“距離”概念的一致性及其教學和應用*

葛 艷 (江蘇省揚州市邗江區公道中學 225119)

石樹偉 (江蘇省揚州市廣陵區教師發展中心 225006)

為落實數學學科核心素養,《普通高中數學課程標準(2017年版)》《義務教育數學課程標準(2022年版)》均提出了課程內容結構化的課程理念．內容結構化具有整體性、一致性、階段性特征,其中整體性、階段性是外在表現、應有之義,一致性是指組成結構的內容之間學科本質、核心概念的一致,它才是零散內容建立關聯、形成結構的內在靈魂和根本維系．內容的一致性,有助于學生理解具體學習內容的學科本質,深刻理解和掌握學習內容,并在此基礎上實現知識與方法的遷移,促進學生核心素養的形成．幾何是研究點、線、面、體等圖形的形狀、大小及位置關系等空間形式的一門重要數學分支,研究位置關系回避不了距離這個概念．初中階段對點到點、點到直線及平行線間的線到線的距離給出了定義;高中階段對點到點、點到直線、線到線、點到面的距離進行了進一步研究．這些“距離”概念雖然研究的圖形對象不同,但通過對比分析發現它們具有較強的一致性.現將距離概念的一致性及其教學和應用分析如下．

1 “距離”概念的一致性

1.1 教材中“距離”概念的呈現

初中和高中階段點到點、點到直線、點到平面及平行線間的線到線的距離概念,在各種版本教材中的呈現方式大同小異．點到點的距離即兩點之間的距離,初中教材一般先通過“兩地之間走哪條路最近”的討論,揭示兩點之間線段最短這一基本事實,然后呈現定義:兩點之間線段的長度叫作這兩點之間的距離．

對于點到直線的距離,初中教材一般先通過“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中哪一條最短”的操作討論,揭示直線外一點與直線上各點連接的所有線段中垂線段最短這一基本事實,然后呈現定義:直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫作點到直線的距離．

平行線間的線到線的距離即兩條平行線之間的距離,初中教材一般先通過“兩條平行線中,一條直線上的任意兩點到另一條直線的垂線段是否相等”的操作討論,揭示兩條平行線中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離都相等這一結論,然后呈現定義:兩條平行線中,一條直線上的任意一點到另一條直線的距離叫作兩條平行線之間的距離．

對于點到平面的距離,高中教材一般先通過“過一點有幾條直線與已知平面垂直”的操作討論,揭示過一點有且只有一條直線與已知平面垂直這一結論,然后呈現定義:從平面外一點引平面的垂線,這個點和垂足間的距離叫作這個點到這個平面的距離．

1.2 教材“距離”概念的一致性分析

從上述教材對距離概念的一系列闡述可以看出以下兩點:首先,所有“距離”最后都歸結為兩點之間的距離,而連接兩點的線段是連接兩點的所有“線”中最短的;其次,直線與平面都是由無數點構成的集合,點到直線(或平面)的距離是直線(或平面)外一點到這條直線(或平面)的垂線段長度,其本質是點與直線(或平面)上任意一點的連線段長度的最小值．兩條平行直線中,一條直線上的任意一點到另外一條直線的距離不變,因此兩條平行線之間的距離可化歸為點到直線的距離,其本質是分別位于兩條平行直線上的任意兩點之間距離的最小值．

通過以上分析可以發現,上述距離概念的一致性主要體現在“最短”上面,正是距離的“最短”特性決定了距離的“唯一確定性”．

2 “距離”概念一致性的教學

2.1 教材內“距離”概念的教學

教材內距離概念的教學要讓學生感悟一致性,首先要強調距離與最短的聯系．在呈現定義后還應讓學生認識到:兩點之間的距離其實就是兩點之間所有連線中最短的連線——線段的長度;點到直線的距離其實就是點與直線上各點連接的所有線段中最短的線段——垂線段的長度;兩條平行線之間的距離其實就是一條直線上的任意一點到另一條直線的最短距離;點到平面的距離其實就是點與平面上各點連接的所有線段中最短的線段——垂線段的長度．這樣,這些距離才是唯一確定的,才可以從定性走向定量．

其次要加強這些距離概念的前后對比聯系,在聯系中感悟并發現一致性．例如,教學點到平面的距離時,應引導學生回顧點到點、點到直線的距離,思考它們的區別與聯系．

2.2 教材外“距離”概念的探究

課程內容的一致性可以促進課堂教學的改革,實現“用少量主題的深度覆蓋去替換學科領域中對所有主題的表面覆蓋,這些少量主題使得學科中的關鍵概念得以理解”[1]．之所以能夠實現以少量主題的深度覆蓋替換所有主題的表面覆蓋,就是因為這些內容的學科本質、核心概念具有一致性,從而可實現知識與方法的遷移．因此,距離概念的教學首先要對教材內的距離概念深度覆蓋和理解,領會知識本質和研究方法,在此基礎上提供探究學習的素材和機會,引導學生運用距離概念的一致性本質和研究方法探究更多類型、更為復雜的圖形之間的距離,如點到曲線的距離、點到曲面的距離、點到幾何體的距離,同一平面內兩條不相交的曲線之間的距離、兩個多邊形之間的距離,空間中兩個平行平面之間的距離、兩個曲面之間的距離、兩個幾何體之間的距離,等等．

