立足雙曲定線 長路解法漫漫
——一道高考題的賞析

張 悅

(江蘇省揚(yáng)州市揚(yáng)州大學(xué),江蘇 揚(yáng)州 225009)

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的六大核心素養(yǎng)之一,而圓錐曲線解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的良好載體.它本質(zhì)是一種思維模式,這種思維模式的過程包括:理解運(yùn)算對(duì)象→掌握運(yùn)算法則→探求運(yùn)算思路→選擇運(yùn)算方法→設(shè)計(jì)運(yùn)算程序→求得運(yùn)算結(jié)果[1].在解決圓錐曲線定線問題的過程中,最常見的解題思路是聯(lián)立直線和曲線后通過設(shè)出方程求解,本文在此基礎(chǔ)上,又從幾何和代數(shù)角度給出多種解題策略供讀者參考.

1 真題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M在第二象限,直線MA1與NA2交于點(diǎn)P.證明:點(diǎn)P在定直線上.

2 解法賞析

所以點(diǎn)P在定直線x=-1上,

解法2 (設(shè)而不求)聯(lián)立直線與曲線方程

(4m2-1)y2-32my+48=0.

又因?yàn)辄c(diǎn)P不在雙曲線上,所以x0=-1,

解法5 (“第三定義”)由M(x1,y1),N(x2,y2)在雙曲線上可得到

將雙曲線C向右平移2個(gè)單位,得

解法7 (整體換元)聯(lián)立直線和雙曲線有

化簡(jiǎn),得x2y1-x1y2=4(y2-y1),

①

x2y1+x1y2=(my2-4)y1+(my1-4)y2

=2my1y2-4y1-4y2.

②

x1+λx2=-4-4λ,y1+λy2=0.

③

④

所以x=-1.

3 延伸拓展

圓錐曲線的極點(diǎn)和極線定義:如圖1(以橢圓為例),點(diǎn)P是圓錐曲線外的一點(diǎn),過點(diǎn)P引出兩條割線,與圓錐曲線依次相交于E,F,G,H四點(diǎn),連接EH,FG,兩線交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)N;再連接EG和FH,兩線交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)M,其中直線MN稱為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線;如果點(diǎn)P位于圓錐曲線上,則過點(diǎn)P的切線就為該點(diǎn)的極線.

圖1 橢圓示意圖

筆者深入研究發(fā)現(xiàn),定點(diǎn)(-4,0)和定直線x=-1類似于圓錐曲線中的極點(diǎn)和極線,那么基于定點(diǎn)定線和極點(diǎn)極線知識(shí)體系的統(tǒng)一性,將雙曲線的探究背景置換成橢圓和拋物線,得到相應(yīng)結(jié)論.

結(jié)論3拋物線(焦點(diǎn)在x軸):已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0),過定點(diǎn)(s,0)(s≠0)的直線與C交于M,N兩點(diǎn),過M,N分別作拋物線的切線,兩條切線相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P在定直線x=-s上.

4 結(jié)束語

大道至簡(jiǎn),也如同高考定直線試題有極點(diǎn)極線知識(shí)背景一般,將試題抽絲剝繭后抓住核心定點(diǎn)對(duì)應(yīng)定直線,在解析幾何中可以直接利用這些結(jié)論較為快速地解題.筆者希望通過本題的多視角求解和多方面延伸,促使學(xué)生對(duì)圓錐曲線進(jìn)行整體認(rèn)知建構(gòu),提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).