二音對幾何空間的構建及分析應用

摘 要：《音樂幾何學》是美國著名作曲家、音樂理論家德米特里·提莫志克（Dmitri Tymoczko）于2010年出版的一本音樂理論著述，二音對幾何空間是該著述中的一個重要組成部分。將《音樂幾何學》中的二音對作為闡釋對象，通過二音對音高空間和二音對音級空間視角，以古拜杜麗娜、勛伯格和勃拉姆斯的作品片段為佐證，對二音對在幾何圖形中的圖形繪制及其示例等方面做簡要說明，并以巴托克的《減五度》為例，展現“音樂幾何學”中二音對幾何空間理論在二聲部音樂作品中的分析效能。

關鍵詞：德米特里·提莫志克；《音樂幾何學》；二音對；幾何空間；《減五度》

中圖分類號：J614 文獻標識碼：A

文章編號：1004-2172（2024）01-0044-13

DOI：10.15929/j.cnki.1004 - 2172.2024.01.005

《音樂幾何學》（A Geometry of Music）（下稱“GM ”）是美國著名作曲家、音樂理論家德米特里·提莫志克[1]（Dmitri Tymoczko，1969—）

于2010年出版的一本音樂理論著述[2]。書中將音樂元素與空間幾何相結合，以一個全新的視角，重新解讀西方傳統調性音樂。在GM中，音程（intervals）[3]、和弦（chords）、音階（scales）等音樂元素均以幾何空間的形式體現，更為直觀地將各個聲部之間的有效聲部進行（efficient voice leading）及和聲一致性（harmony consistency）等展現出來，為解讀作品與理解音樂提供了一種新的工具和視角。GM一經出版，即在美國音樂理論界引起廣泛關注[4]，但在國內音樂理論界卻鮮有提及。

一、二音對幾何空間的構建

提莫志克將和弦分為二音和弦（two - note chord）（下稱“二音對”）、三音和弦（three - note chord）以及更多音的和弦。其中二音對主要以一維和弦空間（one - dimensional space）、二維音高空間（two - dimensional pitch space）及二維音級空間（two - dimensional pitch-class space）的方式呈示[5]。

一維空間是指僅由一條線內的點所組成的空間，它只有長度，沒有寬度和高度，只能向兩邊無限延展。提莫志克常用一維圖形中線段上的一個點表示音樂中的音高（pitch）或音級（pitch class），也可以表示兩個不同音高或音級之間的進行。圖1為有序的二音對（C4，E4）[6]在一維空間圖形中的表現形式。從左到右代表了音高的漸次升高。灰色圓點代表第一個音，黑色圓點代表第二個音。

譜例1為C大調屬七和弦至主和弦的進行，在一維空間中如圖2所示。其中，灰色圓點代表屬七和弦的音高，黑色圓點代表主和弦的音高，箭頭所指方向為聲部進行的方向，4個聲部之間的進行可以看作4組有序的二音對（G2，C3）（B3，C4）（D4，C4）和（F4、E4）。從一維線性空間圖中可以看出，每個二音對的第一個音向第二個音移動的方向和距離。

雖然一維空間也可以表現單個的二音對，但是當出現涉及聲部進行的兩組或更多組二音對時，該圖形則無法清晰、直接地表達，此時可將二音對置于二維空間表述。

（一）二音對音高空間

二維空間（two-dimensional space）是指由長度和寬度（在幾何學中為x軸和y軸）兩個要素所組成的平面空間，可向所在平面延伸擴展，二音對音高空間在此基礎上產生。提莫志克常用二維空間圖形來表示音樂中的二音對或某一系列的三音和弦[7]。

