例說解決排列組合問題的基本策略和常見模型

白亞軍

摘 要：排列組合歷來是學生學習中的難點.通過我們平時做的練習題，不難發現排列組合題的特點是條件隱晦、不易挖掘、題目多變、解法獨特、數字龐大、難以驗證.

關鍵詞：排列;組合;策略;模型

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0002-03

排列組合知識是高中數學必不可少的內容之一，對于思維能力的要求比較高，解題時一定要講究策略.本文將對高中階段排列組合問題的基本策略和常見模型進行全面總結.

1? 解決排列組合問題的基本策略

1.1 特優策略

例1 用0，1，2，3，4組成無重復數字的五位數，共有多少種排法？

解析 五位數意味著首位不能是0，所以先處理首位，共有4種選擇，而其余數位沒有要求，只需將剩下的元素全排列即可，所以排法總數為N=4×A44=96種［1］.

1.2 正難則反策略

例2 在10件產品中，有7件合格品，3件次品，從這10件產品中任意抽出3件，至少有一件次品的情況有多少種？

解析 如果從正面考慮，則“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情況，需要進行分類討論，但如果從對立面想，則只需用所有抽取情況減去全是正品的情況即可，所以N=C310-C37=85種.

1.3 先取再排策略

例3 從4名男生和3名女生中選3人，分別從事3項不同的工作，若這3人中只有一名女生，則選派方案有多少種？

解析 本題由于需要先確定人數的選取，再進行分配（排列），所以將方案分為兩步，第一步：確定選哪些學生，共有C24C13種可能，然后將選出的三個人進行排列為A33，所以共有C24C13A33=108種方案.

1.4合理分類與分步策略

例4 在一次演唱會上共10名演員，其中8人能唱歌，5人會跳舞，現要演出一個2人唱歌2人伴舞的節目，有多少種選派方法？

解析 10名演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞，3人為全能演員，以只會唱歌的5人是否選上唱歌人員為標準進行研究.只會唱歌的5人中沒有人選上唱歌人員共有C23C23 種，只會唱歌的5人中只有1人選上唱歌人員共有C15C13C24種，只會唱歌的5人中只有2人選上唱歌人員有C25C25種，由分類計數原理共有C23C23+C15C13C24+C25C25=199種.

1.5構造模型策略

例5 馬路上有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路燈，現要關掉其中3盞，但不能關掉相鄰的2盞或3盞，也不能關掉兩端的2盞，求滿足條件的關燈方法有多少種？

解析 把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有C35=10種.

2 排列組合問題的常見模型

2.1 相鄰問題（捆綁法）

例6 5個人排隊，其中甲乙相鄰，共有多少種不同的排法？

解析 考慮第一步將甲乙視為一個整體，與其余3個元素排列，則共有A44種位置，第二步考慮甲乙自身順序，有A22種位置，所以排法的總數為N=A44A22=48種.

評注 當題目中有“相鄰元素”時，則可將相鄰元素視為一個整體，與其他元素進行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可.

2.2 不相鄰問題（插空法）

例7 有6名同學排隊，其中甲乙不相鄰，則共有多少種不同的排法？

解析 考慮剩下四名同學“搭臺”，甲乙不相鄰，則需要從5個空中選擇2個插入進去，即有C25種選擇，然后四名同學排序，甲乙排序.

所以N=C25A44A22=480種.

評注 當題目中有“不相鄰元素”時，則可考慮用剩余元素“搭臺”，不相鄰元素進行“插空”，然后再進行各自的排序，注意兩點：（1）要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊；（2）要從題目中判斷是否需要各自排序.

2.3 涂色問題（種植問題）

例8 如圖1所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則有多少種染色方法？

解析 A，C不相鄰，按照A，C是否同色分類，按照A→C→S→B→D的順序進行染色：第一類，A，C相同顏色，則有5×1×4×3×3＝180種不同的染色方法，第二類，A，C不同顏色，則有5×4×3×2×2＝240種不同的染色方法，根據分類加法計數原理，共有180＋240＝420種不同的染色方法.

評注 涂色的規則是“相鄰區域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可以找出不相鄰區域，按它們相同顏色和不同顏色進行討論.

2.4 錯位排列

例9 安排6個班的班主任監考這六個班，則其中恰好有兩個班主任監考自己班的安排總數有多少種？

解析 第一步先確定哪兩個班班主任監考自己班，共有C26種選法，然后剩下4個班主任均不監考自己班，則為4個元素的錯位排列，共9種，所以安排總數為N=C26·9=135.

評注 排列好的n個元素，經過一次再排序后，每個元素都不在原先的位置上，則稱為這n個元素的一個錯位排列.例如對于a，b，c，d，則d，c，a，b是其中一個錯位排列，3個元素的錯排有2種，4個元素的錯排有9種，5個元素的錯排有44種，以上三種情況可作為結論記住.

2.5 特定順序排列

例10 已知A，B，C，D，E，F6個人排隊，其中A，B，C相對位置不變，則不同的排法有多少種？

2.6 多排問題直排處理

例11 在一次講座活動中，前后排分別有11，12個座位，需空出前排中間的3個座位，現安排兩名學生分開就座（即彼此不相鄰），有多少種不同的排法？

解析 依題意去掉不可坐的3個座位后實際可坐的座位共有20個，兩名同學就座有A220種坐法，其中包含了兩人相鄰的情況；再將這20個座位排成一排（前后排兩端相接），將任意兩個座位視為一個整體，則兩人相鄰的坐法有A119A22種，需從中減去；而這其中又包括了實際不相鄰的兩種情況（前后排兩端相鄰，與前排3個空位左右兩側的相鄰），還應加上2A22.因此，不同的排法總數為A220-A119A22+2A22=346種.

評注 多排元素排列問題通常可簡化為一排考慮，然后分段進行研究.但在其中需要注意的是，多排轉化為一排后會存在實際不相鄰的情況（如前后排的首尾是不相鄰的，將其拉成一排則首尾相連），因此在解決此類問題時，需仔細觀察實際情況.

2.7 不同元素分組

例12 將編號為A，B，C，D，E，F的6個小球，放入3個不同的盒子，每個盒子至少放一個小球，則不同的放法有多少種？

解析 第一步：先將6個小球分成3組，有每組2個球和1個球+2個球+3個球的兩類方式分組，

評注 將n個不同元素放入m個不同的盒中（n≥m），先將n個元素分為m組，再將m組放入m個盒子中，注意平均分組的重復情況要減掉，分組中有k組元素個數相同就用總分組數量除以Akk.

2.8相同元素分組

例13 將6個相同的小球放入到4個不同的盒子里，每個盒子至少放1個球，則不同的放法有多少種？

解析 6個小球去掉首尾有5個空檔，選擇3個位置放“擱板”將小球分為4組，共有C35=10種可能.

評注 將n個相同元素放入m個不同的盒內，且每盒不空，則不同的方法共有Cm-1n-1種，解決此類問題常用的方法是“擱板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數，則可將這n個元素排成一列，去掉首尾空隙，還有（n-1）個空，使用（m-1）個“擱板”進入空檔處，則可將這n個元素劃分為m個區域，剛好對應那m個盒子.

3 結束語

只有熟練掌握基本的解題策略，根據它們的條件，我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復雜的問題，我們可以將幾種策略結合起來應用，把復雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續學習打下堅實的基礎.

參考文獻：

［1］錢美蘭.解決排列組合問題的幾個基本原則[J].高中數學教與學，2014（12）：46-47.