基于整體教學觀下的初中數學復習課教學策略探析

黃小衛

初中數學復習課教學實踐中存在“復習課與練習課混淆；重練習鞏固，輕總結提升”等問題。復習課是新授課和練習課結束后進行的教學活動，基于整體教學觀下的復習課教學有利于幫助學生梳理知識，深入理解知識掌握數學方法提升思維品質。本文提出整體內外聯結、目標維度多元、核心主線輻射等復習課教學策略，從而幫助學生形成有生命力的數學知識網絡，以點概面優化復習，整體實現課程目標，讓學生掌握知識的同時，積累數學活動經驗，提升思維品質，學會數學地思考。

《義務教育數學課程標準》（2022年版）提出，“教材編寫應體現整體性?！笨梢姡瑹o論從學生認知發展過程，還是數學學科特點，都要求教師有意識地關注教學的整體性，讓學生習得有生命會發展的數學，從而學會數學地思考和解決問題。初中數學復習課沒有現成的教材，需要教師通過對數學教育和教學的理解進行設計和教學，導致復習課存在各種問題：復習課與練習課混淆；大量題目堆砌組成一份復習學案，學生苦扎題海；重練習鞏固，輕總結提升；知識方法割裂，復習時知識點散亂，忽視知識方法的體系，就題論題，復習教學的設計只限于當前知識方法，不考慮知識的聯系與發展；重結果，輕過程，復習時試圖通過不斷刷題復習提升學生解題能力，忽視學習過程的體驗、數學思想的滲透等。復習課是新授課和練習課結束后進行的教學活動，整體教學觀下設計的復習課有利于幫助學生梳理知識，并且將知識融入數學體系中；深入理解知識掌握數學方法提升思維品質，積累反思小結的經驗。本文從“整體內外聯結”“目標維度多元”“核心主線輻射”三個維度優化初中數學復習課教學策略，旨在提高教學效率。

1 整體內外聯結

整體內外聯結是指通過分析課標，分析教材，聯系章內知識和章外知識，使知識體系化，為后續學習提供知識和方法基礎。

1.1 章內整體設計

以浙教版八年級上冊第一章《三角形的初步知識》為例，課標要求“理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩定性。探索并證明三角形的內角和定理，掌握它的推理：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊?！闭聝冗壿嬯P系：根據教材排布，學生的學習邏輯是從理解三角形（整體認知）到理解它的要素“頂點、邊、內外角、主要線段”（局部認知），再到三角形的全等（關聯認知），最后是尺規作圖（邏輯提升）。然而，作為教育的數學，本章還承載了證明起始教學的重要任務，涉及命題、定理、證明等內容，貫穿整章。上述關系可用圖1表示。

復習活動設計：已知△ABC，求作一個三角形與△ABC全等。

追問1：你是怎樣作的？和同學比較，最簡單的做法是什么？

追問2：表示這個三角形，說說三角形的定義，指出該三角形的頂點、邊、角。三角形有哪些性質？

追問3：為什么研究三角形時我們會關注邊、內角、外角？

由定義可知三角形是由不在同一直線上的三條線段首位順次連接而成的圖形，因此會關注構成圖形的線段，即邊；有相交線段自然會構成角。認識圖形好比認識一個人，先有大概印象，再深入認識它的各個部分，直到它的內外聯系。之后讓學生畫一畫本章內容的知識框圖。上述教學策略旨在讓學生關注研究圖形的“基本套路”，學生自己畫知識框圖有利于本章知識體系化、整體化。作為幾何學習的初始教學，這樣的梳理既是本章知識系統化，又是后續學習的方法指導。要實現整體復習，教師需要潛心研讀課程標準和教材，高屋建瓴地帶領學生認知數學，理解數學，學會數學地思考和解決問題。

1.2 跨章聯結設計

數學教學具有教育性，教材會根據數學特點及學生認知規律編排內容，因此，也有了章節分割。但數學知識之間是不可分割充滿聯系的，也就是說教師在復習時要關注章知識塊之間的聯系。比如上述三角形的初步知識復習時在學生嘗試畫知識框架展示后，可以給出如圖2的框架。

七年級上冊學習了幾何圖形，學生已經知道點、線、面、體這些基本圖形幫助我們刻畫錯綜復雜的世界，之后學習了相交線、角、平行線，事實上都在研究圖形本身及其關系?，F在，對三角形的研究也是一樣，三角形本身屬于幾何圖形，它又由更基本的相交線段構成。這里可以從這一框架開始帶領學生回憶相交線、角、平行線學習的過程，讓學生體會研究圖形不僅研究其本身，還要更深入地研究它內外部的聯系，這樣的思想恰與本文的內外聯結設計一致。認識三角形復習通過聯結之前幾何圖形、相交線、平行線的知識，學生自然理解研究圖形需研究圖形的構成要素，需研究內外部聯系，為后續學習其他幾何圖形提供研究方法的參考。上述設計的操作框圖如圖3所示。

