幾個三角形不等式的再探究

湖南省長沙市望城區中小學教師發展中心 (410200) 劉先明

設ΔABC的三邊長、三邊對應的高、對應的旁切圓半徑、外接圓半徑、內切圓半徑、半周長分別為a,b,c,ha,hb,hc,ra,rb,rc,R,r,s,用∑、∏表示循環求和、循環求積.文[1] 提供了加拿大數學雜志Crux Mathematicorum 4596題:

文[2] 提供了加拿大數學雜志Crux Mathematicorum 3450題:

本文獲得(1)、(2)、(5)、(6)式的加強.為證明相應的結論,先給出如下已知的結果.

引理1 (文[4])在ΔABC中,有∑a=2s,∑bc=s2+4Rr+r2,abc=4Rrs,∑a3=2s(s2-6Rr-3r2),∏(b+c)=2s(s2+2Rr+r2).

引理2 (Gerretsen不等式)在ΔABC中,有16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2,當且僅當ΔABC為正三角形時取等號.

1.(1)式的加強及下確界

從而結論1是下述Nesbitt不等式的特例.

2.(2)式的加強

同時,獲得歐拉不等式R≥2r的加強:

3.(5)式的加強

4.(6)式的加強