探命題之偽，促反思之意

江訓坤

［摘? 要］ 文章介紹一類幾何探究題，即先給出一偽命題，再給出該命題看似毫無漏洞的證明，讓學生去探索錯誤的根源并證明該命題的真偽，以解題過程代替反思過程，達到培養學生反思意識和促進元認知發展的目的.

［關鍵詞］ 解題；平面幾何；元認知；反思

引言

數學家哈爾莫斯曾說：“問題是數學的心臟.”解題是一種認識活動，是對概念、定理的繼續學習，是對方法的繼續熟練，而不僅僅是“規則的簡單重復”或“操作的生硬執行”［1］. 在學校教育中，解題活動就屬于數學問題的解決，解題活動在掌握知識技能、提升思維能力、激發數學興趣、開闊數學視野及培養創造精神等方面具有廣泛的意義. 不同類型的數學問題要求學生采用不同的解題思維和解題策略，能更加全面地培養和提升學生的數學素養. “圖形與幾何”是初中數學課程內容的四大主線之一，是中考數學的重要內容，是完善知識結構和提升數學素養的重要載體. 因此，在幾何的教學中，筆者認為要深入地去思考這樣兩個問題：如何讓學生積極主動地去學習幾何知識和解決幾何問題？如何通過解決幾何問題提高相應的幾何素養？“數學問題”既然是數學的心臟，那么數學問題的提出、選擇和命制就顯得至關重要. 基于初中平面幾何問題，設計一種讓學生一看就感興趣，一做就有所感悟和提升的幾何問題，通過解決這類問題達到解決上述提出的兩個問題的目的.

案例賞析

數學錯誤同樣是數學進步的基石，其中蘊含著不可估量的教育價值. 學生在觀摩錯題的過程中去發現錯誤，運用所學知識去改正錯誤，最后通過解題反思，既達到了運用知識解決問題的目的，又通過反思形成了規避此類錯誤的主體意識，進而達到完善自身認知結構，提升數學素養的目的. 請看下面一個案例.

請閱讀以下關于“任意一個不等邊三角形都是等腰三角形”的證明過程，請問該證明是否正確，給出你的判斷，如果錯誤，請給出理由.

任意畫出一個三邊長度都不相等的三角形ABC，然后再證明該三角形為等腰三角形. 如果在不等邊三角形ABC中作∠C的角平分線和AB邊的垂直平分線并交于一點G. 過點G作AC與CB的垂線，分別與AC和CB交于D，F兩點.

對于各種不等邊三角形，有以下四種可能性來滿足以上的描述.

在圖1中，CG與GE相交于三角形內一點G.

在圖2中，CG與GE相交于三角形的AB邊上（點E與點G重合）.

在圖3中，CG與GE相交于三角形外一點G，但垂線GD和GF分別與AC和CB交于D，F兩點.

在圖4中，CG與GE相交于三角形外一點G，但垂線GD與GF分別與CA和CB的延長線交于D，F兩點.

現在我們將根據以上四種情況證明AC=BC，也就是證明三角形ABC是等腰三角形.

證明過程如下：

因為CG平分∠ACB，GD⊥AC，GF⊥BC，有∠ACG=∠BCG，∠CDG=∠CFG，可知△CDG≌△CFG（AAS），所以DG=FG，CD=CF. 又GE是AB的垂直平分線，則AG=BG，因為∠ADG=∠BFG=90°，所以△DAG≌△FBG，于是DA=FB，AC=BC. （在圖1、圖2和圖3的情況下用加法，在圖4的情況下用減法）. 以上便是完整的問題.

那么，究竟是哪里出現了問題呢？我們知道，既然證明過程天衣無縫，那么問題一定出在圖形上，下面給出正確的示圖和解答.

首先，我們考慮三角形ABC的外接圓，因為圓周角的角平分線和弦的垂直平分線有特殊的性質，能夠產生更多的附加條件，幫助我們進行判斷. 如圖5所示，因為CG是角平分線，所以點G在弦AB的垂直平分線與弧AB的交點處，那么可知∠C的角平分線與AB的垂直平分線交于△ABC外的一點G，這就排除了圖1和圖2這兩種情況.

接下來要考慮過點G作AC和BC的垂線是什么情況，是圖3或圖4那樣嗎？還是其他情況呢？對于這個問題，我們考慮圓的內接四邊形ACBG，由于圓的內接四邊形對角互補，所以∠CAG+∠CBG=180°. 因為CG不是直徑，那么∠CAG≠∠CBG≠90°，所以一定有一個角為銳角，另一個角為鈍角，那么過點G作AC和BC的垂線，其中一條垂線與一條邊的交點一定在兩個頂點之間，而另一條垂線則不會，如此我們就得到了正確的圖形（如圖6），顯然AC≠BC，所以問題中的證明是錯誤的.？搖？搖？搖？搖？搖

價值分析

1. 與“常規幾何證明問題”的區別

羅增儒教授在《中學數學解題的理論與實踐》一書中提到，作為“問題解決”的數學題有五大特征，分別為接受性、障礙性、探究性、情景性和開放性.

問題的強沖突性，是該類型的幾何證明問題與常規幾何證明問題的不同之處之一. 這里的“沖突性”是指該類型問題對學生認知的沖突. “任意一個不等邊三角形都是等腰三角形”這個命題顯然是有悖于學生的認知的，由此產生認知沖突，而這是常規性幾何問題無法體現的. 在這種強沖突的作用下，可以有效地激發學生對該問題的探究欲望，該問題也就具備了“接受性”的特征.

