一道解析幾何試題的深入探究

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué),廣東 佛山 528315)

圓錐曲線中的定值定點(diǎn)問題是高考或各類模考的熱點(diǎn)問題之一,這類問題能夠在考查圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),又能很好地考查學(xué)生的運(yùn)算求解、推理論證等數(shù)學(xué)能力,以及對(duì)分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的理解水平.下面以一道試題為例,深入探討一類與斜率和(積)有關(guān)的定值定點(diǎn)問題.

1 試題的呈現(xiàn)與解答

(1)求橢圓C的方程;

(2)若P為橢圓C的左頂點(diǎn),A,B為橢圓C上的兩點(diǎn),設(shè)直線PA,PB的斜率分別為kPA,kPB,且滿足kPA+kPB+kPAkPB=1.求證:直線AB過定點(diǎn).

(2)由(1)可得P(-2,0),設(shè)直線AB的方程為m(x+2)+ny=1.

整理,得4y2+(x+2)2-4(x+2)=0.

聯(lián)立直線AB,齊次化,得

4y2+(x+2)2-4(x+2)[m(x+2)+ny]=0.

化簡(jiǎn),得

4y2-4n(x+2)y+(1-4m)(x+2)2=0.

兩邊同除(x+2)2,得

代入kPA+kPB+kPAkPB=1,得

評(píng)注齊次化法在解決兩直線斜率之和(積)相關(guān)的定值定點(diǎn)問題中運(yùn)算量較少,常能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果[1].

2 問題的提出

結(jié)合試題,思考:

問題2 在問題(2)中,如果把橢圓C一般化,則直線AB是否過定點(diǎn)?

問題3 在問題(2)中,如果把橢圓C改為雙曲線或拋物線,則直線AB是否過定點(diǎn)?

問題4 在問題(2)中,如果直線AB過定點(diǎn),那么直線PA,PB的斜率和與斜率積有什么關(guān)系?

3 結(jié)論推廣

通過探究,可得如下結(jié)論:

證明設(shè)直線MN的方程為

m(x-x0)+n(y-y0)=1,

由Ax2+By2=1,變形,得

A(x-x0+x0)2+B(y-y0+y0)2=1.

整理,得A(x-x0)2+B(y-y0)2+2Ax0(x-x0)+2By0(y-y0)=0.

聯(lián)立直線MN,齊次化,得

A(x-x0)2+B(y-y0)2+[2Ax0(x-x0)+2By0(y-y0)]×[m(x-x0)+n(y-y0)]=0.

化簡(jiǎn),得

(B+2Bny0)(y-y0)2+2(Anx0+Bmy0)(x-x0)(y-y0)+(A+2Amx0)(x-x0)2=0.

兩邊同除(x-x0)2,得

(1)當(dāng)sk1k2+t(k1+k2)+r=0時(shí),可得

整理,得

m(2Bty0-2Asx0)+n(2Atx0-2Bry0)=As+Br.

(ⅰ)若As+Br≠0,則

所以直線MN過定點(diǎn)

(ⅱ) 當(dāng)As+Br=0,則

m(2Bty0-2Asx0)+n(2Atx0-2Bry0)=0.

所以sk1k2+t(k1+k2)+r=0.

綜合(1)(2),結(jié)論1得證.

4 類比性質(zhì)

雙曲線、拋物線與橢圓都是圓錐曲線,很多時(shí)侯三者之間有可類比的性質(zhì),這體現(xiàn)了圓錐曲線性質(zhì)的內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美.那么拋物線是不是也有類似于結(jié)論1的性質(zhì)呢?經(jīng)探究,得到如下結(jié)論:

證明設(shè)直線MN的方程為

m(x-x0)+n(y-y0)=1.

由y2=2px,變形,得

(y-y0+y0)2=2p(x-x0+x0).

即(y-y0)2+2y0(y-y0)-2p(x-x0)=0.

聯(lián)立直線MN,齊次化,得

(y-y0)2+2y0(y-y0)·[m(x-x0)+n(y-y0)]-2p(x-x0)·[m(x-x0)+n(y-y0)]=0.

化簡(jiǎn),得(1+2ny0)(y-y0)2+(2my0-2pn)(x-x0)(y-y0)-2pm(x-x0)2=0.

(1)當(dāng)sk1k2+t(k1+k2)+r=0時(shí),得

整理,得(2ps+2ty0)m+(-2pt-2ry0)n=r.

(ⅰ)若r≠0,則

(ⅱ)當(dāng)r=0,由(2ps+2ty0)m+(-2pt-2ry0)n=r,得m(2ps+2ty0)+n(-2pt)=0.

所以sk1k2+t(k1+k2)+r=0.

綜合(1)(2),結(jié)論2得證.

推論3 過拋物線C:y2=2px(p>0)上的定點(diǎn)P(x0,y0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別與拋物線C交于M,N兩點(diǎn).

5 結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)新課程理念之一是倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.教師可根據(jù)學(xué)生實(shí)際,通過對(duì)題目的拓展、引申、變式探究,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程,引導(dǎo)他們勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題,進(jìn)而讓學(xué)生在分析、類比、猜想、證明過程中養(yǎng)成對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論背后邏輯關(guān)系的分析與思考習(xí)慣,促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展,提高學(xué)生的綜合能力,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).