關注建模內涵 劃分建模水平培養(yǎng)建模能力

李生魁

［摘? 要］ 文章從數學建模的內涵出發(fā)，認為初中生建模一般遵循“現(xiàn)實原型—實際模型—數學形式”的過程，并通過對建模的三個水平層次“再現(xiàn)、聯(lián)系與反思”的例析，提出培養(yǎng)學生的建模能力可分別從以下三方面著手：掌握標準模型，提升建模“再現(xiàn)”水平；借助現(xiàn)實問題，提升建模“聯(lián)系”水平；數學綜合實踐，提升建模“反思”水平.

［關鍵詞］ 建模；再現(xiàn)；聯(lián)系；反思

數學存在于人類生活的方方面面，將生活知識數學化的過程就是抽象數學模型的過程，此過程需對生活現(xiàn)象進行細致入微的觀察. 因此，數學建模就是一種源自生活需要，解決生產問題的過程. 研究發(fā)現(xiàn)，關注數學模型內涵對發(fā)展核心素養(yǎng)具有重要價值與意義. 尤其對于初中生而言，建模可從數學學科本身的價值著手，引導學生進行有深度的思考，體會數學與自然、社會的必然聯(lián)系，并感知數學的跨學科作用，為形成良好的建模能力夯實基礎.

數學建模的內涵

建模屬于數學教學的基本內容之一. 但是，當前仍有不少教師無法分辨出數學建模、數學模型思想以及建模活動之間究竟存在怎樣的區(qū)別與聯(lián)系. 為此，研究者借助圖1揭露數學建模的內涵為：將生活實際中的一些問題轉化成一些學生所熟悉的數學問題來探索，也就是將原本不屬于數學領域內的問題轉化為數學范疇以內的問題來探索與分析，并將探索而來的結論再轉譯到生活實際中去，實現(xiàn)生活與數學的深度融合，體現(xiàn)數學為生活服務的真諦.

整體而言，數學建模循環(huán)模型是指學生基于模型來探索生活中事物的關系結構，隨著對模型的分析與演繹，將所獲得的結論反演到生活實際中去，以更好地解決實際問題［1］. 就數學本身而言，建模就是將生活實際數學化的過程，也就是通過抽象、簡化與提煉生活實際問題，使之成為數學問題，此為初步建構模型的過程. 從廣義的角度來分析，數學模型涵蓋了公式、定理、概念等，基于狹義的角度分析，數學模型是反映特定事物的一種特殊結構形式.

建模過程分析

初中階段的學生已經有了一定的社會閱歷與生活經驗，具備了一定的建模能力. 從建模內容的角度來分析，此階段學生的數學建模，一般遵循“現(xiàn)實原型—實際模型—數學形式”的過程.

現(xiàn)實原型是指一些真實的生活實際問題，這一類情境常常呈現(xiàn)出雜亂無章的亂象，令人無從下手；實際模型亦可稱為現(xiàn)實模型，是指將現(xiàn)實原型進行簡化與梳理，形成更加精準、簡潔的表達方式，因此實際模型已經初步具備條理性；數學形式是指對模型的假設與簡化，并借助簡潔的數學符號或文字語言描述其關系的一種模式. 遍覽各種版本的初中數學教材，其中所呈現(xiàn)的一些實際問題，基本都是編者根據現(xiàn)實生活提煉而來，包含了大量現(xiàn)實原型與實際模型，學生在學習過程中加以梳理，可將它們形成標準的數學形式.

建模水平劃分

第一層，再現(xiàn).

當學生面對自己認知范圍內的情境或問題時，能在短時間內快速甄別出其中所蘊含的數學模型，并借助該模型來處理問題，屬于數學模型的“再現(xiàn)”過程，這是建模水平的最基本的層級. 如常見的銷售類問題：一條褲子先按照成本價提高50%進行標價，銷售時給顧客打八折，這條褲子的贏利為28元，那么這條褲子的成本價是多少？

此為從學生生活實際提取來的問題，該情境將學生帶入現(xiàn)實生活中，并借助銷售類問題所涉及的標價、售價、折扣與贏利等關鍵詞啟發(fā)學生的思維，同時，這些關鍵詞也是學生分析并解決問題的主要依據.

想要弄清問題中多個關鍵詞所表達的實際含義，就需要在準確理解題意的基礎上，應用數學符號準確地表達出成本、售價與贏利之間的關系. 因此，解決這個問題最直接的方法就是構建方程模型，學生直接套用標準模型就能順利解決問題，因此，此過程屬于數學建模的“再現(xiàn)”層級.

