數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)量關(guān)系和空間形式是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究對象，以此為出發(fā)點發(fā)展而來的數(shù)形結(jié)合思想實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科中抽象關(guān)系的形象化，以及形象圖像的邏輯化，全面加強初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)將極大促進(jìn)初中學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模能力與素養(yǎng)的培養(yǎng)。在新課標(biāo)不斷改革的教育背景下，傳統(tǒng)單一化、刻板性的教學(xué)模式所暴露的局限性日益明顯，學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展需求日益多元，數(shù)學(xué)教學(xué)模式的革新成為必然趨勢。因此，文章以初中函數(shù)教學(xué)為例，重點分析應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行教學(xué)改革的現(xiàn)實意義與科學(xué)實踐。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)；數(shù)形結(jié)合思想；應(yīng)用

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2097-2539（2024）18-0173-03

*本文系寶雞市2024-2025年教育科研規(guī)劃課題“新課標(biāo)視域下初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中‘?dāng)?shù)形結(jié)合’思想的融合創(chuàng)新與實效探究”（編號：BJGH2024-001）階段性研究成果。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)問題雙重屬性的直接體現(xiàn)，“數(shù)”意味著以代數(shù)知識解決實際問題，“形”意味著以空間屬性分析數(shù)量關(guān)系。作為數(shù)學(xué)學(xué)科的兩大核心部分，數(shù)形結(jié)合既體現(xiàn)了數(shù)與形之間的密切聯(lián)系，也為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)問題的解決提供了全新思路，成為新課標(biāo)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育的重要任務(wù)之一。函數(shù)的本質(zhì)就是數(shù)與形的有效結(jié)合，作為初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點和中考的難點，以數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行函數(shù)教學(xué)實踐，對學(xué)生的高效學(xué)習(xí)、對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的探究具有重要意義。

一、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用意義

（一）有助于提高知識理解有效性

函數(shù)相關(guān)知識的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和重要內(nèi)容，在學(xué)生整個數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著承上啟下的關(guān)鍵作用，但對初中學(xué)生而言，他們的邏輯思維和抽象能力始終處于較低水平，而函數(shù)知識又表現(xiàn)出鮮明的抽象性、復(fù)雜性，二者之間的根本對立矛盾會進(jìn)一步增加初中學(xué)生對函數(shù)概念、屬性的理解，以及應(yīng)用函數(shù)屬性知識快速解決實際問題能力的培養(yǎng)。同時，函數(shù)作為一個系統(tǒng)概念，具有極為廣泛的知識輻射面，正確理解并深入掌握這些輻射知識點對學(xué)生的考試、成長十分重要。而對數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生通過作圖的方式將抽象函數(shù)概念文字描述轉(zhuǎn)化為直觀圖像，從而降低學(xué)生理解難度，快速鎖定題干要求和題目所求。還可以以圖表的形式建構(gòu)函數(shù)概念相關(guān)知識的整體框架，從而幫助學(xué)生更加系統(tǒng)和全面地掌握相關(guān)知識，促進(jìn)初中學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

（二）有助于拓展問題解決的多元性

溯源學(xué)科發(fā)展的歷程，理論知識的形成、積累、提煉與豐富發(fā)展始終與實踐應(yīng)用保持著密不可分的聯(lián)系，可以說，實踐應(yīng)用既保障了理論知識的持續(xù)更新，又為理論知識的功能性提供了發(fā)揮空間。而在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)知識的實踐應(yīng)用有廣義和狹義之分，狹義的實踐應(yīng)用即學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解答數(shù)學(xué)考試與練習(xí)題目，以提高數(shù)學(xué)考試成績，廣義的實踐應(yīng)用即學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析并解決生活中的數(shù)學(xué)問題。以數(shù)形結(jié)合的思想開展數(shù)學(xué)知識的教與學(xué)、廣義與狹義層面數(shù)學(xué)問題的分析與解決，意味著學(xué)生能透過表象精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系。如此，當(dāng)學(xué)生在考試中遇到函數(shù)問題時，除了可以從文字本身出發(fā)來列出題干中的數(shù)量關(guān)系，還可以以圖表文，通過圖像與圖形挖掘隱含關(guān)鍵信息。更重要的是，當(dāng)學(xué)生完成了圖文轉(zhuǎn)化后，也可以從圖形視角解答數(shù)量問題，這樣可以拓寬學(xué)生的解題思路，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)函數(shù)知識的應(yīng)用思維的多元性。