2 目標維度多元

目標維度多元是指在復習設計時關注數學知識和技能、數學思想、數學活動經驗等課程目標的整體實現。

2.1 關注數學思想

課程標準指出，“義務教育階段應結合具體的教學內容逐步滲透數學的基本思想?！睗B透是隱性的，它需要一個長期的過程。新授課需要滲透，復習課更應關注數學思想的滲透。比如特殊三角形的學習過程滲透了一般到特殊的數學思想。通過邊的數量關系、位置關系的特殊化得到等腰三角形或直角三角形，如圖4所示。

在復習過程中要不斷滲透這樣的思想，經過長期的熏陶，學生自然而然地養成了一般到特殊的思考習慣。然而為了拓展學生的思維，更深刻地理解數學，更靈活地解決問題，在復習中不僅要提供“一般到特殊”的素材，也要讓學生習慣于反過來思考問題，也就是不斷運用圖5的邏輯來研究問題。

例如，在特殊三角形復習中做如下設計。

問題1：已知，△ABC中，AD為BC邊上的中線。（1）你能獲得哪些結論？（2）要使△ABC為等腰三角形，AD需滿足什么條件？等邊三角呢？直角三角形呢？

問題2：已知，△ABC中，AD為BC邊上的高線。要使△ABC為等腰三角形，AD需滿足什么條件？等邊三角形呢？直角三角形呢？

問題3：仿照前面兩問編一個問題，并嘗試解答。

問題4：如圖6，以△ABC的每一條邊作三個正方形。已知這三個正方形構成的圖形中，黑色部分的面積與灰色部分的面積相等，則△ABC是直角三角形嗎？請證明你的判斷。

問題5：如圖7，以直角三角形△ABC三邊為直徑作三個半圓，求S1，S2，S3之間的關系。

該設計中前兩個問題將中線和高線特殊化從而將一般三角形特殊化。將等腰三角形、直角三角形關于中線和高線的性質的條件結論交換，思維含量加大，由于三角形的不確定，還要對問題進行分類思考。這樣的設計事實上是類比一般三角形到特殊三角形中邊的特殊化產生的，問題3也讓學生體驗了類比仿照，體驗了研究的基本套路。上述問題4、5摘自教材，復習時通過這兩問學生回顧了勾股定理及其逆定理，讓學生關注到圖形變化結論不會改變。此時，可以讓學生再換一下圖形試試，最后總結只要符合什么條件，結論都成立。這樣的過程就是從特殊到一般的過程。在復習教學設計時，有意識地關注數學思想的滲透，長期潛移默化，學生頭腦里的數學思想將從模糊走向清晰，養成數學地思考的習慣將改變其認識事物的方式。多年后數學知識學生將淡忘，但思考、理解、解決問題的習慣將使學生受益終身。

2.2 關注過程目標

數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，積累數學活動經驗是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。經歷、體驗、探索等都為過程目標動詞，教師在設計教學時要清楚經歷體驗什么，探索什么。在日積月累的經歷、體驗、探索后，復習提煉從經驗到理性的結論便是頓悟。比如，幾何研究往往從定性和定量兩個角度展開，而兩者又是統一的。在研究兩條直線的位置關系時，相交線、垂直、平行都可以通過角度（量）來刻畫，可見量是刻畫圖形性質和關系的重要方式。在比較線段長短的時候，用了疊合法和測量法，充分說明了統一單位長度后可以量化線段比較大小。三角形的學習中，三邊關系的證明由兩點之間線段最短獲得，但在證明之前依舊需要讓學生體驗量對于性的作用，也就是說畫幾個三角形量一量，比一比，猜一猜，再來證明。勾股定理一節的課題便是“探索”，有了三角形三邊關系量、比、猜、證明的經驗，學生自然想到從量開始（這里可將三角形放于方格中減小誤差），證明的難點來源于二次等式。這里又要回歸到圖形的量化問題，在多項式的乘法和乘法公式教學中教材安排了圖形面積驗證，事實上也在告訴學生“我們可以通過量化圖形來研究圖形?！边@樣，探索勾股定理方向就明確了。前面圖形量化限于線段和線段、角和角?；〉某霈F又是新的提升，弧作為曲線，它的長可以用“度”來刻畫。經過上述分析，在解直角三角形復習中可做如下設計。