第二層，聯(lián)系.

數學模型的“聯(lián)系”是指在稍復雜的問題背景下，通過對知識的組合、遷移與轉化，借助標準模型進行組合與變形，以解決實際問題的過程. 如某種傳染病疫情暴發(fā)之后，“方艙醫(yī)院”成了家喻戶曉的一個名詞，那么修建方艙醫(yī)院會涉及不少信息，教師可借助PPT展示如下內容：

為了應對突發(fā)疫情，某地準備建立一個方艙醫(yī)院，具體信息如下：①方艙醫(yī)院主要由病房、醫(yī)療功能區(qū)、醫(yī)療廢棄物處置區(qū)以及技術保障區(qū)四部分組成；②預期整個方艙的面積為8萬平方米；③醫(yī)療廢棄物處置區(qū)占到整個方艙面積的5%；④病房的整體面積是該方艙醫(yī)院技術保障區(qū)面積的4倍；⑤病房面積和醫(yī)療功能區(qū)面積之和占整個醫(yī)院總面積的85%以下. 那么，該方艙醫(yī)院的醫(yī)療功區(qū)最大面積是多少？

這是一個源自生活實際的問題，情境中呈現(xiàn)的信息雖然很多，但并不全面，有很多信息需要學生在原有信息的基礎上進一步進行假設、抽象或簡化，并借助簡潔的數學符號來表示待求面積. 由此可以看出，此情境涵蓋了兩個模型，分別為“方程模型”與“不等式模型”，學生只要直接進行模型的組合就能順利解決問題. 由此可確定，此為處于“聯(lián)系”水平的數學建模問題.

第三層，反思.

數學建模的“反思”是指在異常復雜的問題情境中，通過檢驗、類比、評價與模型的改建等，用創(chuàng)造性的方法解決問題的過程. 如水是生命的源泉，但地球上的水資源并不充足，因此我們在日常生活中應盡可能地節(jié)約用水. 有人提出“洗澡時應盡可能淋浴，可以節(jié)水”. 真相是怎樣的呢？現(xiàn)在一起來看下面這個問題：

如果家里有一個長、寬、高（內部測量）分別為1.3 m、0.7 m、0.7 m的長方體浴缸，假設泡澡水深恒為0.5 m；還有一個淋浴房，淋蓬頭的水速可調節(jié)，分別為15 L/min與10 L/min. 請問淋浴與泡澡兩種方式，哪種更節(jié)水？

洗澡是學生異常熟悉的生活場景，在學生的認知基礎上拓展“洗澡”這個問題，通過對關鍵信息的探索與分析，不難發(fā)現(xiàn)想要從真正意義上了解哪種洗澡方式更節(jié)水，就要考慮水流速度與沐浴時間等綜合因素，此為解決問題的關鍵. 對于一個源自學生生活的實際問題，可通過假設并借助相應的模型來分析與探索問題. 當然，此過程對學生的思維要求較高，屬于建模水平的較高層次，即“反思”水平層級. 處理好這個問題，對于學生個體建模思想的發(fā)展具有重要的價值與意義.

大部分教材所呈現(xiàn)的模型類問題均屬于“再現(xiàn)”水平，利用這一類模型來培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力具有重要價值. 鑒于此，教師在教學實踐中，需引導學生在積極思考與類比中發(fā)展反思能力與建模水平，為培育創(chuàng)新意識，發(fā)展核心素養(yǎng)做鋪墊.

培養(yǎng)建模能力的策略

1. 掌握標準模型，提升數學建模

“再現(xiàn)”水平

模型思想是促進生活與數學聯(lián)系的紐帶，數學建模與解模對培育數學方程、函數思想等具有特殊意義，它不僅能體現(xiàn)出生活事物間存在的數量關系，還能借助數學符號建立一些模型，讓學生深入理解問題的結論與結論所蘊含的實際意義.

為了讓學生能順利建構模型思想，編者在撰寫教材時，常會關注到生活實際中的一些現(xiàn)象與數學知識間存在的關聯(lián)性，并通過應用類的生活現(xiàn)實問題引導學生用相應的數學知識來解決問題. 學生因親歷用知識解決實際問題的過程而實現(xiàn)初步建模，感知到數學知識的價值與意義［2］.