（三）有助于發(fā)展學(xué)生思維靈活性

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)屬性的要求。在傳統(tǒng)知識講解與題海訓(xùn)練型數(shù)學(xué)課堂中，初中數(shù)學(xué)教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的根本指向都在于應(yīng)試能力的提高。達(dá)成這一目標(biāo)的途徑是冗雜繁復(fù)數(shù)學(xué)題目的持續(xù)訓(xùn)練，其結(jié)果往往不如人意，部分學(xué)生仍存在審題無邏輯、答題無思路等問題，其本質(zhì)是學(xué)生并未能掌握數(shù)學(xué)思想，缺乏數(shù)學(xué)思維的靈活性和邏輯性。而數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想，能以圖代文、以文表圖，通過圖與文之間的靈活轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)題目中點、線、面的有效結(jié)合，極大促進(jìn)了學(xué)生形象思維的發(fā)展。同時，在文字概念或文字類題目審題過程中，學(xué)生往往會存在一葉障目的問題，這同樣反映了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的漏洞。而數(shù)形結(jié)合則可以逐字逐句地進(jìn)行文字轉(zhuǎn)化，也可以在圖形上補充體現(xiàn)題目與概念之外的知識點，這極大促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性發(fā)展。

二、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用實踐

（一）以數(shù)學(xué)問題為驅(qū)動，激活數(shù)形結(jié)合思維興趣

函數(shù)中數(shù)值變化的規(guī)律性是實現(xiàn)數(shù)與形相互轉(zhuǎn)換的基本前提，但從實際層面而言，函數(shù)中數(shù)值變化的規(guī)律往往被大量的文本描述信息所掩蓋，需要學(xué)生充分發(fā)揮自己的關(guān)鍵信息提取能力和邏輯思維整合能力。而這一基本前提的達(dá)成，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力以及對數(shù)形結(jié)合思想的感知能力。從初中學(xué)生的實際情況、認(rèn)知水平、思維特性為切入點來看，相較于主動告知學(xué)生數(shù)學(xué)知識的由來、數(shù)量關(guān)系變化的現(xiàn)實規(guī)律，他們往往更傾向于主動發(fā)現(xiàn)、主動思考、主動探究以及結(jié)論驗證的學(xué)習(xí)過程。基于以上教學(xué)現(xiàn)實的考量，在初中函數(shù)教學(xué)過程中有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，教師可以圍繞數(shù)學(xué)文本設(shè)置啟發(fā)性、探究性問題，驅(qū)動學(xué)生由表及里、由表象到本質(zhì)提煉文本信息中的數(shù)量關(guān)系，并通過對數(shù)量關(guān)系的分析及其內(nèi)在變化規(guī)律性的總結(jié)實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想滲透，達(dá)成以形助數(shù)、邏輯思考、規(guī)律總結(jié)的自主性學(xué)習(xí)效果。比如，一次函數(shù)的本質(zhì)是集合之間的嚴(yán)格對應(yīng)關(guān)系，作為初中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，其代表的數(shù)量關(guān)系變化具有明顯的規(guī)律性。在對一次函數(shù)問題進(jìn)行教學(xué)講解時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以認(rèn)知范圍內(nèi)的圖形或圖表對一次函數(shù)中函數(shù)與自變量之間的關(guān)系進(jìn)行直觀表示。以速度、時間、路程三者之間的函數(shù)關(guān)系為例，教師給出三道圍繞這一基礎(chǔ)一次函數(shù)概念展開的例題，并向?qū)W生提出思考問題——三道題目中的數(shù)量關(guān)系有哪些共同點？如何描述這種數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律？基于教師的問題引導(dǎo)和學(xué)生的觀察，多數(shù)學(xué)生可得出結(jié)論——每道題目中的數(shù)量關(guān)系都有變量和不變量，同時因為某些數(shù)量是恒定不變的，所以與這個不變量相關(guān)的其他變量之間也存在某種關(guān)系。對這種對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行表示和描述，可以借助圖表工具，標(biāo)明橫縱坐標(biāo)的意義和數(shù)據(jù)，即可直觀感知函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系變化規(guī)律。