1.基本空間

二維空間圖形采用的是平面直角坐標系的方式。圖3是有序的二音對（C4，E4）在二維空間的表現形式。其中x軸（水平方向）代表第一個音（二音對中較低的音），y軸（垂直方向）代表第二個音（二音對中較高的音），橫軸從左到右以及縱軸從低到高均代表了音高的漸次升高。通過二維空間圖，可以將一個二音對表示為平面直角坐標系中的一個點。當涉及到兩個二音對或多個二音對之間的連接時，即可利用該坐標系將二聲部的音樂轉換成平面中的線段，從而更直觀地表現出音樂的變化過程。

譜例2為俄羅斯作曲家索非亞·古拜杜麗娜（Sofia Asgatovna Gubaidulina，1931— ）的鋼琴作品《音樂玩具》（Music toys）第十一首《帶鈴鐺的雪橇》（Sled with bells）中的主題動機。該動機包含了反向（perfect contrary）、不完全反向（imperfect contrary）[10]、平行（parallel）和斜向（oblique）的二聲部進行方式，在二維空間中如圖4所示。

線段①為二音對（G5，A5）到（F5，B5）的進行，其中G5向下移動1個半音到達F5，A5向上移動1個半音到達B5。由于兩個音移動的方向相反，但半音數相等，所以線段①為反向進行，在圖中與呈東南—西北方向的角平分線平行。

線段②為二音對（F5，B5）到（G5，G5）的進行，其中F5向上移動1個半音到達G5，B5向下移動2個半音到達G5。由于兩個音移動的方向和半音數量均不相等，所以線段②為不完全反向進行，既不平行于x/y軸，也不平行于角平分線（東南—西北方向/東北—西南方向）。

線段③為二音對（G5，G5）到（G5，A5）的進行，其中G5向上移動一個半音到達G5，G5向上移動一個半音到達A5。由于兩個音移動的方向相同，半音數也相等，所以線段③為平行進行，在圖中與呈東北—西南方向的角平分線平行。

線段④為二音對（G5，A5）到（G5，A5）的進行，其中G5向下移動一個半音到達G5，A5不動，所以線段④為斜向進行，在圖中與x軸平行。

由上可知，在該直角坐標系中，平行于角平分線呈東南—西北方向的線段，表示反向進行（兩聲部進行方向相反，半音數相同）；呈東南—西北方向或東北—西南方向但不平行于角平分線的線段，表示不完全反向進行（兩聲部進行方向相反，半音數不同）；平行于角平分線呈東北—西南方向的線段，表示平行的進行（兩聲部進行方向和半音數均相等）；垂直或平行于x軸的線段，表示斜向進行（其中一個聲部保持不動，另一聲部向上或向下進行）。

在《帶鈴鐺的雪橇》（Sled with bells）主題動機的分析中可以看出，傳統分析方法對聲部之間進行方向與半音數量的分析，可以通過二維空間圖形更為直觀地體現，從而對各聲部之間的連接方式有著更為細致的解讀。

2.二音對音高空間的變化

提莫志克對音樂的分析更強調和聲與對位中平行與反向的關系，因此將二維圖形所展現的部分在上述基礎之上做了進一步的變化。該變化不會以任何方式改變空間，只是更利于我們分析作品。

由上可知，在二維空間圖中，x軸表示第一個音，y軸表示第二個音，而互相垂直的兩條對角線分別代表了“相反進行”和“平行進行”（見圖5a）。將圖5a順時針旋轉45°，可得到圖5b。在圖5b中，x軸表示平行進行，y軸表示反向進行。“第一個音”和“第二個音”則變成兩條互為垂直的對角線。再將各個音級按照等距等比的方式填入圖5b中，便得到了圖6。

在圖6中，每一個正方形內的二音對，低音均為從F到高八度F之內的音，高音均為C到高八度C之內的音。橫向代表平行進行，每向右或向左移動一個點，兩個音高便均增加或減少一個半音；縱向代表反向進行，每向上或向下移動一個點，兩個音的音高便呈相反的方向移動一個半音；斜向45°或135°代表單聲部的進行，即一個聲部保持不動，另一個聲部增加或減少半音。

