數學問題教學的內涵特征及實踐路徑

劉師妤 周龍虎

【摘 要】以問題解決為根本手段的數學問題教學一直都是數學教育的核心。本文通過對數學問題教學所蘊含的以情境生發問題、以互動促進問題提出、以反思貫穿問題解決等過程的內涵特征的透析，突顯問題教學獨特的育人特色。數學問題教學的實施有助于提高學生的抽象與概括能力，增強學生的創新意識和創新能力，提升思維品質。在遵循學生的認知發展規律的前提下，數學問題教學應遵從“發現問題—建構問題—解決問題—反思問題”的實施邏輯，為學生的數學思維發展奠基。

【關鍵詞】數學問題教學；內涵；價值；實踐；反思

一、引言

加涅認為，學習發展是一種循序漸進的過程。學習應處于有序（知識發展邏輯有序、學生認知發展有序）且螺旋上升（知識學習的每一階段都是促進理解的過程）的進程中。作為知識掌握的重要階段之一，知識運用不僅能檢驗知識的理解與鞏固水平，還能促進對原有問題的理解及新問題的發現。運用知識的過程一般要通過審題（建立問題的初步表征形式，包括問題的目的與要求、已知與未知的關系）、聯想（確定解決問題所需的知識）、解析（尋找解決問題的具體思路與辦法）及類化（概括當前問題與原有知識的共性、本質特征，以建構新知識結構）等四個環節來完成。知識運用過程即發現問題、分析與解決問題、理解并反思問題的問題研究全過程，因此本文聚焦數學問題教學的內涵與實踐路徑，以期通過問題教學發展學生的數學思維。

二、數學問題教學的內涵透析

數學問題教學，顧名思義，是圍繞數學問題而展開的教學。蘇格拉底使用問答的形式進行教學，強調師生雙方共同探討，尋求問題的正確答案，這可視作問題教學的起源。當下，問題導向下的問題鏈教學已成為各學科教學的重要方法之一。問題解決過程中，通過描述思維過程的心理學行為并總結規律，以發展學生的智力和能力，與馬赫穆托夫所提出的問題式教學理論是高度契合的。馬赫穆托夫認為教學的關鍵在于創設合適的問題情境，以達到對教學過程的有效控制；問題的提出要經歷分析問題情境、“看出”問題的本質、用語言概述問題等三個循序漸進的階段；問題的解決由若干環節構成，即擬訂問題的解決計劃，提出推測并論證假想，證明假想，檢驗問題的解決結果，重溫和分析解決過程。

（一）以問題為中心：由情境生發

以問題為中心的教學模式將問題界定為一種教學設計與實施的情境，它聚焦的問題具備四項特質［1］：能統攝學科知識，貫穿學習全程；能促進能力形成，培養學習方法；能順應學生身心發展特點，激發學習興趣；能培養意志品質，形成質疑精神。蘇霍姆林斯基認為，脫離情境的問題是難以產生情緒高昂和智力振奮的內心狀態的。情境，尤其是含有真實事件或真實問題的情境，能有效影響個體的行為方式，影響他們的情感認知傾向，對于個體自主進行知識內涵理解及意義建構有特定的作用。《普通高中數學課程標準（2017年版）》著重指出，情境創設和問題設計要有利于發展數學學科核心素養。在教學活動中，教師應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境（如現實情境、數學情境、科學情境等），讓問題能多樣化、多層次地生發出來。問題情境要作為問題教學的邏輯起點，教師創設問題情境的根本目的在于以情境為載體連接學生的認知經驗與外部經驗，以問題為線索貫穿學生探究與思考的全過程。情境作為知識意義建構、情感積極體驗的教學場，實為知識學習的明線，亦是課堂演進邏輯的暗線。因為師生共同親歷融入情境、轉譯情境、走出情境及反思情境的情境化步驟，認知能在無形中得到豐富和超越。

數學教學的根本旨趣在于發展學生的數學思維。問題情境既外顯為可遷移的學習條件，又內蘊問題的可探究性，具備發展學生思維的特質。教師從衍生性主題的設計、數學內容本質的把握、數學關系的轉化以及問題結構的明確等方面去創設情境，有助于彰顯問題情境對學生思維發展的教學意義［2］。

