平面一般二次曲線的垂徑定理及其應用

鐘德光 肖柔敏

(1.深圳職業技術大學應用數學研究中心,廣東 深圳 518055;2.廣東金融學院金融數學與統計學院,廣東 廣州 510521)

垂徑定理是圓的一個重要性質,它在橢圓、雙曲線以及拋物線都有類似的推廣.目前為止,中小學數學關于橢圓、雙曲線以及拋物線的垂徑定理的討論都是零散的,因此,尋找圓錐曲線的垂徑定理的統一形式有著重要意義.

1 圓的垂徑定理及其在圓錐曲線中的推廣

命題1設O是坐標原點,且設直線l與圓O相交于A,B兩點,點D為線段AB中點.在直線OD的斜率存在且不為零的情況下,則有

kOD·kAB=-1.

圓的上述解析版本的垂徑定理已經在圓錐曲線中得到推廣,見文獻[1-3].

在文獻[1-3]中,他們給出了橢圓、雙曲線和拋物線的垂徑定理:

命題4 (拋物線的垂徑定理) 已知拋物線y2=2px(p>0)與斜率存在且不為零的直線l相交于M,N兩點,設MN中點為P(x0,y0),則有kMN·y0=p.

2 關于圓錐曲線垂徑定理的一些問題

我們知道,命題5是關于有心二次曲線的垂徑定理,它給出命題1～3的一種統一形式.實際上由解析幾何知識可知,有心二次曲線不但包括圓、橢圓以及雙曲線,還應該包括相交的雙直線.因此,命題5并非完整地給出有心二次曲線的垂徑定理.于是我們自然提出如下問題:

問題1相交的雙直線的垂徑定理是什么?

問題2 有心二次曲線與拋物線的統一垂徑定理是什么?

a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0,

①

其中,系數滿足a1,b1,c1,d1,e1,f1∈R,且a12+b12+c12≠0.由于平面上的圓、橢圓、雙曲線、雙直線以及拋物線的標準或非標準方程都具有①的形式,因此上述問題可以總結為如下的問題3:

問題3設平面一般二次曲線方程為a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0,其中a1,b1,c1,d1,e1,f1∈R,且a12+b12+c12≠0,則相應的垂徑定理如何?

3 平面一般二次曲線的垂徑定理

本文我們主要給出問題3的答案,我們找到了如下的定理1.事實上,此結果可由文獻[4]第203頁的推論得到.但是,文獻[4]對于該推論的證明涉及到一般二次曲線的漸近方向,該概念在高中數學未提及.為了使所涉及的方法不超出高中數學的范疇,在此我們利用高中數學常用的“點差法”給出該結果的一個證明.

定理1 設斜率存在的直線y=kx+m與平面一般二次曲線①相交于互異的M,N兩點,且設線段MN中點為Q(x0,y0),則直線MN的斜率kMN滿足關系式

(b1x0+2c1y0+e1)·kMN+2a1x0+d1+b1y0=0.

②

證明設M,N坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).由于點M,N在平面二次曲線①上,故有

將③式減去④式,并且整理可得

⑤

由于點M,N在直線MN上,故有

⑥

將⑥代入⑤并且整理,可得

⑦

由于M,N互異,故x1≠x2.

因此,將⑦式兩邊除以x1-x2并且整理,可得

⑧

2x0(a1+b1kMN)+2c1y0kMN+d1+b1m+e1kMN

=0.

⑨

由于點Q(x0,y0)在直線MN上,

故y0=kMNx0+m.

解得m=y0-kMNx0,代入⑨并整理,得

(b1x0+2c1y0+e1)·kMN+2a1x0+d1+b1y0=0.

4 定理1對于命題1～5的推導

現在我們利用定理1的結果推出命題2.而命題1以及命題3～5的情形可類似給出,有興趣的讀者可自行檢驗,在此我們不再詳細推導.

根據定理1,此時直線l的斜率kl滿足方程

5 平面一般二次曲線垂徑定理的應用

題目(2022年全國高中數學聯賽江西省預賽試題第2題)若一直線l被另外兩條直線l1:4x+y+6=0與l2:3x-5y-6=0所截得的線段的中點恰好是原點,則直線l的方程為____.

分析將直線l和直線l1的交點假設為(a,b),則根據條件可知點(-a,-b)在直線l2上.因此,有4a+b+6=0和-3a+5b-6=0.聯立這兩個方程可得a+6b=0,從而得出直線l方程為x+6y=0.考慮到相交的雙直線是平面二次曲線①的一種,且題意涉及弦的中點,因此可以考慮平面一般二次曲線的垂徑定理.

解析(雙直線垂徑定理法)將雙直線l1:4x+y+6=0與l2:3x-5y-6=0寫成平面二次曲線的形式,可得(4x+y+6)(3x-5y-6)=0,即

12x2-17xy-5y2-6x-36y-36=0,

評注上述例題需要我們知道平面上的兩條相交直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0可寫成二次曲線的形式:

(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0.

此外,與命題1～5的情形不同,上述例題的雙直線的中心并不在原點處.這體現了定理1在處理一般二次曲線的垂徑定理相關問題中所顯示出來的優勢.

6 結束語

總之,我們找到了橢圓、雙曲線以及拋物線的垂徑定理.其實,我們用高中數學常用的“點差法”證明了更加一般的結果,即定理1.該結果給出了圓、橢圓、雙曲線、拋物線甚至雙直線的垂徑定理的一種統一形式.此外,定理1對于直線斜率等于零,以及對于中心不在原點處的圓錐曲線亦成立,這導致了定理1的使用范圍更加廣泛.