牛頓力學(xué)基本理論的對稱性表述及從該表述出發(fā)對經(jīng)典力學(xué)中引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的初步探討

引言

群

群的元素可以對應(yīng)到幾何結(jié)構(gòu)中的某些變換或?qū)ΨQ性質(zhì)，群的運(yùn)算可以對應(yīng)到幾何操作中的組合或變換操作。

例如，對于平面上的所有剛體運(yùn)動(dòng)（平移、旋轉(zhuǎn)、鏡像等），它們構(gòu)成一個(gè)群，稱為歐氏變換群。每個(gè)歐氏變換都可以用矩陣來表示，而群的運(yùn)算可以通過矩陣的乘法來表示。因此，歐氏變換群與平面幾何存在一一對應(yīng)的關(guān)系。

如果這個(gè)幾何里面不僅包含位置坐標(biāo)，也包含空間坐標(biāo)，群就定義了一種物理。例如，伽利略群包含了平移、旋轉(zhuǎn)和Galilean boosts（即加速度為零的相對運(yùn)動(dòng)）等變換操作是描述經(jīng)典力學(xué)中的空間和時(shí)間對稱性的群。

由物理滿足的群的對稱性，我們可以很自然地得到在該物理中的一些守恒量。比如說，通過伽利略群的時(shí)間平移對稱性可以證得能量守恒，通過位置平移對稱性可以證得動(dòng)量守恒等等，這也就是為什么說一個(gè)群可以定義一種物理。

相變

熱力學(xué)意義上的相變，簡單講就是物質(zhì)狀態(tài)的改變，而物質(zhì)狀態(tài)的不同實(shí)際上反映物質(zhì)本身有序性的不同。例如，固體中的原子具有高度有序的規(guī)則排列，形成晶體結(jié)構(gòu)，而氣體分子之間并沒有形成明顯的規(guī)則結(jié)構(gòu)，相對而言是比較混亂或者無序的，因此組成物質(zhì)的原子或分子是否具有規(guī)則排列成為區(qū)別固體和氣體的重要依據(jù)。而顯然物質(zhì)有序性就可以由系統(tǒng)的對稱性表示，即用系統(tǒng)滿足的對稱群表示。那么相變就是系統(tǒng)的對稱性變化。現(xiàn)在，我們就把這個(gè)定義抽象地表示出來。

設(shè)系統(tǒng)的對稱性滿足對稱群An，n ∈ Z.在一個(gè)過程中，n變化為m，（m≠n），則系統(tǒng)發(fā)生相變。

1 在伽利略群下，一維孤立系統(tǒng)一些基本概念

我們有必要把幾個(gè)基本概念再寫一下，之后可以作以參考。我們希望考慮一維度系統(tǒng)，以此為例，只簡明扼要地講清楚物理內(nèi)容。注意這里把伽利略群規(guī)定的對稱性作為第一原理。

1.1 孤立單體的牛頓第一定律

由常微分方程的解的存在和唯一性

F（，，x，t）=0

并且函數(shù)F和，x的初始條件唯一決定一個(gè)運(yùn)動(dòng)。注意，目前，，x 三個(gè)量是完全沒有區(qū)別的。

現(xiàn)在用伽利略群作用于這個(gè)孤立點(diǎn)集，得到

x=F（，x，t1）=F（，x，t2）→=Φ（，x）

也就是說，函數(shù)F不依賴時(shí)間，同理也不依賴位置和速度，即=C或=Ct+C1而顯然，同理，也不應(yīng)依賴位置和時(shí)間，所以=C=0證畢。

1.2 動(dòng)力學(xué)量

定義，在歐氏空間中的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為xi，i=1，2，

…，m，形如 T（）=2的函數(shù)是動(dòng)能；形如p（）=的函數(shù)是動(dòng)量，滿足疊加原理。

對于點(diǎn)集S={Si|i=1，2，…，m}，可以寫出總動(dòng)能和總動(dòng)量

T =∑i2

p =∑ii

如果所有的點(diǎn)有相同的速度i，則

T =m2

p =m

定義，m為點(diǎn)集S的慣性質(zhì)量

2 一維封閉系統(tǒng)，時(shí)間和空間平移對稱力場的狀況

基本思路，我們要先想辦法搞清楚力在本體系下比較好的定義，應(yīng)該還是從空間（時(shí)空）所滿足的對稱群方向考慮，然后應(yīng)該考慮把剛才定義的，似乎暫時(shí)是孤立著的能量、動(dòng)量兩個(gè)函數(shù)聯(lián)系起來。我們多半用幾個(gè)量聯(lián)合變化的辦法，以看出各量之間的聯(lián)系，也容易找到不變量。

