運(yùn)用實(shí)系數(shù)二次方程求復(fù)數(shù)范圍問(wèn)題
——一道復(fù)數(shù)題的求解及變式探究

江蘇省揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué) (212200) 朱衛(wèi)紅

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題,原來(lái)一直是課外補(bǔ)充與閱讀知識(shí),新教材(2019人教A版)中直接作為課本例題加以剖析與展示,并在例題的基礎(chǔ)上,給出了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根公式,明確加強(qiáng)這部分知識(shí)內(nèi)容的基本要求與綜合應(yīng)用,也為相應(yīng)命題提供依據(jù).

1.問(wèn)題呈現(xiàn)

2.問(wèn)題剖析

此題以實(shí)系數(shù)二次方程為應(yīng)用場(chǎng)景,利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)(兩虛根互為共軛復(fù)數(shù))的基本結(jié)論,結(jié)合對(duì)應(yīng)條件加以數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理,進(jìn)而確定兩虛根的比值問(wèn)題.該問(wèn)題是基于新教材中實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,并在此基礎(chǔ)上合理把握相應(yīng)的基本性質(zhì):

(1)當(dāng)△<0時(shí),實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)(互為共軛復(fù)數(shù));

而在實(shí)際解決問(wèn)題中,可以從復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)視角切入,利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)加以推理與分析;也可以從復(fù)數(shù)的待定系數(shù)法視角切入,利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式引入?yún)?shù),利用待定系數(shù)法來(lái)分析與運(yùn)算等.這也是解決此類(lèi)復(fù)數(shù)問(wèn)題中比較常用的兩種基本技巧與方法.

3.問(wèn)題破解

評(píng)注:根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)的基本性質(zhì)確定兩虛根之間的關(guān)系,為進(jìn)一步的性質(zhì)應(yīng)用與關(guān)系式恒等變形提供理論論據(jù),而共軛復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)也是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)鍵所在.而對(duì)于方程x3=1的根的求解,要注意因式分解以及求根公式的應(yīng)用.看似簡(jiǎn)單的一道二次方程問(wèn)題,融合進(jìn)比較多的基本知識(shí)點(diǎn)與思想方法.

評(píng)注:根據(jù)條件利用待定系數(shù)法之代數(shù)形式直接設(shè)出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),把虛數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題,是解決復(fù)數(shù)計(jì)算問(wèn)題時(shí)最常用的一種基本方法之一.待定系數(shù)法處理復(fù)數(shù)及其綜合問(wèn)題,思路簡(jiǎn)捷直接,往往離不開(kāi)比較繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理,特別是復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算等,具體解題過(guò)程中要細(xì)致認(rèn)真.

評(píng)注:根據(jù)題中相關(guān)虛數(shù)的次冪運(yùn)算,也可以利用待定系數(shù)法之三角形式直接設(shè)出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算來(lái)處理對(duì)應(yīng)虛數(shù)的乘積、次冪與除法等,更加簡(jiǎn)單快捷,必要時(shí)要對(duì)復(fù)數(shù)中輻角的取值情況進(jìn)行分類(lèi)討論.復(fù)數(shù)的三角形式是現(xiàn)行教材中的選學(xué)內(nèi)容,作為學(xué)有余力以及參加競(jìng)賽學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一,也是解決問(wèn)題的一種常見(jiàn)的技巧方法.

4.變式拓展

結(jié)合原問(wèn)題及其對(duì)應(yīng)的解析過(guò)程,從中尋覓變式拓展的視角.

當(dāng)然該變式問(wèn)題也可以通過(guò)原問(wèn)題中的其他方法來(lái)分析與求解,這里不多加以展開(kāi),供有興趣的愛(ài)好者自行推理與應(yīng)用.

該變式問(wèn)題中,融入復(fù)數(shù)的方程應(yīng)用,借助代數(shù)基本定理的數(shù)學(xué)文化情境,以復(fù)數(shù)的方程為背景,巧妙融入復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算、方程的根等相關(guān)知識(shí),通過(guò)合理的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及化歸轉(zhuǎn)化等來(lái)綜合分析與處理.