“思政+實驗”下全概率公式、貝葉斯公式的教學探索

畢學慧 劉華明 王秀友 范國婷 李懷敏

摘要：在傳統的概率統計教學中，受多種因素的影響，一般只注重專業理論知識的傳授，往往忽視了思政元素的融入以及動手能力、創新能力等多種能力的提高。以概率統計中兩個重要的公式——全概率公式和貝葉斯公式為例，探討了如何在概率統計中充分挖掘思政元素并合理開展實驗教學，以實現專業知識傳授與思政教育的同向同行，理論知識傳授與實踐教育的相輔相成，真正地開展立德樹人工作，培育出符合社會需求的高素質人才。

關鍵詞：全概率公式；貝葉斯公式；課程思政；實驗教學

中圖分類號：O211? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2024）07-0127-04

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）

0 引言

世界正在發生著巨大的變化，教育也必須進行大變革。課程思政在高校人才培養中起著關鍵作用，因此，在高校教育改革中，應在提出專業教學目標的同時，明確提出德育教學目標，引導學生將所學到的知識和技能轉化為內在德性和素養，潛移默化地為培養學生具有良好品行、良好素養而服務[1]。隨著大數據時代的來臨，當代大學生僅僅掌握課本理論知識，已遠遠不能滿足社會需求，社會更需要應用、創新等能力較強的高素質人才，在數學等基礎學科的教學中，實驗教學的引入勢在必行。

在傳統的概率統計教學中，主要以傳授理論知識為主，較少涉及價值引領、立德樹人和應用創新能力培養等問題。如何在專業知識的海洋中挖掘到豐富的文化內涵，實現專業知識傳授與思政教育同向同行，理論教學和實驗教學交叉融合，是當前迫切需要研究并解決的問題。全概率公式和貝葉斯公式是概率統計課程中非常重要的公式，兩者聯系密切，本文以它們為例，主要探討如何進行“思政+實驗”教學，為社會培養具有正確三觀的高素質人才。

1 全概率公式教學

全概率公式是條件概率的延伸和拓展，是計算復雜事件發生概率的一種有效方法，在經濟、保險、生物、醫療等眾多領域有著廣泛的應用。

全概率公式[2]設試驗[E]的樣本空間為[S]，[A]為[E]的事件，[B1，B2，...，Bn]為[S]的一個劃分，且[P（Bi）>0]（[i=1，2，...，n]） ，則：

[P（A）=P（AB1）P（B1）+P（AB2）P（B2）+...+P（ABn）P（Bn）]

1.1 基本思想——化整為零，逐個擊破

全概率公式的主要用途是求復雜事件發生的概率，基本思想是將復雜事件[A]化為一個個簡單的事件，如圖1所示。因為這些小事件兩兩互斥，所以[A]發生的概率等于這些小事件發生的概率之和，這樣就將一個復雜事件的概率計算問題轉化為一些簡單事件的概率計算問題。

啟示1：在日常生活和學習中，經常會面臨很多難題，當大家遇到困難時不要害怕和退縮，要勇于面對問題，學會將難題轉化為一個一個小問題，再逐個擊破，最終問題就會迎刃而解。

1.2 整體論——全面分析，拒絕片面

在全概率公式中，可以將[B1，B2，...，Bn]理解為導致[A]產生的一系列原因，再對構成整體的這些原因一一查找，全面考查，最后利用概率的有限可加性即可求出概率。用概率樹圖展示這種關系，如圖2所示。

啟示2：在實際中，要學會從全局分析問題，不要將問題片面化，才能將問題看透徹，很好地解決問題。

1.3 解決專業問題——理論和實踐相結合

學數學的目的是應用數學知識解決專業和實際中的一些問題。就全概率公式而言，醫學院的學生應該熟悉該公式在醫療診斷中的應用；商學院的學生應該了解并討論該公式在保險、生產生活中責任分擔、股票交易等方面的應用；計算機學院的學生應該討論基于全概率公式的網絡性能分析和在人臉識別中的應用[3]。表1是有關某種疾病的一些數據，結合數學軟件，分析全概率公式在醫學中的應用。

