2023年貴陽市二模數學第12題的多解、溯源

李 勇

(貴陽市息烽縣第一中學,貴州 貴陽 551100)

該試題作為一道壓軸題,起點比較高.絕大多數的考生由于自身知識儲備的問題,只能按套路解題,這將導致由于產生大量的運算而無法進行下去,因此絕大多數的考生這道題得不到分.其實這道題的落點是很低的,就是考查拋物線的性質,準確一點講就是考查拋物線中過焦點的阿基米德三角形的性質,對于那些掌握了拋物線有關性質的學生來說這道題就是一道送分題,是非常簡單的.

1 試題呈現

A.5 B.6 C.7 D.8

2 背景探究

此題明面上是考查拋物線的切線問題,實則考查的是過焦點的阿基米德三角形問題[1].該三角形比一般的阿基米德三角形有著更多的性質,因此常被出題人青睞.下面列舉此三角形的一些常考性質.

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過焦點F的直線交拋物線C于A,B兩點,以A,B兩點為切點與拋物線相切的直線交于點P.設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則

(1)切線PA的方程為y1y=p(x+x1),切線PB的方程為y2y=p(x+x2);

(3)直線AB的方程為(y1+y2)y-2px-y1y2=0;

(4)若點P的坐標為(x0,y0),則直線AB的方程為y0y-p(x+x0)=0;

(5)PA⊥PB,即切線PA與切線PB垂直;

(6)PF⊥AB;

(7)|PA|2=|AF|·|AB|,

|PB|2=|BF|·|AB|,

|PF|2=|AF|·|BF|;

(8)以AB為直徑的圓與準線相切于點P,以AF為直徑的圓與y軸相切,以BF為直徑的圓與y軸相切;

(9)弦AB的中點與點P的連線與x軸平行,即弦AB的中點的縱坐標與點P的縱坐標相等;

3 解法探究

設準線與x軸的交點為D.

根據阿基米德三角形的性質可知點P在準線上,如圖1所示.

圖1 試題圖

視角1[2]設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),由拋物線的切線性質得切線PA的方程為y1y=3(x+x1),切線PB的方程為y2y=3(x+x2).

由拋物線的焦點弦的性質,得

|AB|=x1+x2+p

故選D.

由拋物線的焦點弦的性質,得

故選D.

視角3設直線AB的傾斜角為θ.

由阿基米德三角形的性質,得

由拋物線的焦點弦的性質,得

故選D.

視角4設弦AB中點的縱坐標為y0.

由拋物線的焦點弦的性質,得

由拋物線的焦點弦的性質,得

故選D.

視角5弦AB中點的縱坐標為y0.

由拋物線的焦點弦的性質,得

由拋物線的焦點弦的性質,得

所以|AB|=|AF|+|BF|=6+2=8.

故選D.

故選D.

視角7設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

4x2-20x+9=0.

則x1+x2=5.

由拋物線的焦點弦的性質,得

|AB|=x1+x2+p=5+3=8.

故選D.

視角8設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

由弦長公式,得

故選D.

視角9由題意不妨設點A在第一象限,點B在第四象限,且坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

由兩點間的距離公式,得

故選D.

視角10設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

由拋物線的焦點弦的性質,得

|AB|=x1+x2+p

故選D.

視角11由題意不妨設點A在第一象限,點B在第四象限,且坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).

由拋物線的焦點弦的性質,得

故選D.

視角12由題意不妨設點A在第一象限,點B在第四象限,且坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

由兩點間的距離公式,得

故選D.

視角13由題意不妨設點A在第一象限,點B在第四象限,且坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).

由阿基米德三角形的性質,得

由阿基米德三角形的性質,得

解得|AB|=8.

故選D.

視角14由阿基米德三角形的性質,拋物線的焦點弦的性質,得

解得|AB|=8.

故選D.

4 試題溯源

由阿基米德三角形的性質可知MF⊥AB.

解析設AB中點的縱坐標為y0.

易知點M(-2,2)在拋物線的準線上.

所以點M在以AB為直徑的圓上.

由阿基米德三角形的性質可知點M(-2,2)是以AB為直徑的圓與準線x=-2相切的切點,且線段AB中點的縱坐標為2.

故選D.

題3 (2018年全國Ⅲ卷,理16)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°,則k=____.

解析易知點M(-1,1)在拋物線的準線上.

又因∠AMB=90°,則由阿基米德三角形的性質可知MF⊥AB.

即直線AB的斜率k=2.

設直線AB的方程為y=kx+b,

所以x1x2=-2b.

所以切線AD的方程為y-y1=x1(x-x1).

即點D的縱坐標為-b.

5 結束語

這道圓錐曲線問題以深刻的背景和清晰的表達,向我們呈現了一個圖象鮮明、解法多樣、層次多樣的數學問題,本題深刻地、綜合地考查了學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養,有較大的難度.在平常的學習中,要特別注意對于背景結論的挖掘與反思,不能只停留在表面階段,從幾何到代數,再到運算,橫向縱向多維度比較才能真正做到通一類、會一類,研究透徹一類數學問題.今后的教學應以數學問題為導向,深入挖掘,多面剖析,才能達到真正理解數學問題、提高數學能力的目的.