在圖6中所呈示的4個正方形中，左上和右下為八度變換關系[13]（每個二音對中第一個音相同，右下的第二個音比左上的第二個音高一個八度）；左下和右上亦為八度變換關系（每個二音對中第一個音相同，左下的第二個音比右上的第二個音低一個八度）；左上和左下以及右上和右下均為對稱關系（以中間橫線為對稱軸）；左上和右上以及左下和右下為倒影對稱（八度變換）關系。

（二）二音對音級空間

如若只考慮無序二音對音級時，便取其中一個正方形，即為二音對音級空間。二音對音級空間為有限空間，如圖7所示。

平面幾何中點所處的位置不同，所代表的意義也不盡相同。而點與點之間進行方式的不同，則體現了聲部間多樣的進行方式。因此，該空間中出現的點或線段，有如下7種解讀方式。

（1）二音對所處空間位置由和弦性質決定。

在德米特里的幾何空間圖中，越是接近八度均分（divide the octave evenly）的和弦（包括二音對、三音和弦等），則越靠近中間位置（縱向）；越是緊湊的和弦，則越靠近邊緣位置。因此，在每一個八度的正方形中，中心位置為均分八度的三全音，即二音對（C，F），與該二音對同在一行的二音對均為三全音；正方形的上端或下端均為最緊湊的二音對（同度）。

（2）同一水平線上音高相加之和遞增或遞減，同一垂直線上音高相加之和相等。

在該圖中，橫向代表平行進行，因此每向右移動一個點，兩個音則分別增加半音，音高之和增加2，反之則減少2；縱向代表反向進行，因此每向上或向下移動一個點，其中一個音移高半音，另一個音降低半音，所以音高之和不變。

（3）每一個可想象的二音對均可在平面圖中找到對應的點。

平面幾何代表了無限的可能，每一個正方形內都包含了可想象的所有的二音對，只需通過精確的測量便可找到圖中與之相對應的點。如包含微分音的二音對（C，E）[14]，由于C到C和C的距離相等，因此該二音對位于（C，E）和（C，E）的中點處（見圖7中①）。

（4）莫比烏斯帶效應。

德米特里將該圖形比喻為莫比烏斯帶，體現在二音對進行至上方（或下方）邊緣線將會反向進行；二音對進行至左方（或右方）邊緣線將會從另一側對應的點出現。

圖7雖然無視音高的有序性，只考慮無序音級，但通過二音對之間的進行路線可以適當地表示音高及有序的音級。從圖6可以看出，上下關系的正方形為對稱關系（八度變換），將其轉換為圖7時，線段到達上方或下方邊緣時將會反射回來。如：二音對（D4，E5）向二音對（D4，C5）進行的過程中（見圖7中②），D4保持不動，聲部E5經過D5到達C5，因此二音對（D4，E5）向二音對（D4，C5）進行的過程實際是（D4，E5）→（D4，D5）→（D4，C5）的過程，在圖中顯示為一條線段從（D，E）出發，到達正方形上方邊緣（D，D）所在的點反射到點（C，D）。

在圖6中，左側和右側的正方形為倒影對稱（八度變換）關系，將其轉換成圖7時，線段到達邊緣時會從另一側相對應的點出現。如：二音對（E，G）向二音對（F，A）進行的過程中（見圖7中的③），兩個聲部均向上移動了兩個半音，聲部E經過E到F；聲部G經過G到A。因此二音對（E，G）向二音對（F，A）進行的過程實際是（E，G）→（E，G）→（F，A）的過程，在圖中顯示為線段從點（E，G）出發，達到正方形右側邊緣（E，G）所在的點，從圖左側邊緣點（G，E）中出現，到達點（A，F）。[16]

（5）圖形移動方向由二音對各音移動半音數決定。

音符順序相同的情況下，第一個音（低音）移動的半音數減去第二個音（高音）移動的半音數為向上方運動的總數；第一個音移動的半音數加上第二個音移動的半音數為向右方運動的總數。（見譜例3）