借助數學軟件Matlab或Excel可以求出各國感染率。下面以學生熟悉的Excel軟件，自己編輯公式進行求出感染率（先將光標定位到D2單元格，輸入“=B2/C2”，再按回車鍵即可求出0.000728，其他感染率的數據可以通過拖拽的方式得到，無須一一輸入公式去求，方便簡潔），結果如圖3所示。

再用圖形展示，如圖4所示，在視覺上有更清晰的了解（選擇A列和D列，將數據轉化為圖表）。

以上面的數據為依據，引入全概率公式的相關例題。

例1[4]一架飛機上共有200位乘客，來自A、B、C、D、E、F國家的乘客數量分別為20人，40人，30人，50人，10人和50人。從這架飛機上隨機地選取1位乘客，問其患這種疾病的可能性是多大？

解：設[A]：這位乘客患病，[Bi]：這位乘客來自第[i]個國家，[i=1，2，3，4，5，6]，其中第[1，2，3，4，5，6]個國家分別指[A，B，C，D，E，F] 6國。則：

[P（A）=P（AB1）P（B1）+P（AB2）P（B2）+P（AB3）P（B3）+P（AB4）P（B4）]

[+P（AB5）P（B5）+P（AB6）P（B6）]

[=0.000728×20200+0.000848×40200+0.001882×30200+0.000827×50200]

[+0.001124×10200+0.001175×50200]

[=0.001081]

這里，仍可借助Excel進行計算，快速準確。計算過程如圖5所示。

以上是借助Excel解決的生物學中的一個問題。數學軟件的引入，大大減少了工作量，激發了學生的學習興趣，學生解決問題的效率明顯提升。

啟示3：在學生了解了所學知識點在本專業的應用的基礎上，將理論和實踐結合起來，學有所用，會加深對所學知識的印象，增強專業認同感，進一步增加學習興趣。

2 貝葉斯公式教學

貝葉斯公式是由果溯因，解決推斷問題的一種有效方法，在數學、工程、金融、醫療等領域的應用意義很強。

貝葉斯公式[2]設試驗[E]的樣本空間為[S]，[A]為[E]的事件，[B1，B2，...，Bn]為[S]的一個劃分，且[P（A）>0]，[P（Bi）>0]（[i=1，2，...，n]） ，則：

[P（Bi|A）=P（A|Bi）P（Bi）j=1nP（A|Bj）P（Bj），i=1，2，...，n]

2.1 生平事跡——追求真理，持之以恒

貝葉斯是英國的一位神學家、數學家和哲學家，他提出的一整套貝葉斯理論在很長一段時間內都未被接受[5]。我國著名數理統計學家陳希儒教授曾這樣評價過：“雖然這個產生于 18 世紀的統計學學派在19 世紀上半葉備受爭議和冷落，但在20世紀，它卻占據了數理統計學這塊領地的半壁江山，撐起了統計學的半邊天。”[6]

啟示4：通過貝葉斯的事跡可以看出，追求真理的過程往往是一個漫長的過程，只有持之以恒，才能勇攀高峰。

2.2 寓言——引出公式，強調誠信

在教學過程中，教師可以通過伊索寓言中“狼來了”的故事先引起學生的興趣，再介紹貝葉斯公式內容，最后運用貝葉斯公式解釋“為什么最后沒有村民相信孩子的話”。

例2[7]? ?在“狼來了”的故事中，設[A]：孩子說謊，[B]：孩子可信。孩子說謊前，[P（B）=0.8]，[P（A|B）=0.1]，[P（A|B）=0.5]，求說謊一次后，孩子的可信度[P（B|A）]。

[解： P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.8×0.10.8×0.1+0.2×0.5=0.444]