（二）以問題提出為核心：因互動所致

問題提出一度被視為是比解決問題更具有創新價值的研究行為，問題的提出尤其是數學問題的提出更加強調數學學科的獨特屬性：問題的產生一定是基于真實的疑惑，具備客觀性；有價值的問題不僅能揭示知識的發生發展規律，而且能為進一步的研究指明方向或做出預測；問題提出著眼的不是單一的知識情境，涉及的數學對象較多，因而具備廣泛性和聯結性。

問題提出作為問題學習的一種追求，它并非總能達成，因而問題提出的另一價值便是伴隨這一過程的有效的數學交流。有效的數學交流依賴于獨到的數學眼光、縝密的數學思維以及精準的數學語言。問題提出中構建數學交流的一般模式可分為三個階段：（1）輸入階段。表征問題情境中元素和元素間的關系，以理解問題情境。（2）過程階段。確定新問題中元素與元素間的關系，以建構新問題的心理結構。（3）輸出階段。表征新問題中元素與元素間的關系，以表達新問題［3］。因而，數學問題的提出可視作是問題提出者對已有問題進行加工、編碼所得新問題的過程，是與問題情境或學習同伴互動的產物。

師生間、生生間、生本間的互動是指多感官、全方位、全過程的參與，是促使師生自覺主動發展的有效路徑。有意義的問題能激發互動，互動反過來又深化了對問題本質的探尋，故問題提出機制的精髓在于“問題互動化”。教學實踐也表明，學習動機的激發源于對問題的質疑，強烈的探究欲望始于問題的提出。

（三）以問題解決為旨趣：將反思貫穿

問題提出后便直接指向問題解決過程。數學問題解決是以思考為內涵，以問題目標為走向的心理活動過程，其實質是運用已有的知識去探索新情境中的問題結果，使問題由初始狀態達到目標狀態的一種活動過程［4］。縱觀學界對問題解決過程的研究，較為經典的主要有三種模型：杜威的“五步問題解決過程”，即呈現問題、定義問題、形成假設、測驗假設、選擇最佳的假設；波利亞的“怎樣解題表”模型，即弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧解題的全過程；匈菲爾德的數學解題模式，強調數學解題的研究方向需要考慮知識基礎、解題策略、自我控制、信念系統等四個因素。具體到數學領域的問題解決，除以上基本流程外，對問題解決的后續部分和反思環節也體現出了強烈的關注。數學問題得到解決后，一般要進行問題的推廣和引申，方能在“成堆成長的蘑菇周圍找到更多的蘑菇”，這是波利亞生動闡述的數學問題間的緊密聯系性。弗賴登塔爾認為，反思是數學思維活動的核心和動力。反思是促使思維走向完備、有序的必要環節，反思的過程不僅能提升問題意識，同樣也是問題解決的過程。

數學問題教學實質上是一種有強烈問題意識、問題導向思維的科學探究方式，主要包括兩個方面：（1）強烈的問題意識不僅要求對問題解決過程應有堅持不懈的探索精神，還應通過觀察、對比、分析等一系列推理形式洞察問題的生長點并抽象出合適的數學問題，即問題意識支持并維持從問題提出到問題解決的全過程。（2）從發現問題、提出問題、分析問題到解決問題、反思問題的全過程可以映射出數學思維有序推進的過程，問題既是有效的思維訓練載體，又是重要的思維工具或方式。毫無疑問，數學問題教學的各個階段都應看作是從問題生發到問題解決，從問題意識到科學研究意識的認知進階過程。

三、數學問題教學的實踐路徑

“問題引領學習”道出了問題教學的真諦，數學問題教學的價值伴隨著問題的提出、分析與解決的整個過程，學習真正發生并達成目標，具體體現在三個方面：（1）有助于提高學生的抽象與概括能力。問題蘊含在問題情境中，需要借助抽象才能剝離出來，因而問題情境是促進學生在情境中將默會知識外顯化的重要途徑［5］。（2）有助于增強學生的創新意識和創新能力。能否提出問題尤其是提出高質量的問題直接制約著問題教學的價值上限。只有對數學本原性問題有了理性的判斷后，有一般的觀念來引領，有一定的數學思想作為指導，有一定的思維策略作為支撐，才能提出有含金量的問題［6］。問題作為教學過程中的主題，應聚焦復雜的、有意義的問題情境的創設，并導向獨立探索或合作式的問題解決過程［7］，能有效地組織教師、學生等一系列教學要素有機、融洽地交互。（3）有助于提升學生的思維品質。以發現問題、建構問題、解決問題、反思問題為邏輯主線的問題化學習能提升學生的思維敏捷性、深刻性、靈活性、批判性和獨創性等優良思維品質，有助于形成分析與綜合、抽象與概括、比較與分類等科學基本思維方式。基于此，問題教學應滿足不同層次學生的發展需求，能激發學生的質疑、聯想能力，引導學生持續、多視角地理解問題和重構知識關聯，從而讓核心素養真正落地，彰顯問題教學的診斷價值。