3 “距離”概念一致性的應用

這里所說的應用主要指距離概念的一致性在解決問題方面的應用.下面通過幾個例子來說明．

3.1 從點到直線距離的多種解法中發現通法

例1已知點P(2,1),直線l:2x-y+1=0,求點P到直線l的距離．

例1是求點到直線的距離(點P到直線y=2x+1的距離),思路很多．

思路1 如圖1,可以先求出垂線段(PH)所在直線的解析式,進而求得垂足(H)的坐標及線段PH的長度(點到直線的距離)．

圖1

思路4 由距離概念的一致性可知,PH的長為點P與直線y=2x+1上任意一點的連線段長度的最小值,所以可以構造點P與直線y= 2x+1上任意一點M(m,2m+1)的連線段PM的長度與點M的橫坐標m之間的函數關系,進而利用函數最值求出PH的長．

思路評析思路1利用“互相垂直的兩直線斜率乘積為-1”的結論求垂線段所在直線的解析式;思路2利用直角三角形的等面積法和勾股定理;思路3利用直線的法向量.這三種思路都可行但僅限于解決點到直線的距離問題,而無法解決與曲線相關的問題．思路4構造點與線(直線)上任意一點的連線段的長度與該線上任意點的坐標之間的函數關系,利用函數最值求出點到線(直線)的距離,這一思路回歸到距離概念的一致性本質——最短．無論是求點到直線的距離還是求點到曲線的距離,思路4的方法都適用．

比較例1中點到直線距離的多種解法,可以發現一個解決點到線、線到線(含曲線)距離問題的通法——轉化為函數最值問題．距離概念的一致性主要體現在“最短”上面,即兩圖形之間的距離是分別位于兩圖形上的任意兩點之間連線長度的最小值.所以從函數角度看,距離問題就是最值問題,可以通過建立函數求解距離問題．

3.2 通法的應用舉例

例2(2022·揚州)如圖4是一塊鐵皮余料,將其放置在平面直角坐標系中,底部邊緣AB在x軸上,且AB=8 dm,外輪廓線是拋物線的一部分,對稱軸為y軸,高度OC= 8 dm．現計劃將此余料進行切割．

圖4

(1)若切割成正方形,要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大,求此正方形的面積;

(2)若切割成矩形,要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大,求此矩形的周長;

(3)若切割成圓,判斷能否切得半徑為3 dm的圓,并請說明理由．

思路評析第(3)題的關鍵是求出圓心到拋物線的距離,然后通過比較圓心到拋物線的距離與半徑的大小判斷拋物線與圓的位置關系,這是直線與圓的位置關系研究方法的遷移應用．這里圓心到拋物線的距離屬于點到曲線的距離,是上述通法的直接應用．

例2第(3)題是直接求點到拋物線的距離,其實第(3)題可變式為求與拋物線相切的圓的半徑:

變式 若切割成圓,要求面積最大,求此圓的面積．

圖5

例2中圓心到拋物線的距離、變式中圓與拋物線相切時過切點的半徑,兩者都是圓心與拋物線上任意一點的連線段長度的最小值,因此應用通法可以求出這些長度．

3.3 通法的教學價值

求點到線、線到線(含曲線)距離的通法,其教學價值主要體現在兩個方面:一方面,有利于學生進一步深刻體會距離概念的一致性本質——最短,即兩圖形之間的距離是分別位于兩圖形上的任意兩點之間連線長度的最小值,而且是在應用中體會理解;另一方面,有利于培養學生的函數建模意識和能力．從最小值聯想到函數,構造點與線上任意一點的連線段的長度與該任意點的坐標之間的函數關系,利用函數最值求出點到線的距離或過切點的半徑,這里的函數構造不是通過小題鋪墊給學生下指令,而是需要學生自主發現現實情境中存在函數依賴關系,從而自主構造函數,自覺應用函數知識解決問題．這里要特別強調函數建模的自主自覺,因為學生未來遇到真正的實際問題時,不會再有人告訴他“這個問題里面有函數關系”,或有人替他分解成幾個小問題,讓他構造函數．函數建模首先需要有建模的意識,然后才能用到函數建模的能力．強調自主自覺才能真正培養和發展學生的數學建模素養[2]．