如果孩子說謊兩次后，信任程度又變為多少呢？

這時可以繼續運用貝葉斯公式進行計算，這里[P（B）=0.444，P（B）=0.556]。

[P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.444×0.10.444×0.1+0.556×0.5=0.138]

可見，信任程度已由0.444降為0.138了。

此時，可能還有少數善良的村民選擇繼續相信孩子。那么，孩子說謊三次后，信任程度又變為多少呢？此時[P（B）=0.138，P（B）=0.862]

[P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.138×0.10.138×0.1+0.862×0.5=0.031]

利用Matlab軟件，可以求出說謊n次后可信程度[P（B|A）]的值。Matlab代碼如下：

PB= 0.8 ;? % P（B）：

P_A_B = 0.1; % P（A|B） = 0.1

P_A_B1 = 0.5; % P（A|B^） = 0.5

i = 1;

A= zeros（10）;

while i<=10

P_B_A =（ PB* P_A_B）/（ PB* P_A_B + （1-PB）* P_A_B1）; % 求P（B|A）

PB= P_B_A;? ? %? P（B） = P（B|A）

disp（P_B_A）;? % 輸出P（B|A）的值

A（i）= P_B_A ;? ? % P（B|A）保存在數組中

i=i+1;

end

n = 1：1：10;

figure;plot（A）; % 畫圖

xlabel（'n'）;

ylabel（'P（B|A）'）;

利用Matlab軟件，求出說謊次數[n]后可信程度[P（B|A）]的值如表2所示。

利用Matlab中的plot函數，繪制出[n]和[P（B|A）]的關系圖，如圖6所示。

表3和圖6給出了[n=1，…，10]的孩子的可信程度，從中可以看出，隨著說謊次數的增多，孩子的可信程度下降很快。

啟示5：誠信是人必備的基本品質之一，是社會主義核心價值觀的重要體現。大學生作為祖國未來的建設者和接班人，已接受多年教育，在誠信方面更應走在前列，為實現中華民族偉大復興的中國夢而努力。

2.3 傳承哲學思想——培養學生哲學辯證思維能力

貝葉斯公式是運用先驗知識并結合樣本知識獲得后驗概率的過程，反映了從認識到實踐，再從實踐到認識的過程，即不斷用新獲得的數據資料來調整原有的知識和看法[8]。

啟示6：在實際中，要學會用辯證的思維方法認識事物發展規律，勇于創新，不斷地修正自己的看法并解決實踐中遇到的問題。

2.4 自我審視——理性分析，查缺補漏

概率統計這門課程一般開設在大二上學期，此時的大學生基本上已成年，除學習外，對戀愛也越來越向往，如何樹立正確的戀愛觀？畢業班學生如何挑選到自己滿意的工作？生活中被很多人誤解，又如何處理？這些問題都可以借助貝葉斯公式去理性分析，分析過程即是一個自我審視的過程，通過分析可以發現自己的不足，進而逐步提升自己[9]。

3 兩個公式間的聯系及共同展現的思政元素

3.1 公式間的聯系

全概率公式和貝葉斯公式是條件概率的兩個基本公式，簡單來說，全概率公式是由因索果，貝葉斯公式是由果索因，兩者之間的聯系如圖7所示[10]。

通過仔細觀察并分析得到，貝葉斯公式求得的后驗概率是利用先驗概率、條件概率和全概率公式得到的，具體如圖8所示。

3.2 次品率問題——科學分析數據，治學嚴謹

例3[3]某電子設備制造廠所用的元件是由三家原件制造廠提供的，根據以往的記錄有以下的數據：

設這些產品均勻混合。1） 設[A]：任取的一只元件是次品，求[P（A）]；2） 在倉庫中任取一只元件，發現是次品，分析該次品來自何廠的可能性最大。

分析：1） 三個元件制造廠中的每個廠都可能生產次品，這是原因；在倉庫中任取一只元件，是次品，出現了結果。先因后果，用全概率公式求解。

2） 在倉庫中任取一只元件，發現是次品，已知出現了結果；現要追查，考查來自何廠的可能性最大，這是要尋找原因。由結果尋找原因，用貝葉斯公式求解。有的學生覺得3廠的次品率最高，所以來自3廠的可能性最大；有的學生覺得2廠所占的份額最大，所以來自2廠的可能性最大。那么，到底來自哪個廠的可能性最大呢？