2.1 基本條件

考慮最基本的狀況，力場是對時(shí)間和位置平移不變的，那么這個(gè)力場也應(yīng)該是常數(shù)，記為f。為了和現(xiàn)有的體系融洽，不妨假定=C=f。這樣一來，就伽利略群里的平移對稱來說，至少位置的平移對稱就沒有了，但是時(shí)間平移對稱還是沒有改變，伽利略群里面平移對稱就要改。

原來的對稱群滿足

g1（t，x） = （t，x+υt），

g2（t，x） = （t+s，x+s），

g3（t，x） =（t，Gx），t∈ R，x∈ R3

伽利略boosts顯然是不變的，所以g1沒有問題。先不要管g3，我們要考慮的是g2。我們發(fā)現(xiàn)，平移對稱不體現(xiàn)在位置上，而是體現(xiàn)在位置對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)上。索性拋棄位置空間中平直這一定義，轉(zhuǎn)而采用從平直的span{，t} 空間出發(fā)的辦法。

g1（t，）= （t，+ a），

g2（t，）=（t + s，+ s），g3，t∈ R，x∈ R

定義完了對稱性之后，其他的一些工作我們先不要去做，先考慮把能量動(dòng)量函數(shù)聯(lián)系進(jìn)來。現(xiàn)在考慮span{，t} 空間，仍然希望寫出這樣的形式。

g1（t，）=（t，+ υ），

g2（t，） =（t + s，+ fs），g3，t∈ R，∈ R

能量動(dòng)量函數(shù)代入得出span{p，T，t} 空間的結(jié)構(gòu)

g1（p，T，t）=（t，T+2υT +υ2，p+υ），

g2（t，T，p）=（t + s，T + 2fsT +（fs）2，p+fs），

t∈ R，T，p∈ R

力的定義可以由g2給出，也就是從伽利略群自然引出。

寫出 span{x，t} 空間的結(jié)構(gòu)

g1（t，x）=（t，x + υt），

g2（t，x）=（t + s，x + 2fs），g3，

2.2 對 g2 的考察

現(xiàn)在看一下span{x，}空間

g1（，x）=（+ υ，x + υx），

g2（，x）=（+ fs，x +fs2），g3，是平直的。

發(fā)現(xiàn)對于這個(gè)第二個(gè)式子，似乎看一下span{x，2} 空間會(huì)更好一些。

g2（，x） =（+（fs）2，x + fs2），可以直接換成span{x，T}

g2（T，x） =（T + fs，x + s），現(xiàn)在把動(dòng)力學(xué)基本定理找到了，和原有表述等價(jià)。

2.3 對g1的考察

考慮span{t，}空間

g1（t，）=（t，+ a），

我們發(fā)現(xiàn)有辦法把它變得更對稱一些，對做平移處理，我們定義一個(gè)新的群H，以描述像這樣的一些其他的對稱性，至少h 1∈H，滿足

h 1（t，）=（t，+ f ），（f =-a）

得到

g1h 1（t，）= h 1g1（t，） =（t，），

g1（a =0） = g1（f =-a）h 1= h 1g1（f =-a）= e，

e是幺元，對于平移變換（加法）是0。

這是非常好的性質(zhì)。可以驗(yàn)證，本式對其他變量也應(yīng)是合適的。

由于對于力的定義已經(jīng)使得，，x，t幾個(gè)變量失去一部分對稱了，所以沒有辦法對其他三個(gè)做同樣的事。當(dāng)然，可以在其他三個(gè)上面引入類似的定義，那肯定也會(huì)有相似的結(jié)果，而且，對于g1來說，，x，t還是沒有區(qū)別的，但是這里不想討論。