點（C，E）進行到（D，F）有多種運動方式，圖8是對其中4種運動方式的舉例說明。雖然圖7所呈示的正方形中無視二音對的有序性，將所有的音級都移動到一個八度之內，但是并不代表在該圖中點（C，E）到（D，F）的進行只有單純的一種（圖8中①），而是可以根據實際音高，將二音對進行有序排列，再根據各個聲部之間的進行，來繪制實際的路線圖。

進行①：聲部C向上移動了2個半音到D，聲部E向上移動1個半音到F，所以點（C，E）向點（D，F）向右移動了2+1=3個單位，向上移動了2-1=1個單位。

進行②：聲部C向下移動7個半音到F，聲部E向下移動2個半音到D，因此點（C，E）向點（F，D）向右移動了-7+（-2）=-9個單位，向上移動了-7-（-2）=-5個單位，即向左移動了9個單位，向下移動了5個單位。

進行③：聲部C向上移動了5個單位到F，聲部E向下移動一個單位到D，因此（C，E）向點（F，D）向右移動了5+（-2）=3個單位，向上移動了5-（-2）=7個單位。

進行④：聲部C向下移動了7個單位到F，聲部E向上移動10個單位到D，因此點（C，E）向點（F，D）向右移動了-7+10=3個單位，向上移動了-7-10=-17個單位，即向下移動了17個單位。

（6）圖中的每一個點都可以代表一個八度內的兩個二音對。

由于圖中的點代表無序的二音對，因此每一個點都代表了一個八度內的兩個二音對。如：點（C，D）可以代表二音對（C，D）（二音對中的兩個音距離為2個半音），同時也可以代表二音對（D，C）（二音對中的兩個點距離為10個半音）。

（7）分別呈移位（transposition）相關的兩組二音對進行，其相反運動值相等。

譜例4為阿諾德·勛伯格（Arnold Schonberg，1874—1951）《鋼琴曲》（Op.33a）R10序列中第1、2、3、4、5、6、9、10號音高[18]，組成了4個二音對，每2個二音對為一組。兩組二音對中的第一個二音對，相距均為10個半音，呈T11移位關系[19]，因此兩個二音對在圖中所代表的點在同一水平線上；兩組中的第二個二音對，相距均為11個半音，呈T4移位關系，因此兩個二音對在圖中所代表的點也在同一水平面。從圖中可以看出，兩組二音對之間的進行，橫向上的距離雖然有別，但是在縱向上的移動距離相等，代表其反向運動值相等（也可根據第5種解讀方式計算得出）。由此可以說明，十二音音樂中，序列的選擇、布局和使用，都經過了作曲家的深思熟慮，巧妙安排，每一個序列內部之間可能存在著移位現象；每一個聲部進行之間，或許存在著某種聯系，此種聯系僅通過譜面觀察或慣用分析技法無法直接進行解讀，但將其置于幾何空間圖中便可清晰明了，這種清晰明了是以對二維平面音高幾何空間之意涵深入了解為前提的。

譜例5為勃拉姆斯《間奏曲》（Op.116，No.5）第1—4小節的4組二聲部進行，分別標記為“X1”“X2”（1—2小節）“Y1”“Y2”（3—4小節），它們的二維平面幾何空間圖形可見圖10a。可以看出，X1、X2以點（E，B）為起始點向上下兩側移動；X2、Y2以點（F，C）為起始點向上下兩側移動。若將左側圖像把點（E，B）向右下移動至與點（F，C）重合，4組二音對之間的進行關系便清晰明了（見圖10b）：X1和Y2、Y1和X2分別關于中心點呈鏡像關系。若將Y2向上翻動至X1，Y1向下翻動至X2，二者將會完全重合（見圖10c），即X1等價于Y2，X2等價于Y1。