學生在閱讀證明過程時會發現證明沒有破綻的現象，因為其考慮的情況分類正確，每一步推理也都合情合理，貌似該命題是真的，但是基本的數學常識會告訴他們該命題一定是錯誤的，這便再一次引起認知沖突. 如果說前面的認知沖突是由問題表述產生的，那么后者的認知沖突則是由問題內在邏輯產生的，這種沖突便會對學生解決問題產生障礙，體現了該類型問題的“障礙性”.

該類型幾何問題具有特殊“情境性”. 裴光亞先生說：“教育價值是教學設計的靈魂. ”事實上，情境的作用還在于讓學生感到 “有困惑”（產生認知沖突）、“有意義”（直擊數學本質），從而提出數學問題，引發數學思考和探索，促進深度建構和理解［1］. 情境引入一般是用于新授課的教學，把“情境性”融入練習題或試題中同樣可以體現出它的價值. 該案例中的情境性體現在其錯誤的“證明”過程中，通過閱讀，置身其中，感到“有困惑”，引發對問題的思考和探索. 這是常規幾何證明題所不具備的特征.

2. 便于學生反思

該類型的幾何問題有助于學生進行反思. 解題反思有利于學生理解知識，并形成交互聯系的知識網絡，構建完備的知識體系. 解題反思有利于提高學生思維的深刻性、靈活性及廣闊性，培養學習的能力，激發學生的創造能力［2］. 反思，在當代認知心理學中屬于元認知的概念范疇，用元認知的理論來描述反思性數學學習就是學習者對自身數學學習活動的過程以及活動過程中涉及的有關的事物（材料、信息、思維、結果等）的學習特征的反向思考［3］. 很多學生在解題之后不會去刻意反思自己做題的過程，總結解決問題的一般策略，但是該類型的數學問題展示了其錯誤的證明過程，這一過程中所體現的解題思維誤區很可能就是學生容易犯的錯誤，通過書面的形式展示出來，是學生“看得見的錯誤”，在一定程度上起到了提示學生反思的作用. 通過案例中問題的反思，能夠幫助學生形成“做幾何問題不能憑自己的主觀臆斷去添輔助線，而是要有理性嚴謹的態度”“看到一個幾何圖形要考慮其是否規范合理，不能盲目按照給出的圖形去解決問題”等意識，進而達到提高反思意識和促進元認知發展的目的.

命制策略與問題設計

1. 命制策略

這類幾何問題旨在訓練學生的同時，用文字符號直觀地暴露學生的思維誤區，警示學生在今后的解題過程中要避免此類錯誤的發生. 學生在證明幾何問題時，循環論證（以待證命題自身或者以待證命題的等價命題或其逆否命題為依據去證明待證命題）、偷換論題（條件特殊化，代替一般條件）、虛假理由（任意引申定理）、以偏概全等都是學生愛犯的錯誤. 為此，教師在命制這類幾何問題時，可以從以下兩個方面進行思考：

（1）要在學生平時的作業訓練和測試情況中總結出學生在哪些問題上容易出錯，出錯的原因可能有哪些？

（2）哪些概念和定理是學生因理解不透徹而導致混淆或對其有錯誤的引申. 然后將錯就錯，通過呈現用錯誤的證明方法得到錯誤的結論，讓學生自己去發現錯誤的根源. 上面案例的設計初衷——了解到初中階段多數學生對于已給定的示圖或自己所畫的草圖，不去考慮其是否準確合理，導致解題失敗. 下面給出一個由錯誤引申平行四邊形判定定理而設計的問題，希望起到拋磚引玉的目的.

2. 問題設計

問題：請閱讀以下關于“一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形”的證明過程，請問該證明是否正確，給出你的判斷，如果錯誤，請給出理由.

證明：如圖7所示，連接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥DC于F，易證Rt△ADE≌Rt△CBF，從而AE=CF，DE=BF. 又易證Rt△BED≌Rt△DFB，則BE=DF，∠DBE=∠BDF，因此AB∥DC，且AB=AE+EB=CF+FD=CD（*），故四邊形ABCD為平行四邊形.

以上就是問題設計的全部內容，請你給出判斷和理由.

參考答案如下：

證明：如圖8，作等腰三角形DAG，在其底邊AG上任取一點B，連接BD，以BD的垂直平分線為對稱軸作△DBC. 在四邊形ABCD中，AD=DG=BC，∠A=∠G=∠C，四邊形ABCD已經具備了一組對邊相等和一組對角相等的條件，但是它顯然不是平行四邊形，因為假設對圖8按原證法證明是不可行的. 作DE⊥AB于E，作BF⊥DC于F，E在AB上，則F在CD的延長線上，從而（*）式不成立，又∠EBD和∠FDB雖相等但卻不是內錯角，不能推出AB∥CD，所以原證明錯誤.

該問題的設計想法是出于學生對平行四邊形判定定理掌握得不夠扎實，在做題時容易把“一組對邊相等且一組對角相等”也看作是平行四邊形判定定理之一. 一方面，通過設計這樣一道題，能夠讓學生很深刻地意識到這樣的錯誤；另一方面，也能夠提高學生邏輯推理和直觀想象的素養. 由于學生在這類問題中出現的錯誤有很多，教師可以根據學生的情況有針對性地設計該類型的問題.

總結

該類型幾何問題是基于學生的易錯點而設計的. 希望通過這類問題的呈現，在激發學生學習興趣的同時，能夠有效地幫助學生規避這些錯誤，培養學生的反思意識和元認知，進而扎實掌握相關數學知識.

參考文獻：

［1］錢德春，呂同林. 數學問題從“價值”到“處理”［J］. 教育研究與評論（中學教育教學版），2019（04）：61-66.

［2］丁寧. 反思性學習，讓數學學習走向“深度”［J］. 數學教學通訊，2014（13）：31-33.

［3］涂榮豹. 試論反思性數學學習［J］. 數學教育學報，2000（04）：17-21.