經歷數學抽象過程 提升數學建模素養

吳啟虎

［摘? 要］ 在新課改的推動下，數學建模得到了廣泛的重視. 在數學建模教學中，教師可以通過創設有價值的問題啟發學生去發現、去探索、去歸納，通過經歷知識抽象和簡化的過程讓學生更好地理解數學、應用數學，感悟數學建模價值，落實數學建模素養.

［關鍵詞］ 問題；過程；建模素養

數學模型其實質是為了達到某種目的而對部分現實問題做出的一個簡單化、抽象化的處理，并形成可操作化的符號模型. 在此過程中，通過對實際問題的不斷抽象與簡化確定變量和參數，通過感悟其中蘊含的數學規律，建立起能夠解決實際問題的數學表達式的模型. 在初中數學教學中，教師應將培養學生數學建模能力作為數學教學的一項基本任務，引導學生參與數學模型抽象和簡化的過程，培養學生良好的建模思維，落實數學建模素養. 那么，在日常教學中，如何提升和落實學生的數學建模素養呢？筆者結合教學實踐談談幾點個人的粗淺認識，以供參考.

探尋本質，感悟數學建模

在數學教學中，教師應該從教學實際出發，精心設計突出知識本質的問題，讓學生在問題的驅動下理解數學的本質，主動建構數學模型，提高學生的數學應用水平. 不過在實際教學中，部分教師為了“趕進度”，很少帶領學生經歷模型建構的過程，大多直接將現成的數學模型呈現給學生，讓學生直接套用現有模型解決問題. 這樣學生雖然能夠通過“硬記”和“強化”熟記和運用模型，但由于自主發現、探索、總結歸納等過程的缺失，不利于學生分析和解決問題能力的提升，也不利于學生數學建模能力的培養. 基于此，教學中教師應以學生為出發點，以問題為導向，帶領學生經歷數學模型的建構過程，使學生通過親身經歷更好地獲得數學感悟，進而提升數學教學品質.

案例1? “握手”問題的探索與應用

思考1：G5次列車從北京南始發，途經濟南西、南京南、蘇州北，終點站為上海虹橋. 為了滿足不同旅客的購票需求，沿途各站需要準備多少種不同的單程票？

思考2：班級共有49人，彼此握手，共需要握手多少次？

思考3：某校七年級10個班舉行籃球比賽，第一輪采用單循環賽制，那么第一輪共需進行多少場比賽？

設計意圖? 從學生熟悉的生活情境出發，引導學生通過解決實際問題提煉解決問題的方法，體會數學建模思想，加強數學建模意識.

思考4：小明在紙上點了n個點，任意連接兩點畫線段，則小明最多可以畫多少條線段？

思考5：數一數，圖1中共有幾個三角形？

設計意圖? 從已有的數學經驗出發，通過對圖形問題的解決進一步感知數學模型，逐步形成對“握手”問題本質的理解，提高學生的數學思維品質.

數學建模是對生活實際問題的一種抽象和簡化，在培養學生建模素養的過程中，教師應從生活實際出發，引導學生經歷抽象和簡化實際問題的過程，以此提高學生主動參與學習的積極性. 同時，在此過程中，教師要充分發揮其引導者的作用，通過多角度、多層次的探索，讓學生掌握問題的本質，通過引導學生經歷模型抽象的過程，培養學生的數學建模素養.

整體建構，落實數學建模

周知，數學知識之間是相互關聯的. 在建構模型的過程中，教師要有意識地將相關知識串聯起來，通過對比分析幫助學生深化知識理解、鍛煉解題技能，進而感悟數學本質，落實數學建模素養.

案例2? ?“共頂點的特殊三角形”教學設計

問題1：如圖2，△ABC和△CDE為等邊三角形，且B，C，D三點共線，連接AD，BE，兩線交于點H. AD和BE有怎樣的數量關系？圖2中有幾對全等三角形？∠AHB的度數是否可求？