通過譜例5可以看出，X1和Y2分別為反向運動（在圖中方向垂直于水平線），而兩者又以某種移位關系呈對稱形態；X2和Y1分別為不完全反向運動（在圖中方向為偏右的向上/下），兩者以某種移位關系呈對稱形態。針對這種現象，提莫志克如此形容：“在演奏勃拉姆斯的作品時，我總是隱約地意識到這些關系——你可以用手指感覺到完全相反的運動和不那么平衡的運動之間的區別，你可以感受到右手1、2小節兩組純粹的半音運動移動到左手3、4小節中。”[21]勃拉姆斯作品中的這一可逆對位關系很難用傳統分析方法進行描述，但在幾何圖形中卻可以清晰的表示。

二、二音對幾何空間的應用

常見的二聲部音樂作品，縱向的對位均為各種類型的二音對。因此，可將二聲部音樂作品進行截斷分析（可根據具體分析來選取不同的截斷方式）。筆者選取匈牙利作曲家貝拉·巴托克（Béla Bartók，1881—1945）鋼琴曲集《小宇宙》第四卷第101首鋼琴作品——二聲部音樂作品《減五度》作為分析對象。《小宇宙》雖是兒童鋼琴作品，結構短小，但卻處處體現了作曲家在音樂創作上巧妙的構思。《減五度》作為其中的作品，在結構、音高等方面都有著獨特的設計。

筆者以樂句為標準進行截斷分析，將每個樂句置于二音對音高空間中，通過圖形之間的變化與聯系，闡釋重復型樂句和對比型樂句在同一作品中的幾何關聯，以此展現“音樂幾何學”中二音對幾何空間理論在二聲部音樂作品中的分析效能。

該作品的整體結構為回旋曲式結構，分別為A（1—11小節），B（12—19小節），A1（20—25小節），C（26—35小節）和A2（36—44小節）詳見表1。該作品在橫向上，鋼琴的兩個聲部均呈現了不同的調性中心，為雙調性并置，其中心音都是通過聲部的最低音來體現的，兩個調性中心相距均為減五度；縱向上，兩個相距減五度的局部音階，結合形成了八聲音階。如1—5小節中，高聲部為a小調的前4個音A—B—C—D，低聲部為e小調的前4個音E—F—G—A，兩個聲部共同構成了OCT（2，3）；12—15小節中，高聲部為D大調的前4個音D—E—F—G，低聲部為G大調的前4個音G—A—B—C，兩個聲部共同構成了OCT（0，1）。

將樂譜放置在幾何空間里，可以清晰地看出作曲家的創作意圖，如圖11中３個例子。圖11a中，存在一個重要的動機——直角梯形。第一個直角梯形由點1～8完成，直角梯形的兩條平行邊均為坐標系中對角線的平行邊，為一聲部保持不動，另一聲部運動，另一條直角邊亦為如此。第二個直角梯形由點6～14完成，是對第一個直角梯形的變化重復，體現在：（1）該直角梯形不是直接完成的，而是經歷了點10、11的偏離才回到了原軌跡；（2）該直角梯形的面積僅為第一個直角梯形的四分之一（第一個直角梯形面積為20平方單位，第二個直角梯形面積為5平方單位）。在音高上，作曲家在強調兩個中心音E—A。從圖中可知，包含音級E的點有1、2、3、4、8、9、10、11、12、17，共10個；包含A的點有1、6、7、8、14、16、17，共7個。兩個中心音相聚于點1、8、17，是該片段的最低音，位于圖形的最左側。