從內容上來分析，學生常將大部分時間用在數學知識的內部學習上，如概念、定理、性質等，這些可作為標準模型進行教學，為解決實際問題服務. 如圖2，從建模的過程來分析，數學建模涉及的內容相當多. 因此，實際教學過程中，教師可引導學生通過對實際模型的探索與分析，借助數學符號描述模型，促使學生深度參與建模過程，理解建模原理，從真正意義上提升建模能力.

2. 借助現(xiàn)實問題，提升數學建模

“聯(lián)系”水平

讓學生形成用數學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數學的思維思考現(xiàn)實世界以及用數學的語言表達現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）是數學學習的重要目標之一，也是發(fā)展核心素養(yǎng)的主要通道［3］. 數學建模其實就是用數學的語言來表達現(xiàn)實世界的過程. 鑒于教材布局的局限性，教師可充分挖掘現(xiàn)實世界中的一些生活實際問題來彌補教材中缺少用實際模型類問題發(fā)展學生“聯(lián)系”水平的缺陷，如在課堂中引入一些逼真、豐富的生活或問題情境等.

然而，生活中的一些原型類問題由于沒有經過整理與歸納，顯得雜亂無章，這就要求教師將問題進行一定的梳理，并帶領學生分析其中的關系，明確問題的“主干”，消減無用的“枝丫”，理清問題的脈絡，由此便可順利提出合理的假設，從而用恰當的數學符號表達問題，為建立合適的模型奠定基礎，這是發(fā)展學生建模能力“聯(lián)系”水平的關鍵.

如以上關于“方艙醫(yī)院”的探索，就鼓勵學生通過自主閱讀的方式提煉信息，用數學的眼光與思維來觀察與探索解決問題的辦法. 此為將生活現(xiàn)象抽象成數學問題，并用數學語言與符號進行表征的過程，學生在此過程中不僅自主抽象出相應的模型結構，還有效發(fā)展了數學建模的“聯(lián)系”水平.

3. 通過綜合實踐，提升數學建模

“反思”水平

借助所學知識探索實際問題，是提升學生數學綜合實踐能力的主要途徑. 數學綜合實踐的主要內容有：創(chuàng)設與實際生活相似的情境，引導學生通過自主思考與探索，設計相應的解題方案，從中感知建模的整個歷程. 學生在建模過程中不斷提升自身的問題意識，增強發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力，此為形成創(chuàng)新能力的基礎，也是發(fā)展學生數學建模能力的重要渠道.

受應試的影響，不少教師仍存在“知識本位”意識，教學中尤其關注數與代數、統(tǒng)計與概率、圖形與幾何的教學，而忽略綜合實踐的教學. 殊不知，數學綜合實踐是讓學生從課堂中更好地了解現(xiàn)實生活的途徑，也是學生借助豐富的數學知識思考現(xiàn)實生活的契機，利用好綜合實踐活動，不僅能提升學生的建模水平，還能發(fā)展學生的反思力，讓學生進一步感知并體驗現(xiàn)實世界與數學學科的關系.

在此背景下，教師應轉變教學觀念，將培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)這個目標凌駕于應試之上，充分挖掘綜合實踐課程的教學意義，結合學生生活中的實際問題，常態(tài)化地組織綜合實踐活動，讓學生形成“三會”能力，從而提煉出相應的數學模型，讓學生切身體會到數學源自生活實際，又反過來應用于生活實踐的真理.

針對以上關于“節(jié)水”的問題，可將條件信息中的一些數據剔除，進而將問題的原始狀態(tài)呈現(xiàn)給學生：有人提出洗澡時用淋浴比用浴缸更節(jié)水，真是這樣嗎？此時，這個問題就成了一個典型的數學綜合實踐性問題. 想要解決這個問題，就需要對數據進行搜集、整理、分析，并基于數學模型的視角進行探索與思考. 學生親歷探索過程，基于“引模、建模、解模與驗證模型”的歷程，有效提升建模的“反思”水平.

古希臘人提出：世界本就是一個簡單且符合邏輯的能用數學所表達的世界. 這一認識與如今試圖全面提升學生數學核心素養(yǎng)的數學教學有著重要聯(lián)系. 一線數學教師應充分了解學生的實際認知水平與建模的各個水平階層，設計出符合學情的教學方案，從真正意義上培養(yǎng)與發(fā)展學生的建模能力.

參考文獻：

［1］史寧中. 數學思想概論（第5輯）：自然界中的數學模型［M］. 長春：東北師范大學出版社，2015.

［2］鄭毓信. 數學抽象的基本準則：模式建構形式化原則［J］. 數學通報，1990（11）：9-11.

［3］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.