問題2：如圖3，△ABC和△CDE為等邊三角形，且B，C，D三點不共線. 連接AD，BE，兩線交于點H. 問AD與BE存在怎樣的數量關系？此時∠AHB是多少度？

問題3：分析問題1和問題2不難發現，問題2就是問題1中的△ABC繞點C順時針旋轉了一定的角度，此時AD=BE，∠AHB=60°. 如果繼續旋轉，你有什么發現？

問題4：如圖4，△ABC和△CDE為等邊三角形，連接AD，BE，AD與BE是否相等？若延長DA和EB使之交于一點H，此時∠AHB是否仍為60°呢？

問題5：結合以上問題，你能得到什么結論？

問題6：如圖5，若△ABC和△CDE為等腰直角三角形，以上結論還成立么？如果是其他特殊三角形又會如何呢？

從以上教學安排來看，教師首先從等邊三角形出發，通過尋找三角形全等的模型得到相關結論，為后面的一般性探究打下堅實的基礎. 在以上教學過程中，教師合理應用變式，讓學生在變化的過程中逐漸抽象出不變的本質，由此得到相關結論，建構起相關的數學模型. 教師通過整體連貫的問題帶領學生經歷由簡單到復雜，由特殊到一般的探究過程，讓學生感受到數學探索的樂趣，激發學生數學學習的熱情. 另外，整個教學過程關注學生發展，重視學生發散思維能力的鍛煉. 學生通過親身經歷結論抽象的過程有效地培養了數學建模素養.

逐層遞進，掌握數學建模

數學建模能力的培養是一個長期且復雜的過程，教學中要盡量少一些照抄照搬，切實從學生學情出發，通過典型例題的開發與利用幫助學生積累建模經驗. 在日常教學中，教師首先應該從典型特例出發，通過對典型特例的剖析讓學生總結歸納解題經驗，形成解題策略，從而為類似問題的解決提供方法保障；其次，要通過創設合理的問題情境讓學生關注模型和基本圖形發現、積累和運用的過程，重視培養學生的模型意識，讓學生通過模型的運用感悟數學建模的價值，提高學生主動建構數學模型的積極性；最后，要相信學生、尊重學生，充分考慮學生的思維習慣、學習能力，從全員的角度出發，通過由淺入深、層層遞進的問題啟發學生思考，激勵學生探究，從而讓學生的思維得到發展，能力得到提升，促進全體、全面發展的教學目標的落實.

案例3? “直角三角形中的折疊問題”教學設計

問題1：如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6. 把Rt△ABC沿AD翻折，使得AC與AB邊上的點E重合，求AD的長.

問題2：如圖7，把Rt△ABC沿BD翻折，使得BC與BA邊上的點E重合，求BD的長.

歸納總結：以上兩個問題都是將三角形的直角邊向斜邊折疊，折疊后形成多個直角三角形，合理應用對應邊相等的條件及勾股定理，可求出任一線段的長度.

問題3：如圖8，把Rt△ABC沿CD翻折，使AC與BC邊上的點E重合，如何求CD的長？

歸納總結：該題折法與前兩題不同，是將三角形的一條直角邊向另一條直角邊折疊. 折疊后，直角被平分為兩個45°角，過點D向兩條直角邊作垂線可以構建一個正方形模型，然后利用勾股定理即可解決問題.

問題4：如圖9，把Rt△ABC沿某直線翻折，使點A與點B重合，如何求折痕DE的長？

問題5：若再換兩個定點，使點A與點C或點B與點C重合，又該如何求折痕的長？

問題6：把Rt△ABC沿某條直線翻折，使頂點A與BC邊的中點F重合，或者使頂點C與AB邊的中點F重合，又或者使頂點B與AC邊的中點F重合，此時又該如何求折痕的長？

結合前面的探究經驗，教師鼓勵學生通過小組合作的方式探尋折疊不經過某一頂點時該如何求解，并通過對比分析進行總結歸納，逐漸建構解決相應問題的模型，由此深化對數學建模的理解. 在以上探究活動中，教師從特殊的、簡單的問題出發，引導學生通過經歷一般化的過程提煉解決問題的方法，培養學生的模型意識.

其實，在日常教學中，教師要善于引入一些專項練習，讓學生通過對比分析探尋解決一類題的方法. 同時通過有效的對比啟發學生提出有價值的問題，讓學生在問題的探索和解決過程中主動探尋其中蘊含的規律，進而通過對規律的總結、歸納及運用來提高學生的數學建模意識，讓學生掌握數學建模的方法，落實數學核心素養.

總之，建立數學模型為問題的解決帶來了極大的便利，它是提高學生解題效率的法寶. 在實際教學中，教師要預留機會讓學生經歷思考、探索、操作、歸納等過程，使學生通過親身經歷熟練掌握數學模型，從而為數學應用能力的提升打下堅實的基礎.