（二）以實例應(yīng)用為啟發(fā)，增強數(shù)形結(jié)合應(yīng)用認(rèn)知

解決實際性的數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)，乃至數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的根本，同時培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科應(yīng)用認(rèn)知與能力也集中體現(xiàn)了新課標(biāo)下數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的本質(zhì)內(nèi)涵。如上所述，驅(qū)動性數(shù)學(xué)問題的提出與引導(dǎo)，使初中學(xué)生產(chǎn)生了濃厚的數(shù)形結(jié)合思想興趣，并基于此實現(xiàn)數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)與數(shù)形結(jié)合思想的深度鏈接與有效結(jié)合，需要數(shù)學(xué)教師在函數(shù)課堂上融入函數(shù)數(shù)形結(jié)合思想實例，通過整體感知數(shù)學(xué)函數(shù)數(shù)形結(jié)合模型提高初中學(xué)生的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用認(rèn)知，最終達(dá)到以數(shù)定形的教學(xué)效果。比如，在出行如何選擇旅行社的問題處理上，學(xué)生通常會遇到的題目內(nèi)容包括人數(shù)滿額成團(tuán)與人數(shù)不滿額成團(tuán)時不同的選擇計劃，作為中考函數(shù)題型的重要考點，這一題型還可以進(jìn)行租車等內(nèi)容轉(zhuǎn)變。在以數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行函數(shù)例題分析教學(xué)時，教師給出一道例題，學(xué)生利用最熟悉的表格工具對該函數(shù)關(guān)系中價格、人數(shù)的關(guān)系進(jìn)行梳理，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)成團(tuán)人數(shù)均為20人時，A旅行社的價格比B旅行社價格便宜600元；但是，當(dāng)成團(tuán)人數(shù)到達(dá)70人時，可以分別參加A旅行社8折和B旅行社的6折活動，折算下來的價格，B旅行社的性價比更高。在對這道常考函數(shù)實例進(jìn)行分析時，學(xué)生應(yīng)用表格工具進(jìn)行了數(shù)據(jù)展現(xiàn)與關(guān)鍵信息提取，并分階段、分梯度提出了最合適的旅行社選擇計劃和原因。整體上而言，這道生活化函數(shù)題目的解答與分析進(jìn)一步增強了初中學(xué)生以數(shù)形結(jié)合思想分析函數(shù)知識生活應(yīng)用的認(rèn)知，但也存在一定的局限性，那就是表格工具會無形放大該題目的計算量，部分學(xué)生往往會出現(xiàn)因耐心不足而錯過答案轉(zhuǎn)變關(guān)鍵點的問題，因而需要進(jìn)一步導(dǎo)入更直觀且準(zhǔn)確的數(shù)形結(jié)合工具——函數(shù)圖像。

（三）以思維逆推為引導(dǎo)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合深度思維

隨著新課標(biāo)的提出與深入落實，初中數(shù)學(xué)教學(xué)與中學(xué)考試越來越關(guān)注對學(xué)生深度邏輯思維的引導(dǎo)與考察。作為直接關(guān)系學(xué)生未來學(xué)習(xí)與生活的必要素養(yǎng)，深度邏輯思維不僅表現(xiàn)在學(xué)生以逆向思維梳理數(shù)學(xué)概念、定理、公式等基礎(chǔ)理論知識與實踐應(yīng)用之間的對應(yīng)關(guān)系，還表現(xiàn)為學(xué)生以逆向思維為指引，從結(jié)論入手推理結(jié)論由來的原因及其蘊含的數(shù)學(xué)思想。具體到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的實際應(yīng)用，意味著數(shù)學(xué)教師要在幫助學(xué)生掌握以數(shù)定形數(shù)學(xué)方法的同時，指導(dǎo)學(xué)生從圖像與圖形入手提取關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系信息的技巧方法，將直觀形象的圖像轉(zhuǎn)化為邏輯具象的函數(shù)解析式，以此精準(zhǔn)答題、正確應(yīng)用，真正實現(xiàn)全面培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)函數(shù)數(shù)形結(jié)合應(yīng)用能力的目標(biāo)，真正發(fā)展初中學(xué)生的數(shù)學(xué)深度邏輯思維。比如，巡邏船地追及問題在數(shù)學(xué)函數(shù)考核中同樣是一個重要考點，在函數(shù)教學(xué)過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，以培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維為重點，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以函數(shù)圖像的繪制和分析提取相應(yīng)關(guān)系，得出數(shù)量關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，而后進(jìn)行問題拓展思考，利用所學(xué)函數(shù)基礎(chǔ)知識、積累生活經(jīng)驗進(jìn)行逆推訓(xùn)練。具體而言，引導(dǎo)學(xué)生思考：巡邏船在海上追逐可疑船只，如何通過已知條件得出這一結(jié)論。學(xué)生根據(jù)已知條件繪制函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)相交點時，說明巡邏船和可疑船只同時到達(dá)相同地點，這種情況下便是相遇問題，其計算方法轉(zhuǎn)變?yōu)檠策壌c可疑船只行駛路徑的函數(shù)關(guān)系式，而后代入相應(yīng)函數(shù)圖像中的坐標(biāo)數(shù)值，可以得出所求答案。通過以上案例應(yīng)用的分析，學(xué)生既掌握了函數(shù)知識中數(shù)形結(jié)合思想的逆推方法，又培養(yǎng)了初中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的深度思維，對初中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)試能力的提高和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育將發(fā)揮重要的促進(jìn)作用。