（一）發現問題

問題，作為問題教學的基點，直接決定著問題教學的有效性。問題的源頭一般分為四種：教學中的重點、難點和關鍵點；知識的銜接點；學生學習中的疑點和盲點；教師預設的補償點。

教學中的重點、難點、關鍵點是共性的問題，是知識內在屬性的外在表現。如對函數概念的理解就是難點問題，因為學生的思維水平（尤其是抽象思維）還不夠成熟，還不能突破由結構分析（函數的“三要素”）到本質揭示（特殊的對應關系）的困境，所以需要格外關注概念的深化過程。

知識的銜接點同樣也是問題教學的基點，相較而言，它更為隱蔽，需要做深刻的教材內容分析。如“導數及其應用”是體現知識應用性較廣的一個重要內容，主要包含導數知識在函數問題中的應用，囿于中學生認知水平等因素，函數極限的基本概念已從新課標教材中剔去，旨在不增加學生的理解難度，但極限思想是問題解決過程中不可或缺的一種重要數學思想，因此自然要進一步追問這些有著極限背景的高等數學知識的基本可教性和可學性。

在數學邏輯和認知邏輯的演進過程中，學習中的疑點和盲點不可避免。教師可以主動傾聽和觀察，提出引導性問題幫助學生發現問題所在，也可以創設問題情境或設計開放性問題促使學生聚焦疑點和盲點。如“二次曲線聯立后為什么會出現增根？”“點差法為什么不適用于雙曲線中的中點弦問題？”等。

補償性教學立足于學生已掌握的知識與教學目標的差異，旨在通過對典型問題的糾偏與強化，在問題解決的過程中加深理解和提高數學思維能力。以聯系的視角審視補償點，可以豐富學習內容，擴充學習領域。以對話與合作的方式實施補償過程，利于破解疑難，養成樂于探究的科學品質。在正常教學活動中，補償教學以上述問題生發源頭作為出發點，也極易走向另一個極端，即完全的教師經驗主義。在學生沒有出現教師預設的錯誤前，教師的提前預警或干擾會剝奪學生犯錯的權利，也相應地關閉了他們通向真知的理解之門。因此，教師應基于實況調查（或借用大數據統計手段）開展以釋疑解惑、糾偏糾錯為主的鞏固性、補償性教學，促進數學深度理解。

值得一提的是，有目的地創設結構不良的問題或開放性的問題更能激發學生的探知欲，幫助學生多角度把握問題本質，追尋知識背后的價值，形成跨學科綜合解決問題的關鍵能力。［8］

（二）建構問題

確定問題主題后，便要圍繞其建構教學的策略。教學應把握問題的層次性和系統性，即注重從具體問題到一般性問題的遷移，利用結構化的視角剖析問題的內涵特征。我們首先要明確教學總目標，即培養學生的“三會”數學核心素養和運用數學的自覺意識。

在數學學習中，每個人都應得到不同程度的發展，因而首先要分析學生的內在需求及發展路徑。波利亞說過，學習任何知識的最佳途徑是由自己發現的。因為自己發現的學習途徑往往能理解得最深，也最容易掌握知識的內在規律、性質和聯系。因此，教師應盡可能少告知學生知識，多創設情境激發學生探索未知知識的欲望。實踐表明，學生自主、深刻的思考與探索是形成科學有效的思維方式的重要途徑。思維方式決定發展上限，學生的文化知識學習中，對于知識的認知是最重要的思維方式。知識是通過建構的方式深入化和擴大化的，因而正確的知識觀在本質上蘊含著在學習方式上對研究性學習的必然選擇。隨著知識細節的不斷補充，加工知識的方式和手段趨于完備化、模式化，最終奠定思維方式的雛形，發展便成為可能。

