三角形內切橢圓的幾個幾何恒等式

廣東省廣州市鐵一中學 (511441) 范 群

文[1]給出了三角形內切橢圓的一個幾何恒等式,即

命題1[1]設P,Q是ΔABC的一個內切橢圓的兩個焦點,則下列等式成立:

在上述命題基礎上,筆者進一步探究得到了幾個新的幾何恒等式.

命題2 設P,Q是ΔABC的一個內切橢圓的兩個焦點,該內切橢圓與ΔABC的三邊BC,CA,AB分別切于點D,E,F,則下列等式成立:

證明命題2,要用到如下幾個引理.

引理1[2]橢圓切線與過切點的焦半徑成等角.

圖1

引理2 如圖1,P,Q是橢圓的兩個焦點,AE,AF是橢圓的兩條切線,則有(1)∠PAF=∠QAE;(2)∠APF=∠APE;∠AQF=∠AQE.

圖2

證明:如圖2,延長QF至點J,使得FG=FP,延長至點PEK,使得EQ=EK,由橢圓定義及引理1可推得ΔAPF?ΔAJF,ΔAQE?ΔAKE且PK=QJ=2a(2a為橢圓長軸長),所以有AP=AJ,AQ=AK,∠AJF=∠APF,∠AKE=∠AQE,∠JAF=∠PAF,∠KAE=∠QAE,且有ΔAJQ?ΔAPK,所以∠AJF=∠APE=∠APF,∠AKE=∠AQF=∠AQE,∠JAQ=∠PAK,則有∠JAQ-∠PAQ=∠PAK-∠PAQ,即∠JAP=∠KAQ,也即有∠PAF=∠QAE.

圖3

引理3 如圖3,設P,Q是ΔABC一個內切橢圓的兩個焦點,該內切橢圓與ΔABC的三邊BC,CA,AB分別切于點D,E,F(D與E,F分列在橢圓長軸的兩側),則有∠BPD=∠PAF+∠PBF+∠PCD.

證明:易知三角形內切橢圓的三個切點不能在橢圓長軸同一側,也不能其中有兩個切點都在長軸端點上或都在短軸端點上,如圖3所示,三個切點分別為D,E,F,不妨設點D和E,F兩點分列在橢圓長軸的兩側,則由引理1和2知,∠APF=∠APE,∠BPF=∠BPD,∠CPD=∠CPE,又因為∠APB=π-∠PAF-∠PBF,∠CPD=∠BDP-∠PCD,所以2∠APB+2∠CPD=2π,化簡即可得到∠BDP=∠PAF+∠PBF+∠PCD.

若其中一個切點在橢圓長軸一個端點處,另外兩個切點分列橢圓長軸兩側,也可得到類似性質,在此不在累述.

命題2的證明:如圖3所示,由引理1和引理2可設∠PAF=∠QAE=θ1,∠PBF=∠QBD=θ2,∠PCD=∠QCE=θ3,∠PDB=∠QDC=α1,∠QEC=∠PEA=α2,∠QFA=∠PFB=α3,再由引理2(2)可得∠APE=∠APF=α3-θ1,∠BPF=∠BPD=π-α3-θ2,∠CPD=∠CPE=α1-θ3,∠AQE=∠AQF=α2-θ1,∠BQF=∠BQD=α1-θ2,∠CQD=∠CQE=π-α2-θ3,并由引理3可知α1=θ1+θ2+θ3.

由命題1及命題2即可得

推論1 設P,Q是ΔABC的一個內切橢圓的兩個焦點,該內切橢圓與ΔABC的三邊BC,CA,AB分別切于點D,E,F,則下列等式恒成立:

圖4

證明命題3要用到如下兩個引理.

圖5

引理4[3]如圖5,PA,PB是橢圓的兩條切線,切點為A與B,O是橢圓中心,則PO平分線段AB.

引理4的證明見文[3],此略.

引理5的證明見文[4],此略.

圖6

在命題3等式兩邊同乘2S1S2S3即可得