圖11b是圖11a的變化重復，可通過順時針旋轉90°圖a并平移得到。從譜面可知，兩聲部交換了位置，但聲部之間的對位也發生了偏移，在圖中卻依然保持了直角梯形的輪廓（由點1～8完成）。在提莫志克的語境中，是由于宏和聲[22]（macroharmony）保持了一致性的緣故，均為OCT（2， 3）的。隨著點9進行到點11，圖中第二個直角梯形的輪廓形成。與1—5小節不同的是，它的第二個直角梯形與第一個直角梯形為全等關系，與1—5小節的面積一致，均為20平方單位。該片段的中心音為A—E音，兩音出現在圖形中最左側的點上（點6、21和點9）。從音高的頻率上看，包含音高D的點有1、2、3、4、8、15、16、17、19、20，共10個。音高D的高頻率使用甚至影響了中心音的地位，從而體現了中心音向B樂段過渡的過程（E—D—D）。從圖形外觀來看，整個圖形以三全音所在橫軸完美對稱，從圖形內部而言又存在著很大的不同。提莫志克曾在GM中提及[23]，完全對稱的進行在很大程度上是不如近似對稱的進行更具有表現力的，因為近似對稱的進行具有更多的音樂可能性。而該片段就是完全對稱與近似對稱的完美融合。

圖11c是A樂段的縮減重復，由最初的兩個樂句縮減成一個6小節的樂句，可通過旋轉180°圖11a得到。該部分中，依舊保持了直角梯形的核心動機，與前兩次不同的是，這個直角梯形是由點1出發，至點5后反向回到點5（12）而完成的，增加了更多的變化在內。中心音所組成的二音對也位于該圖的最左側。

圖12為12—19小節的二音對音高空間圖。其中粗線部分為12—15小節，為b樂句的首次呈示；細線部分為16—19小節，為b樂句的變化重復（下行小三度模進）。由于兩個樂句為模進關系，圖形面積大致相同，中心音都在圖形的最左側，分別為E—B和G—D（圖中為其等音C），整段音高也都在宏和聲OCT（0，1）范圍內。與A樂段相比，B樂段保留其部分基本元素（如直角梯形的兩條直角邊，粗線部分為點1～7，細線部分為點1～5），并由其變化發展而來。

圖13為26—34小節的二音對音高空間圖。其中粗線部分為26—29小節，為c樂句的首次呈示；細線部分為30—34小節，為c樂句的分裂展開。從圖中可知，c樂句的第一次呈示保留了ａ樂句直角梯形動機的兩個直角邊（由點1～6構成），以及ｂ樂句的等腰直角三角形的兩條邊（點1～6和點10～11共同構成），因此，c樂句是由ａ、ｂ派生而來，音高上亦在強調中心音B和F（其中包含音高B的點有4、5、6、10、11、12、14，共7個點；包含音高F的點有1、2、3、4、8、9、15，共7個點）。

C樂段的第二個樂句的開始部分（點1～5）是粗線軌跡中點10～14的平移（向左平移兩個半音）。之后隨著音樂的分裂展開，細線圖形也逐漸變得“面目全非”。C樂段是全曲最具展開性的一個片段，體現在織體的分裂和音高的復雜上。織體上由最初的八分音符占主導逐漸變為四分音符占主導，節奏上更加松散；音高上逐漸脫離八聲音階的控制，粗線部分的音高是在OCT（1， 2）的基礎上加入了E，其宏和聲由8個音變為9個音；而細線部分的已經看不到八聲音階的痕跡，變為了b自然小調（高聲部）與g旋律小調（低聲部）的結合。

在該圖中還出現了全曲第一個由連續的點所構成的閉合三角形。三角形是一種具有標識性的特征，是由一個特定的點出發，移動到另外兩個點后返回到原始點上。三角形在整首作品中僅出現兩次，第二次是在全曲的綜合再現中。