解：[B1，B2，B3]表示所取到的產品分別是由第1，2，3家提供的。由題意知：[P（B1）=0.15，P（B2）=0.80，P（B3）=0.05]，[P（A|B1）=0.02，P（A|B2）=0.01，P（A|B3）=0.03]

1） 由全概率公式，[P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.0125]

2） 由貝葉斯公式，[P（B1|A）=P（A|B1）P（B1）P（A）=0.02×0.150.0125=0.24]，同理? [P（B2|A）=0.64]，[P（B3|A）=0.12]，所以，抽到的這只次品來自2廠的可能性最大。

啟示7：次品率問題是全概率公式和貝葉斯公式中的典型例題，通過該例題的學習，可以使學生更清楚地了解這兩個公式的內涵，同時要科學地分析數據，正確得出結論，不能想當然。

4 結束語

在全概率公式的教學中，先介紹公式內容，再通過圖形解釋公式的基本思想和內涵，最后通過討論公式在解決專業問題方面的運用，增強了學生的專業認同感，幫助學生樹立了正確的價值觀。在講授貝葉斯公式的過程中，先介紹貝葉斯的生平事跡，告訴學生學習貴在堅持；再通過伊索寓言“狼來了”的故事引入貝葉斯公式，同時強調了誠信的重要性；進一步讓學生感受到要用辯證思維認識事物，并學會用貝葉斯公式理性分析，查缺補漏，解決學習、就業和生活中的問題。最后，分析并通過圖形展現了全概率公式和貝葉斯公式的聯系，給學生一個直觀形象的認識，并通過典型的“次品率問題”告訴學生要科學地分析數據，得到正確結論。另外，選取了“狼來了”這個案例，展示了數學軟件可以快速、精準地求解概率，通過圖形直觀形象地展示信息，讓學生切身感受信息技術所帶來的便捷性。

在寶貴的課堂中，教師一定要在傳授理論學科知識的同時，無聲地融入思政元素，并輔以實驗教學，讓學生不僅能提高思想認識，而且能提升自身的實踐能力和創新能力，把學生培養成社會需要的高素質人才。

參考文獻：

[1] 吳宏鍔，梁瑛，郭學軍.由一堂正態分布課展現的課程思政[J].南陽理工學院學報，2021，13（3）：95-97，111.

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[3] 李萍，鐘守銘，李沛瑜，等.以“金課”建設為導向的混合式教學探索——以概率論與數理統計為例[J].新疆師范大學學報（自然科學版），2022，41（1）：85-89.

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[5] 鄧小華，許宇翔，羅曉萍.新時代高校數學課程思政教學改革實踐探析[J].遵義師范學院學報，2022，24（2）：122-126，131.

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[7] 封希媛.Bayes公式在實踐教學中的應用[J].青海師范大學學報（自然科學版），2017，33（2）：39-41.

[8] 陳耀庚，孫博文，王娜，等.以貝葉斯公式為案例的醫學統計學課程思政教學設計[J].醫學教育研究與實踐，2021，29（5）：781-784.

[9] 李廣玉，田研.“課程思政”理念指導下的貝葉斯公式教學[J].惠州學院學報，2020，40（6）：126-128.

[10] 陳中明.全概率公式與貝葉斯公式的啟發式教學設計淺談[J].教育教學論壇，2019（25）：202-203.

【通聯編輯：謝媛媛】