐標,學生運用待定系數法可直接求出a的值,擺脫了初稿中較為復雜的運算,激發了學生繼續探究解決問題的積極性,保證了本題的得分率．與此同時,利用所給條件求點D的坐標,激活學生已有的解題經驗,引導學生繼續探究二次函數與坐標軸的其他交點坐標,為進一步利用點坐標構造基本幾何圖形并探索發現其中存在的一般性質和結論做好鋪墊．本稿以△AOC中可求銳角∠ACO,∠CAO作為第(2)、(3)問的核心知識點和主線,容易讓學生在分析、解決問題時及時聯想起課堂教學中對函數背景下已知三個頂點坐標所圍成的三角形的一般研究方法和解題策略,在貼近學生的認知水平的同時,發揮試題對于課堂教學的正確導向功能．在發現和轉化∠ACO,∠CAO的過程中,激勵學生去積極探索、發現整個問題中由已知點和可求點所圍成的三角形的內角中是否存在類似的定角,以此打開解題思路．由于學生已在第(2)問中獲得轉化∠ACO的相關經驗,類比轉化∠ACO,學生能自然發現可以通過轉化已知角或者構造角等于已知角來尋找滿足題意的條件,進而發現,若要實現∠ACO<∠QCB<∠CAO,只需轉化為∠BCD<∠QCB<∠BCG時動點Q的運動軌跡即可．

本題是對教材中相關素材進行綜合分析運用后命制的二次函數綜合題,是教材中相關素材的變形與延續．試題的設計立意指向明確,主線清晰,為不同層次的學生提供了展示相應能力的平臺,體現了命題過程中的人文關懷和溫度．命題過程中充分挖掘二次函數中的特殊點和與坐標軸的交點所構成的幾何圖形中的定角,利用精心編制的具有啟發性的設問引導學生逐步自主構建幾何圖形,并將圖形進行翻折等運動,將已知角進行類比、轉化,以“數”導“形”,以“形”助“數”,數形結合,內涵豐富．在探索和思考問題的過程中,要求學生具有較強的構造基本幾何圖形、整合條件、圖形分解的能力,而在解題過程中,解法呈現多樣性、靈活性及一般性,充分考查學生綜合運用數學學科知識并發現問題、分析問題和解決問題的能力,充分發展了學生的抽象能力、幾何直觀、計算能力、推理能力、應用意識等初中數學核心素養．

3 命題思考

3.1 始于教材,注重挖掘教材潛在功能

數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索,是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源[2]．教材是落實新課標的主要載體,是教師教學和學生學習的重要依據．以本題的命制素材來看,它不但真實來源于教材,且為教材中師生易于忽視的部分．這段素材處于本節課的引問位置,在教學中常常由學生自學或教師簡單介紹一帶而過,甚少對其進行深層次的剖析,未探明其內含的數學本質,白白錯失了讓素材內在的數學規律和本質展現在學生面前的契機,浪費了提升學生思維能力的良機．教學實踐中,不僅要牢牢把握住教材中的基本知識,更要不斷挖掘和利用教材例題、習題及相關素材潛在的功能,重視教材、研究教材,最后回歸教材,才能實現“綱舉目張”．教材是命題者的“源頭活水”,教師只有積極帶領學生“追本溯源”,將教材中素材的“源”弄清楚,才能引來學生思維之“流”的滾滾而來．

3.2 顯于本質,重視發展思維品質

從試題命制的角度來看,學生需要經歷比較完整的思維探索過程,具體表現為“點坐標?線段長度或線段間關系?幾何圖形中相關元素間關系”,這其中除了重點考查“四基”外,還著重考查了其中所蘊含的數學原理,需要學生理解相關的數學本質．從試題解決角度來看,學生對數學思想方法的自覺運用異常重要．數學思想方法是數學知識學習中極為重要的組成部分,史寧中教授曾指出:“數學思想是數學產生與發展所依賴的思想,是學習數學以后具有的思維能力．”因此,在教學過程中,教師既要積極探索、落實課堂中的“雙線”教學,即知識線與思想方法線并舉,又要積極引導學生體會教材中所呈現出來的數學思想、方法,重視培養學生在數學學習中提煉數學思想的習慣,注重學生運用數學思想方法及“一般觀念”解決問題的意識的養成,促進學生在數學活動中積累活動經驗,逐步掌握解決問題的基本思路和基本邏輯,讓學生通過理解和掌握問題之間的聯系及問題背后所考查的數學原理,積極探求數學本質,提升數學學科學習能力,發展思維品質．

3.3 重在能力,發展數學核心素養

本題圍繞二次函數及其衍生出來的幾何圖形這一主干知識,重點對學生的學習過程和學習方法進行考查,突出了素養導向．在試題的解決過程中,由二次函數中已知點和特殊點,自然建構基本幾何圖形,注重考查了學生的幾何直觀;利用已經構造好的圖形中所蘊含的已知線段,聯想到確定圖形中的角度,從而獲得相等的角,突出考查了學生的邏輯推理能力;通過將圖形翻折獲得一般情形下的等角,呈現了從特殊到一般的自然過渡,重點考查了學生的計算能力;借助二次函數的圖形及幾何圖形,引導學生從圖形運動的角度分析獲得動點運動的軌跡,讓學生從直觀感受邁向理性認識,數形結合,著重考查了學生的抽象能力．教學中,教師不但要引導學生體會試題等素材中所內含的數學理念,關注數學知識間的相互融合、知識結構的梳理,促進其結構化、系統化,條理化,更要重視學生參與數學學習過程的完整性,幫助學生形成理性的數學思維,提升邏輯推理能力、數學閱讀能力以及綜合運用數學知識分析并解決問題的能力,真正做到學會知識、看透本質、感悟思想方法,進而主動運用數學的思維解決問題,全面發展數學核心素養．