2023年貴陽市二模數(shù)學(xué)第12題的多解、溯源

李 勇

(貴陽市息烽縣第一中學(xué),貴州 貴陽 551100)

該試題作為一道壓軸題,起點比較高.絕大多數(shù)的考生由于自身知識儲備的問題,只能按套路解題,這將導(dǎo)致由于產(chǎn)生大量的運算而無法進(jìn)行下去,因此絕大多數(shù)的考生這道題得不到分.其實這道題的落點是很低的,就是考查拋物線的性質(zhì),準(zhǔn)確一點講就是考查拋物線中過焦點的阿基米德三角形的性質(zhì),對于那些掌握了拋物線有關(guān)性質(zhì)的學(xué)生來說這道題就是一道送分題,是非常簡單的.

1 試題呈現(xiàn)

A.5 B.6 C.7 D.8

2 背景探究

此題明面上是考查拋物線的切線問題,實則考查的是過焦點的阿基米德三角形問題[1].該三角形比一般的阿基米德三角形有著更多的性質(zhì),因此常被出題人青睞.下面列舉此三角形的一些?？夹再|(zhì).

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過焦點F的直線交拋物線C于A,B兩點,以A,B兩點為切點與拋物線相切的直線交于點P.設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則

(1)切線PA的方程為y1y=p(x+x1),切線PB的方程為y2y=p(x+x2);

(3)直線AB的方程為(y1+y2)y-2px-y1y2=0;

(4)若點P的坐標(biāo)為(x0,y0),則直線AB的方程為y0y-p(x+x0)=0;

(5)PA⊥PB,即切線PA與切線PB垂直;

(6)PF⊥AB;

(7)|PA|2=|AF|·|AB|,

|PB|2=|BF|·|AB|,

|PF|2=|AF|·|BF|;

(8)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點P,以AF為直徑的圓與y軸相切,以BF為直徑的圓與y軸相切;

(9)弦AB的中點與點P的連線與x軸平行,即弦AB的中點的縱坐標(biāo)與點P的縱坐標(biāo)相等;

3 解法探究

設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為D.

根據(jù)阿基米德三角形的性質(zhì)可知點P在準(zhǔn)線上,如圖1所示.

圖1 試題圖

視角1[2]設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由拋物線的切線性質(zhì)得切線PA的方程為y1y=3(x+x1),切線PB的方程為y2y=3(x+x2).

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

|AB|=x1+x2+p

故選D.

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

故選D.

視角3設(shè)直線AB的傾斜角為θ.

由阿基米德三角形的性質(zhì),得

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

故選D.

視角4設(shè)弦AB中點的縱坐標(biāo)為y0.

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

故選D.

視角5弦AB中點的縱坐標(biāo)為y0.

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

所以|AB|=|AF|+|BF|=6+2=8.

故選D.

故選D.

視角7設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),

4x2-20x+9=0.

則x1+x2=5.

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

|AB|=x1+x2+p=5+3=8.

故選D.

視角8設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),

由弦長公式,得

故選D.

視角9由題意不妨設(shè)點A在第一象限,點B在第四象限,且坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),

由兩點間的距離公式,得

故選D.

視角10設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

|AB|=x1+x2+p

故選D.

視角11由題意不妨設(shè)點A在第一象限,點B在第四象限,且坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).

由拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

故選D.

視角12由題意不妨設(shè)點A在第一象限,點B在第四象限,且坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),

由兩點間的距離公式,得

故選D.

視角13由題意不妨設(shè)點A在第一象限,點B在第四象限,且坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).

由阿基米德三角形的性質(zhì),得

由阿基米德三角形的性質(zhì),得

解得|AB|=8.

故選D.

視角14由阿基米德三角形的性質(zhì),拋物線的焦點弦的性質(zhì),得

解得|AB|=8.

故選D.

4 試題溯源

由阿基米德三角形的性質(zhì)可知MF⊥AB.

解析設(shè)AB中點的縱坐標(biāo)為y0.

易知點M(-2,2)在拋物線的準(zhǔn)線上.

所以點M在以AB為直徑的圓上.

由阿基米德三角形的性質(zhì)可知點M(-2,2)是以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線x=-2相切的切點,且線段AB中點的縱坐標(biāo)為2.

故選D.

題3 (2018年全國Ⅲ卷,理16)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°,則k=____.

解析易知點M(-1,1)在拋物線的準(zhǔn)線上.

又因∠AMB=90°,則由阿基米德三角形的性質(zhì)可知MF⊥AB.

即直線AB的斜率k=2.

設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,

所以x1x2=-2b.

所以切線AD的方程為y-y1=x1(x-x1).

即點D的縱坐標(biāo)為-b.

5 結(jié)束語

這道圓錐曲線問題以深刻的背景和清晰的表達(dá),向我們呈現(xiàn)了一個圖象鮮明、解法多樣、層次多樣的數(shù)學(xué)問題,本題深刻地、綜合地考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),有較大的難度.在平常的學(xué)習(xí)中,要特別注意對于背景結(jié)論的挖掘與反思,不能只停留在表面階段,從幾何到代數(shù),再到運算,橫向縱向多維度比較才能真正做到通一類、會一類,研究透徹一類數(shù)學(xué)問題.今后的教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)問題為導(dǎo)向,深入挖掘,多面剖析,才能達(dá)到真正理解數(shù)學(xué)問題、提高數(shù)學(xué)能力的目的.