其次，育人的具體表達便是課程的制訂與實施。依托課程標準導學、導教是培養學科視野、學科典型思想方法的重要舉措，這屬于分析問題的第二層次。課程理念是教學理念的先導，課程理念要經由課程設計轉化為課程實踐，我們在課程標準里可以找到充分的理據和可行的建議。具體地，要實現教、學、評一致性，就應把握好課程標準這一中軸基準。如《普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）》在“一元函數導數及其應用”的教學提示部分指出，“學生對導數概念的理解不可能一步到位，導數概念的學習應該貫穿在一元函數導數及其應用學習的始終”［9］，并在學業要求部分提出要求：能夠通過具體情境，直觀理解導數概念，感悟極限思想，知道極限思想是人類深刻認識和表達現實世界必備的思維品質。因而對蘊含極限思想的高等數學知識的初等化處理和近似詮釋就顯得合理且必要。

最后才是教，教的復雜性遠甚于學。教師對課程標準、教材的理解作為教的開端，后續知識的處理、教法的選用等都影響著教的效果，故而要確定教學的側重。知識的發生過程是知識介入認知結構的“第一印象”，也應是教學的側重。囿于學生認知水平與知識的難度、深度的差異，發現式學習也并非適用于任何數學內容的學習，那么教學的側重便轉移到了“教如何理解”上。理解是通過對事物的觀察分析，將有關聯的事物相互聯系，通過自我消化、整合，形成新認識的心理過程。理解是指能夠在給定的資訊以外有所超越，并且能夠創造性地去運用自己的知識。理解可以表現為不同的程度，對于任何問題，在思考、討論及將理論用于實踐的過程中，伴隨著疑問和回答，理解程度將不斷深入。有學者對理解進行了層次化劃分，將理解劃分為工具性理解、關系性理解、創新性理解［10］。因而用復雜觀念或高觀念對知識進行深入淺出的介紹與點評，利用多元方法促進學生理解是打造理解性課堂的關鍵。

（三）解決問題

解決問題要講究方式方法，步驟組成或階段分析尤為關鍵。解決數學問題的認知過程包含問題表征、模式識別、解題遷移和解題監控四個步驟。［11］問題表征形式決定了問題所屬領域及思考的大致范疇，模式識別是對已有相關經驗的調用與確認，解題遷移是對經驗的匹配、認知過程的加工以及相應解題方案的踐行，解題監控則是對問題解決整個過程的回顧與反思。同樣地，按“研究問題—研究對象—研究工具”［12］的程式尋求問題的解決策略，不僅可操性強，而且能加深教師對教育研究方法以及數學本身的理解。具體而言，可對照波利亞的“怎樣解題表”實踐解決問題的全過程。

在此，本文呈現一個經典問題的解決過程。

例 春運期間，各車站通過增加售票窗口、檢票窗口、班次等方式來減少旅客的滯留量。旅客在車站排隊購票，并且排隊的旅客可視為均勻增加。若只開設1個售票窗口，需要40分鐘將等待購票的旅客的車票全部售出（假設每名排隊旅客只能購買1張所需車票）；若只開設2個售票窗口，只需15分鐘將等待購票的旅客的車票全部售出。現有一班增開客車進站運送旅客，因時間緊張，所有排隊購票的旅客必須在5分鐘內全部購票上車（假設等待購票的旅客都乘坐該車，并且購票后立即上車），問此時車站最少要同時開放幾個售票窗口？［13］

鑒于本題的變量關系具有一定的隱蔽性，故搜集信息、加工信息是解決本題過程中的一大難點。相較于以自主發現問題解決策略為特質的“問題本位”模式，以問題驅動為活動中心的“問題引領”式更能提升學生的問題研究意識和能力［14］。因此，在學生先行審題的基礎上，教師搭設必要的腳手架，提出三個輔助性問題供學生思考：