（四）以習(xí)題訓(xùn)練為保障，提高數(shù)形結(jié)合實踐能力

知、懂、會、熟、巧是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由基礎(chǔ)到深層、由表層到深刻的發(fā)展過程，在數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過程，“知”意味著學(xué)生真正掌握了數(shù)形結(jié)合思想的概念、本質(zhì)、核心，“懂”意味著學(xué)生能精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)結(jié)合的應(yīng)用關(guān)鍵，“會、熟、巧”則重點表現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)考試與生活實踐中對函數(shù)數(shù)形結(jié)合思想的融會貫通、學(xué)以致用。因此，在常態(tài)化課堂教學(xué)之余，數(shù)學(xué)教師還需加強日常的習(xí)題訓(xùn)練真正提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合實踐能力。但需要強調(diào)的是，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合實踐能力導(dǎo)向下的課堂函數(shù)習(xí)題訓(xùn)練與以往的習(xí)題選擇存在本質(zhì)區(qū)別，具體需要遵循三個基本原則：首先，要緊緊圍繞新課標(biāo)的要求、目標(biāo)進(jìn)行習(xí)題選擇，要重視學(xué)生以數(shù)形結(jié)合思想來分析、思考與解決基礎(chǔ)函數(shù)知識相關(guān)習(xí)題的能力考核，不能為了提升學(xué)生思維而揠苗助長式選擇高難度、怪題型、偏門的數(shù)學(xué)習(xí)題；其次，要體現(xiàn)函數(shù)訓(xùn)練題目難度的層次性和階梯性，也就是要確保學(xué)生在準(zhǔn)確掌握函數(shù)基礎(chǔ)理論知識的前提下進(jìn)行思維高階訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)函數(shù)思維與實踐能力由數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)應(yīng)用到深度探究的逐步遷移，以確保函數(shù)數(shù)形結(jié)合習(xí)題與不同認(rèn)知水平、能力情況初中學(xué)生的適配度，并實現(xiàn)不同初中學(xué)生在現(xiàn)有認(rèn)知與能力水平基礎(chǔ)上向“最近發(fā)展區(qū)”的提升；最后，以中考大綱為核心設(shè)計函數(shù)數(shù)形結(jié)合訓(xùn)練習(xí)題，不能超綱進(jìn)行習(xí)題選擇與設(shè)計，要在保障學(xué)生應(yīng)試能力提高的基礎(chǔ)上，對其進(jìn)行深度數(shù)形結(jié)合應(yīng)用思維與能力提升訓(xùn)練，這樣才能真正發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科與數(shù)學(xué)思想方法的育人功能。

三、結(jié)語

總之，數(shù)學(xué)結(jié)合思想在初中函數(shù)教學(xué)中的滲透應(yīng)用，能幫助學(xué)生快速理解和掌握數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)學(xué)生的抽象想象能力和空間創(chuàng)新思維，對初中學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活應(yīng)用均發(fā)揮著重要的指導(dǎo)作用。因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)以新課標(biāo)要求為指引、以核心素養(yǎng)培育為導(dǎo)向、以先進(jìn)的教學(xué)思想與手段為支架推進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)教學(xué)的深度融合。通過豐富多樣的教學(xué)實踐活動的開展以及高質(zhì)量教學(xué)訓(xùn)練的組織發(fā)展學(xué)生思維能力，全面支持初中學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]王鐵建.數(shù)之有趣，學(xué)之有味——新課標(biāo)背景下初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展教學(xué)研究[J].問答與導(dǎo)學(xué)，2024（13）.

[2]陳葉波.滲透數(shù)學(xué)思想促進(jìn)思維發(fā)展——以數(shù)形結(jié)合思想的課堂運用為例[J].輔導(dǎo)員（教學(xué)版），2011（05）.

[3]林琪.深度學(xué)習(xí)覓因果，數(shù)形結(jié)合探本質(zhì)——以函數(shù)奇偶性為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2022（06）.

[4]陳麗黎.類比探究透本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合雙翼飛——“二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（3）”的教學(xué)設(shè)計與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（12）.

（責(zé)任編輯：莊美純）