圖14為35—44小節的二音對音高空間圖。該段落是全曲的綜合再現兼尾聲，以A段落材料為主，融合了B段和C段的部分材料。從圖中可以清晰地看出A段的輪廓，如：點4、5、6、7構成了直角梯形的上底和斜邊；點1～7所構成的山峰外形正是圖11b中點5～11的完美復刻，在該段落中點12～20的不斷重復再次強調了該音型（圖形）。B段中的等腰直角三角形外廓（圖12粗線部分）在該圖中由點1、7、30構成，雖未形成完整的直角三角形，但恰好與該段落的結構意義相吻合（只取各段落部分動機）；C段中的閉合三角形（圖13細線部分中點11～14所構成三角形）是該作品第一個由連續點所構成的三角形，此三角形在最后再現段落中也得到了再現（圖14中由點22～25構成）。該段落亦再現了A段的宏和聲OCT（2， 3），中心音為E—A，該圖中包含E的點有5、6、7、12、13、14、18、19、23、30，共10個點；包含A的點有1、2、3、4、8、9、10、16、17、21、28、29、30，共13個點。圖形整體以減五度所在橫軸近似對稱。

通過將巴托克《減五度》的各個樂句放置在二音對音高空間，可直觀地看出：（1）同一作品中同一主題的不同次變化，依然會保留主題中最核心的動機，如ａ樂句的直角梯形，ｂ樂句的兩條直角邊等；（2）同一作品中不同主題樂句中也存在聯系，如之后呈示的每一個樂句都保留了主要動機直角梯形的兩條直角邊，并在此基礎上進行變化與發展；（3）看似音區相近的兩個樂句在二音對音高空間中卻沒有任何的交集。

二音對幾何空間不僅僅適用于二聲部音樂作品，同樣適用于多聲部音樂作品。在多聲部音樂中，可以截取重要的兩個聲部來探析各個聲部之間的關系。該理論亦可與其他分析理論相結合，來探尋更多音樂的可能性，如申克分析理論。申克的簡化還原分析法將西方古典音樂簡化還原為“基本線條”與“分解低音”，這兩條“旋律線”正是二音對幾何空間中所適用的二聲部對位。雖然提莫志克在GM中對申克理論進行了批評[24]，認為申克分析法抹去了音樂中的大量元素從而缺乏了真正的音樂性，但在筆者看來，以申克視角，在橫向上提取結構音，在多聲部音樂中提取邊界聲部，并與音樂幾何分析相結合，將更有助于探尋音樂作品的深層結構意義。

結" 語

在“音樂幾何學”的理論中，二音對以平面幾何的形式呈現，以一種全新的視角和方法對音樂作品進行新的解讀。和弦之間的聲部進行以最直觀的方式體現，一些傳統分析中無法捕捉的細節可以通過幾何圖形的方式顯示出來。通過二音對幾何空間的構建及巴托克《減五度》的分析應用得知，圖形的形狀和大小直觀地表示了音樂作品的主要動機及音域，制圖過程中點與點之間的連接更是有助于分析者了解作曲家的創作意圖。一些對稱或近似對稱的進行在二音對空間中展現出來，傳統分析中不易察覺的點也在幾何空間中一覽無余。

“音樂幾何學”理論不僅是一種分析理論，同樣可以反作用于作曲。可以預先在幾何空間中繪制出自己想要的圖形，如房子、蝴蝶等。將圖形所在的點轉換為實際音高，根據作品的情緒在為其配置相應的節奏，未嘗不是一種可行的作曲方法。提莫志克在GM中反復強調，該理論是對西方傳統調性音樂的重新解讀。但在筆者看來，其理論不僅局限于西方傳統調性音樂，對于20世紀的音樂乃至中國音樂作品也有著同樣的功效。

傳統音樂記譜法的演變是為了滿足演奏者而不是音樂思想者的需求，它的設計是為了促進音樂符號轉化為實際行動，而不是為了激起概念上的清晰。這就是為何同一和弦可以用如此令人眼花繚亂的方式來表示的原因。[25]幾何空間忽略了樂譜的冗余和低效，簡化了其過程，將音樂的細節呈顯出來，從而可以直接地觀察和聲與對位關系。在二音對幾何空間理論的基礎上，所衍生出的三音和弦的三維幾何空間，以及更高維度的空間或平面幾何中其他形式的可能性，都值得我們進一步研究和學習。