（1）本題要解決的問題是什么？

（2）問題如何用文字語言表述？

（3）文字語言中的量如何用數學符號語言表示？用表格呈現出來。

（四）反思問題

反思問題應是問題研究中最重要的一個環節。反思是促使知識類化、知識結構重建的實踐活動，教師的專業發展及學生的認知能力的提升都離不開反思。

1.回歸知識教學的根本目的

問題教學是借由對問題的探索以實現知識教學的根本目的，即發展并完善認知方式，實現自我全面發展。如數學思想方法的學習，意義在于促成學習者將正確方法的盲目、不自覺的應用向有意識、自覺的應用轉化。某一種思想方法的領會與掌握，僅靠幾節課的教學往往不能奏效，要靠教師長期有意識、有目的地啟發誘導，還要靠學生不斷體會、挖掘、領悟、深化。通俗地講，數學思想方法的下沉不能是直接貫穿，而應是滲透。如何滲透？教師可對同一主題下的不同內容進行練習與強化，也可把任務投入更具針對性的作業訓練中去。概言之，滲透的過程是思維借由訓練得以進階的過程。加強思維訓練，要遵循以下三個基本原則。

第一，序進原則。思維的嚴謹性和邏輯性在于思維層次一定是由低到高依次發展的。最熟悉的事物、最簡單的變化是思維的開端，高等數學知識是研究受阻、方法亟待優化等前提下相機而生的，其背后的數學思想方法的學習也要經歷潛意識階段、明朗化階段、深刻化階段等不同階段。如函數極限的學習中，學習者先是對函數極限有“朦朦朧朧”的感覺，接著能利用恰當的方式對它進行概括總結，最后能運用它解決問題，乃至形成方法。

第二，多思維協作原則。思維的復雜性在于思維的動態變化及各種思維的交織。一般的數學思維方法有分析、綜合、比較、抽象、概括、聯想、想象、類比、猜想等，在進行有意識的思維訓練時，它們往往是共同協作與轉換的，因而以不同視角審視研究對象的內涵與外延是很有必要的。

第三，不斷變換問題原則。實踐表明，不斷變換問題能保持問題間的自然關聯性，利于知識的加工、拓展與整合。此外，隨著問題的不斷演變，方法與思想會一次次接受檢驗或矯正，高階思維也更易形成。

歸根結底，學生數學思維水平的提高要靠教師的數學教學視野來造就。教師要正確看待數學教學中過程與結論的辯證關系：不經歷思想概括的過程，結論難以牢固；不預想可能的結論，過程也多是盲目不定。

2.學會方法的演進、規律的總結

數學方法論作為數學教育界的一個重要內容，在其他學科和領域都有廣泛的應用。張奠宙先生認為，應當將所有的數學方法做一個總體的分析，將它們分為不同的層次，判定為不同類別，以便有一個系統的認識。［15］他將數學方法概括為四個層次：基本的重大的數學思想方法（概率中的偶然與必然，計算中的精算與估計等），各門學科共同使用的思想方法（如觀察實驗、分析綜合、歸納演繹、類比聯想等），數學特有的思想方法［如公理化方法、極限方法、近似方法（牛頓插值、泰勒展開等）］，中學數學解題方法（適度形式化、簡單化、等價變換等）。由高到低的層次劃分為學生在數學方法學習中的層次躍遷提供了可借鑒的參考，使學生能清楚了解自己掌握與理解的層次。但從學生數學學習的層面看，學生眼中的數學方法實際上更傾向于運用邏輯方法與數學直覺所得到的后兩種層次，此種數學方法觀顯然與數學思想方法的真諦、數學的本質相差甚遠。因此教師要以學生的心理邏輯取向為出發點，結合教材中知識的邏輯取向，對數學知識結構進行重組或改造，試圖找到舊經驗與新經驗（這里尤指舊方法與新方法）的對接點，精心設計具有一定挑戰性的問題，在知識運用中引導學生重新理解舊方法，為新方法的萌生創造條件，并使數學方法由低層次順利躍遷到高層次。

方法源自對經驗的加工與重組，這里的經驗指的是具有連續性和交互性的經驗，具體體現在過去經驗對之后經驗的性質產生影響，且個人經驗與教材、教師經驗相互協調適應。章建躍［16］認為，經驗之中有規律，學生要養成從經驗中發現規律的能力，有兩點很重要：第一，要養成“從一般規律的高度考察具體事例”的意識，逐步培養學生透過現象看本質的能力；第二，要掌握觀察事例，從經驗中歸納規律，把具體事例中得到的東西概括到全體中去的基本方法的能力。

四、結語

綜上可知，知識學習的每一階段都是完整的問題研究過程，教師應牢固掌握研究問題的一般思路及方法，增強問題意識，堅持問題導向，以問題作為理解數學對象和評價教學對象的重要介質，真正為問題教學積累實踐素材并提供理論依據。

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（責任編輯：潘安）