一道解析幾何試題的深入探究

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學,廣東 佛山 528315)

圓錐曲線中的定值定點問題是高考或各類模考的熱點問題之一,這類問題能夠在考查圓錐曲線基礎知識的同時,又能很好地考查學生的運算求解、推理論證等數學能力,以及對分類討論、轉化與化歸等數學思想的理解水平.下面以一道試題為例,深入探討一類與斜率和(積)有關的定值定點問題.

1 試題的呈現與解答

(1)求橢圓C的方程;

(2)若P為橢圓C的左頂點,A,B為橢圓C上的兩點,設直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB+kPAkPB=1.求證:直線AB過定點.

(2)由(1)可得P(-2,0),設直線AB的方程為m(x+2)+ny=1.

整理,得4y2+(x+2)2-4(x+2)=0.

聯立直線AB,齊次化,得

4y2+(x+2)2-4(x+2)[m(x+2)+ny]=0.

化簡,得

4y2-4n(x+2)y+(1-4m)(x+2)2=0.

兩邊同除(x+2)2,得

代入kPA+kPB+kPAkPB=1,得

評注齊次化法在解決兩直線斜率之和(積)相關的定值定點問題中運算量較少,常能達到化繁為簡的效果[1].

2 問題的提出

結合試題,思考:

問題2 在問題(2)中,如果把橢圓C一般化,則直線AB是否過定點?

問題3 在問題(2)中,如果把橢圓C改為雙曲線或拋物線,則直線AB是否過定點?

問題4 在問題(2)中,如果直線AB過定點,那么直線PA,PB的斜率和與斜率積有什么關系?

3 結論推廣

通過探究,可得如下結論:

證明設直線MN的方程為

m(x-x0)+n(y-y0)=1,

由Ax2+By2=1,變形,得

A(x-x0+x0)2+B(y-y0+y0)2=1.

整理,得A(x-x0)2+B(y-y0)2+2Ax0(x-x0)+2By0(y-y0)=0.

聯立直線MN,齊次化,得

A(x-x0)2+B(y-y0)2+[2Ax0(x-x0)+2By0(y-y0)]×[m(x-x0)+n(y-y0)]=0.

化簡,得

(B+2Bny0)(y-y0)2+2(Anx0+Bmy0)(x-x0)(y-y0)+(A+2Amx0)(x-x0)2=0.

兩邊同除(x-x0)2,得

(1)當sk1k2+t(k1+k2)+r=0時,可得

整理,得

m(2Bty0-2Asx0)+n(2Atx0-2Bry0)=As+Br.

(ⅰ)若As+Br≠0,則

所以直線MN過定點

(ⅱ) 當As+Br=0,則

m(2Bty0-2Asx0)+n(2Atx0-2Bry0)=0.

所以sk1k2+t(k1+k2)+r=0.

綜合(1)(2),結論1得證.

4 類比性質

雙曲線、拋物線與橢圓都是圓錐曲線,很多時侯三者之間有可類比的性質,這體現了圓錐曲線性質的內在統一的和諧美.那么拋物線是不是也有類似于結論1的性質呢?經探究,得到如下結論:

證明設直線MN的方程為

m(x-x0)+n(y-y0)=1.

由y2=2px,變形,得

(y-y0+y0)2=2p(x-x0+x0).

即(y-y0)2+2y0(y-y0)-2p(x-x0)=0.

聯立直線MN,齊次化,得

(y-y0)2+2y0(y-y0)·[m(x-x0)+n(y-y0)]-2p(x-x0)·[m(x-x0)+n(y-y0)]=0.

化簡,得(1+2ny0)(y-y0)2+(2my0-2pn)(x-x0)(y-y0)-2pm(x-x0)2=0.

(1)當sk1k2+t(k1+k2)+r=0時,得

整理,得(2ps+2ty0)m+(-2pt-2ry0)n=r.

(ⅰ)若r≠0,則

(ⅱ)當r=0,由(2ps+2ty0)m+(-2pt-2ry0)n=r,得m(2ps+2ty0)+n(-2pt)=0.

所以sk1k2+t(k1+k2)+r=0.

綜合(1)(2),結論2得證.

推論3 過拋物線C:y2=2px(p>0)上的定點P(x0,y0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別與拋物線C交于M,N兩點.

5 結束語

高中數學新課程理念之一是倡導積極主動、勇于探索的學習方式.教師可根據學生實際,通過對題目的拓展、引申、變式探究,讓學生體驗數學的發現和創造歷程,引導他們勇于發現問題、提出問題、解決問題,進而讓學生在分析、類比、猜想、證明過程中養成對數學結論背后邏輯關系的分析與思考習慣,促進學生的發展,提高學生的綜合能力,從而提升學生的數學核心素養.