（本文獲2023成都當代音樂周論文評選三等獎）

收稿日期：2023-12-12

基金項目：2021年國家社科基金藝術學重大項目“中國特色作曲理論體系研究”（21ZD17）。

作者簡介：成曉東（1995— ），男，河南大學音樂學院碩士（河南開封 451199）。

[1]德米特里·提莫志克（Dmitri Tymoczko， 1969— ），任教于普林斯頓大學的一名作曲家和音樂理論家。他在2006年發表的文章《和弦中的幾何》（The Geometry of Musical Chords）是《科學》（Science）雜志近144年歷史上發表的第一篇音樂理論文章，受到大眾媒體的廣泛報道。他的音樂曾被全國各地的樂團演奏，并獲得羅茲獎學金（Rhodes Scholarship）、根海姆學術獎金（Guggenheim Fellowship）和大量其他獎項。

[2]Dmitri Tymoczko， A Geometry of Music： Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice （Oxford： Oxford University Press， 2010）.

[3]提莫志克在GM中將“音程”一概稱為“二音和弦”。

[4]如《折疊音樂：聲音進行空間之間的建模轉換》《通過代數與幾何研究和聲結構的功能表達》《受限的聲部進行空間》等。詳見：Reeves M W， “Folding music： modeling transformations between voice-leading spaces” （PhD diss.， Boston University， 2012）; Barth J. Tonnetz and Beyond，“In Search of Functional Representations of Harmonic Structures through Algebra and Geometry” （PhD diss.， Kalamazoo College， 2015）; Bulger D， Cohn R， “Constrained voice-leading spaces，” Journal of Mathematics and Music 10， no. 1（2016）： 1-17.

[5]三音和弦主要在三維和弦空間（three-dimensional chord space）呈示，超過三音的和弦則在更高維度空間（higher dimensional chord spaces）或其他幾何形式中呈示。

[6]本文所涉及具體音高均參考“美國聲學學會”（Acoustical Society of America）規定的標準（此標準亦為提莫志克行文習慣）。如，中央C為C4，低音譜號下加二線為C2，低音譜號第二間為C3等等。

[7]三音和弦在三維空間呈示，三維空間的橫切面即為二維平面，同在一個橫切面的三音和弦具有某些相類似的特征。

[8]同[2]，p.66。

[9]同[2]， p.66。

[10] GM中，提莫志克將方向相反、半音數一致的二聲部進行稱為“完全反向進行”（perfect contrary motion）；將方向相反、半音數不一致的二聲部進行稱為“不完全反向進行”（imperfect contrary motion）。

[11]同[2]，p.67。

[12]同[2]， p.68。由于空間平面是無限的，因此該圖僅為局部展示。

[13]八度變換關系：兩組二音對中，每組第一個音一致，第二個音呈八度關系。

[14]C表示升高四分之一個全音的C，因此C到C和到C的距離相等。

[15]同[2]， p.74。

[16]由于該圖中的點代表的是無序二音對，因此點（E，G）和（G，E）以及點（F，A）和（A，F）代表的是同一個二音對。

[17]同[2]，p.76。

[18]詳細分析參見羅伊格-弗朗科利：《理解后調性音樂》，杜曉十、譚革勝譯，人民音樂出版社，2012，第212頁。

[19]T11中，T表示移位關系，11表示向上移動11個半音或向下移動1個半音，此處為向下移動1個半音。

[20]圖10源自Dmitri Tymoczko， A Geometry of Music： Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice， p.78.

[21]Dmitri Tymoczko， A Geometry of Music： Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice， p. 79.

[22]宏和聲：短小時間內全部音的總和。同[2] ，p. 15。

[23]同[2] ，p. 81。

[24]同[2] ， p. 258。

[25]同[2] ，p.79。