關(guān)于二次函數(shù)綜合題的過程突破與解法探究

秦玉

［摘? 要］ 二次函數(shù)綜合題常作為中考?jí)狠S題，能夠全面考查學(xué)生的知識(shí)水平和解題能力. 解題探究中要合理開展過程解析，思路突破. 同時(shí)總結(jié)解題方法，結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化訓(xùn)練. 文章對(duì)一道二次函數(shù)綜合題進(jìn)行深入探究，探討面積最值、公共點(diǎn)與交點(diǎn)問題的解法.

［關(guān)鍵詞］ 二次函數(shù)；面積；交點(diǎn)；拋物線；鉛錘法

問題解析，思路突破

1. 問題呈現(xiàn)

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△PAC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線在點(diǎn)A、B之間的部分（含點(diǎn)A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G. 現(xiàn)將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出圖象M的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)n的取值范圍.

2. 思路分析

上述為以拋物線為背景的函數(shù)與幾何綜合題，題目設(shè)定拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，以及點(diǎn)P的移動(dòng)范圍，分三小問考查學(xué)生的解析能力.

第（1）問求二次函數(shù)的解析式，考查待定系數(shù)法；第（2）問探究△PAC面積最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，考查模型構(gòu)建與最值分析；第（3）問是關(guān)于圖形變換與公共點(diǎn)的問題，考查拋物線中的位置關(guān)系及解析方法.

問題解析建議采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，根據(jù)條件繪制點(diǎn)、線、圖形，利用直觀的圖形輔助挖掘條件，分析幾何性質(zhì)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)的相關(guān)知識(shí)運(yùn)算推理. 同時(shí)解題過程注意提取其中的特殊模型及特殊關(guān)系，利用其性質(zhì)定理來轉(zhuǎn)化條件、構(gòu)建思路.

3. 過程突破

對(duì)于以拋物線為背景的函數(shù)與幾何綜合題，采用過程突破的方法逐一破解. 針對(duì)復(fù)合問題，分步討論解析，下面具體探究.

（1）待定系數(shù)法求解析式.

（2）構(gòu)建模型分析面積最值.

該問求△PAC面積最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，總體上分兩個(gè)階段：階段一，構(gòu)建面積模型；階段二，解析面積最值，確定最值情形，求點(diǎn)P坐標(biāo). 下面分三步構(gòu)建思路，解析突破.

第一步，求直線解析式

第二步，構(gòu)建面積模型

第三步，解析面積最值

（3）該問構(gòu)建圖形運(yùn)動(dòng)，設(shè)定所得新圖象M與線段PC只有一個(gè)公共點(diǎn)，探求新圖象M頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)n的取值范圍，可采用數(shù)形結(jié)合的方法. 分兩步進(jìn)行：第一步，關(guān)注圖形運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)新圖象M的頂點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)解析式；第二步，數(shù)形結(jié)合分析，利用函數(shù)解析式來控制圖象位置，推導(dǎo)坐標(biāo)位置.

第一步，圖形運(yùn)動(dòng)解析式推導(dǎo)

第二步，數(shù)形結(jié)合范圍控制

解后評(píng)析，方法總結(jié)

上述探究了一道以拋物線為背景的函數(shù)與幾何綜合題，題設(shè)三問. 其中后兩問為核心之問，分別為面積最值和交點(diǎn)范圍問題，解析時(shí)采用對(duì)應(yīng)的方法構(gòu)建模型，推理分析，下面開展解后評(píng)析，總結(jié)方法.

1. 構(gòu)建面積模型，函數(shù)解析求最值

2. 數(shù)形結(jié)合分析，方程破公共點(diǎn)

上述第（3）問實(shí)則為公共點(diǎn)問題，即題目設(shè)定公共點(diǎn)，探究參數(shù)范圍. 解析時(shí)采用了“數(shù)形結(jié)合+位置討論”的方法，即數(shù)形結(jié)合分析直線與曲線的位置關(guān)系和公共點(diǎn)情況，分類討論確定范圍. 解題時(shí)同樣分兩步進(jìn)行：第一步，設(shè)定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo)、曲線、直線的解析式；第二步，分類討論公共點(diǎn)情形，確定位置關(guān)系，再聯(lián)立方程求點(diǎn)坐標(biāo)，推理坐標(biāo)參數(shù)范圍. 該種方法適用于二次函數(shù)中的交點(diǎn)、公共點(diǎn)綜合問題.

方法應(yīng)用，拓展強(qiáng)化

上述總結(jié)了二次函數(shù)中的面積最值和交點(diǎn)、公共點(diǎn)問題的破解方法，探究學(xué)習(xí)中要深刻理解方法，靈活運(yùn)用，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)一步探究，拓展強(qiáng)化解法.

1. 鉛錘建模型，函數(shù)破最值

（1）若OC=2OA，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）該問解析△PBC面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可采用鉛錘法來構(gòu)建面積模型，再利用函數(shù)性質(zhì)分析最值.

評(píng)析? 上述第（2）問解析二次函數(shù)中的三角形面積最值問題時(shí)，采用了鉛錘法，作輔助線，確定模型的鉛垂高和水平寬，直接推導(dǎo)出三角形的面積函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)確定最值情形，求出點(diǎn)坐標(biāo).

2. 數(shù)形結(jié)合定位，位置分析討論

例2？搖 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2-2a2x+1（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)B，試回答下列問題.

（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=______；（用含字母a的代數(shù)式表示）

（2）若AB=2，求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（3）已知點(diǎn)P（a+4，1），Q（0，2），如果拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

（2）利用拋物線對(duì)稱軸及點(diǎn)A坐標(biāo)可求得點(diǎn)B坐標(biāo).

當(dāng)a＞0時(shí)，a=1，二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x+1；當(dāng)a<0時(shí)，a=-1，二次函數(shù)表達(dá)式為y=-x2-2x+1.

（3）該問設(shè)定拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍，可采用“數(shù)形結(jié)合+位置分析”的解析方法.

可求得點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，1），a的符號(hào)將影響拋物線的開口方向，分情形討論，具體如下.

情形1：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，點(diǎn)Q（0，2）在點(diǎn)A（0，1）上方，如圖6所示. 因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（2a，1）. 分析可知，當(dāng)a+4≥2a，即點(diǎn)P在拋物線上或在拋物線外部時(shí)，符合題意，可解得a≤4；

情形2：當(dāng)a＜0時(shí)，點(diǎn)Q在拋物線上方，點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線內(nèi)部時(shí)，滿足題意，所以2a≤a+4≤0，可解得a≤-4；

綜上所述，a≤-4或0＜a≤4.

評(píng)析? 上述第（3）問解析公共點(diǎn)問題時(shí)，采用了“數(shù)形結(jié)合+位置分析”的解析方法，根據(jù)題設(shè)條件繪制圖象，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)確定位置關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)參數(shù)a的取值范圍. 同時(shí)，結(jié)合分類討論的思想方法，分別討論位置情形，分析求解.

寫在最后

上述深入探究了二次函數(shù)中的面積最值、公共點(diǎn)與交點(diǎn)問題，開展過程解析，總結(jié)破解方法，形成了解題策略. 探究教學(xué)中要注意三點(diǎn)：一是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題特征，提煉解題模型；二是進(jìn)行解法強(qiáng)化，合理變式，提升解題能力；三是教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，開展思想方法教學(xué)，讓學(xué)生體驗(yàn)感悟，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).