問題1：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=4，解這個直角三角形。

問題2：上述問題中運用到哪些知識？

問題3：已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=6。求cosB

問題4：已知△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a。求cosB

問題1學生關注的是解直角三角形的含義、三角函數定義等。問題2讓學生把用到的知識并非做簡單的知識回憶，應讓學生明確勾股定理解決的是直角三角形的邊邊關系，直角三角形兩銳角互余解決的是角角關系，而三角函數則是邊角關系，即角的大小可以用邊的比值來量化，這與之前學習的線段、角、弧的量化相統一。問題3非直角三角形中已知三邊求角，問題4是問題3的一般化，學生僅僅獲得了解非直角三角形的方法是不夠的，還應追問“這里為什么可解？給出哪些條件可解？”事實上這里讓學生體驗了用量化三角形判斷全等的過程。問題3、4中三邊確定，三角可確定，說明三邊對應相等的兩個三角形可以重合。上述設計圍繞“量化幾何圖形研究問題”，讓學生體驗定性和定量研究關系。值得注意的是過程性目標無論在新授課還是復習時都應關注；復習素材無論是拿來主義還是自編都需要挖掘其價值，切忌僅以解出題目為目的，切忌以難倒學生為目的。

3 核心主線輻射

核心主線輻射指抓住某一知識點，聯系各個知識塊，以點概面進行復習的設計。在復習《特殊平行四邊形》一章時，就可以利用“對稱”這一個點輻射延伸，做如下設計。

問題1：已知△OBC，將△OBC繞點O順時針旋轉180°（1）做出旋轉后的△ODA，連接AB，CD，判斷四邊形ABCD的形狀。（2）要使四邊形ABCD為矩形，則△OBC需滿足什么條件？要使四邊形ABCD為菱形？正方形呢？（如圖8所示）

問題2：G為正方形ABCD對角線上一點，GF⊥BC于F，GE⊥CD于E，連接AG，EF。求證：EF=AG。（如圖9所示）

問題3：G為正方形ABCD對角線上一點（不與B，D重合），F在邊CB（不與B，C重合），GF=AG，求證：GF⊥AG（如圖10所示）。

問題4：G為正方形ABCD對角線上一點，F在邊CB上，GF⊥AG，求證：GF=AG（如圖10所示）。

問題5：四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN，AM，CM。⑴求證：AM=EN；⑵當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；⑶當AM＋BM＋CM的最小值為+1時，求正方形的邊長（如圖11所示）。

中心對稱是平行四邊形最本質的性質，等腰三角形最本質的性質是軸對稱。而四邊形的研究最終歸結于三角形，所以在復習時設計了三角形旋轉問題。由于等腰三角形的軸對稱性，它旋轉180°后使四邊形有兩條對稱軸得到了矩形；而直角三角形旋轉180°后直角邊所在直線即為對稱軸得到菱形；等腰直角三角形更特殊可得到了有四條對稱軸的正方形。在新授課時將平行四邊形的邊、角特殊化獲得菱形、矩形、正方形，復習時以“對稱”為核心特殊化，讓學生聚焦于四邊形內部的三角形，拓寬了思路，利于學生運用圖形變換認識圖形及其性質。在問題1關注特殊平行四邊形的對稱性后，給出問題2（摘自書本例題），運用對稱性很容易獲得AG=CG，再利用矩形對角線相等即可得EF=AG。問題3是繼續利用對稱性獲得AG=CG，從而構造了等腰三角形GFC，接著利用等腰三角形的對稱性想到作垂線。問題4將“對稱性”輻射到正方形的“旋轉對稱性”。這樣，如圖12、圖13、圖14所示，正多邊形中E、F分別在邊上，且BE=CF，AE與BF的夾角問題就很容易被接受了。問題5是繼續將“對稱”輻射到旋轉，即利用旋轉尋找三角形的費馬點。讓學生的視角繼續在圖形變換上，感受變換雖帶來的位置變化但大小不變，從圖形變換的角度認識圖形有利于空間觀念的提升，發展其幾何直觀想象的能力。上述設計以特殊平行四邊形的對稱性為核心，輻射概括圖形變換的本質。與其面面俱到，細細碎碎地復習每個知識點，不如以點概面，以一個核心為抓手輻射遷移到相關內容，提高復習的效率，提升學生思維的深度和廣度。

綜上所述，整體教學觀下復習課教學，使學生擺脫了大量題目堆砌組成的復習學案，學會關注數學的前后聯系，體驗了整體復習的數學活動過程，提升了解題能力，習得了發展的有生命力的數學。整體教學觀下復習課教學促使教師結合課程標準、學生情況以及教材邏輯體系，做到在知識方法的可聯系、可遷移處進行適當的遷移聯系。值得注意的是，基于整體教學觀下的復習課教學，需要教師認真研讀并理解課程標準和教材，根據課標要求和教材邏輯對一章或一個知識塊結合內外聯系加以設計。同時，要關注各維度課程目標的整體實現，力求以點概面進行知識和方法的遷移。