3 萬有引力模型

雖然我們沒有引入流形的概念，但是顯然，就算一個(gè)空間沒有平直的性質(zhì)，它在某一個(gè)點(diǎn)的附近仍然可以看成是平直的。我們現(xiàn)在要研究的事情，慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量之間的關(guān)系，和時(shí)間位置空間的平直與否暫時(shí)沒有什么關(guān)系，那不妨就取一個(gè)點(diǎn)的鄰域，以達(dá)到只是摸清物理本質(zhì)的目的。

3.1 定義

定義引力

形如（1+λ）f 的力場常數(shù)是引力質(zhì)量引力，當(dāng)且僅當(dāng) λ =1是萬有引力，λ ∈ R（λ一般很小，但不是規(guī)定）。

定義有關(guān)對稱群

H *2 ={h *2|h *2 λ = λ + δ }是引力質(zhì)量引力下物理體系的變換群，h 2 "λ = λ是萬有引力下物理體系的變換群，δ∈R。

描述了λ空間下的某種對稱性，顯然有

h 2 "∈ H *2 或 H 2 ≤ H *2

我們可以對H *2 做這樣的定義，因?yàn)?δ "或者說 λ 具體是多少對我們研究的目標(biāo)來說無所謂，換句話說 λ 的概率分布具體是什么樣的，對我們研究的這個(gè)問題都沒有影響。

現(xiàn)在定義了這兩個(gè)對稱群，也就是定義了兩個(gè)物理理論體系，兩個(gè)群在某個(gè)規(guī)則下可以進(jìn)行映射變化。這兩個(gè)稱為物理理論體系的復(fù)雜系統(tǒng)，要么關(guān)聯(lián)明顯，要么不明顯，要么線性無關(guān)，等等，都可以通過這種觀點(diǎn)聯(lián)系起來。

3.2 相變

如果引力質(zhì)量一定等于慣性質(zhì)量，那么H 4 到H *4 的假想變化過程就是自發(fā)的，換句話說，就算一開始引力質(zhì)量不等于慣性質(zhì)量，那么也會(huì)變得等于慣性質(zhì)量。

為了證明這件事情，我們有必要找在變化過程中的某些函數(shù)，作為其“自由能”與“序參量”。

先找序參量，發(fā)現(xiàn)

h 2 "g 1（f = -a）h 1 "= e，h*2 g 1（f = -a）h 1 "≠ "e

就取序參量

η =h*2 g 1（f = -a）h 1

自由能就取成h *2 g 1 T，即

F = T + 2fs（1+λ）T +［fs（1+λ）］2

對序參量做冪級數(shù)展開，一次項(xiàng)系數(shù)

A = fs（2T +1）二次項(xiàng)系數(shù)

B = fs

1°A gt; 0 一定會(huì)存在序參量從正值變化到 0；

2°A = 0 在相變點(diǎn)會(huì)發(fā)生序參量的奇異，不過無論如何 B lt; A，那么就會(huì)發(fā)生相變；

3°A lt; 0 則 B lt; 0，在相變點(diǎn)處意味著不穩(wěn)定，選取合適的 λ 分布，可以使得相變發(fā)生。

綜上，發(fā)生相變是必然的，即 λ = 0。

4 解釋說明和與現(xiàn)有表述的等價(jià)性，總結(jié)

上述工作在于，運(yùn)用事物普遍聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，提出了從相變角度研究不同理論體系之間關(guān)聯(lián)的方法，本質(zhì)上是將每個(gè)理論體系集合本身視作復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行研究。該方法有待發(fā)展。

上述過程和等效原理說的其實(shí)是一件事情，在λ=0時(shí)系統(tǒng)會(huì)有奇異，意思就是理論不符合在小范圍內(nèi)做實(shí)驗(yàn)的現(xiàn)象，理論體系有不自洽的地方，因?yàn)?、3節(jié)的理論本質(zhì)都是實(shí)驗(yàn)得出的，只是我們把它們整理了一下而已。所以這些工作的本質(zhì)仍然是從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，只不過我們剛剛闡明了這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不是孤立的，而是互相聯(lián)系的而已。

（作者單位：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院23級1班）