一道教材習題在求解高考題中的應用

汪文

人教版A版必修第二冊第六章《平面向量及其應用》第54頁習題6.4第18題：利用第10題的結論，證明三角形的面積公式S=12a2sinBsinCsinA.

由正弦定理知asinA=bsinB，從而b=asinBsinA，由第10題結論S=12absinC易得三角形的面積公式可以表示為S=12a2sinBsinCsinA=12b2sinAsinCsinB=12c2sinAsinBsinC，這個公式的原理其實是借助正弦定理將三角形的邊化成對應角的正弦值，由普通的兩邊及夾角求面積轉化為兩角及夾邊求面積，本文談談如何利用該公式求解高考題.

例1（2023新課標全國卷Ⅰ）已知ΔABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sinB.

（1）求sinA；（2）設AB=5，求AB邊上的高.

解析：（1）由A+B+C=π得，A+B=3Cπ－C=3CC=π4.2sin（A－C）=sinB=sin（A+C）2sinAcosC－2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinCsinAcosC=3cosAsinCtanA=3tanC=3.從而A為銳角，可得sinA=31010.

（2）sinB=sin（A+C）=sin（A+π4）=31010×22+1010×22=255.

由上述公式S=12c2sinAsinBsinC得ΔABC的面積S=12×52×31010×25522=15.設AB邊上的高為h，則h=2SAB=6.

評注：由第（1）問的結果可輕松求得各角的正弦值，借助其中一邊長得到面積，進而求得邊上的高線長.

例2（2022新課標全國卷Ⅱ）記ΔABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3，已知S1－S2+S3=32，sinB=13.

（1）求ΔABC的面積；（2）若sinAsinC=23， 求b.

解析：（1）由面積公式知S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2， ∴S1－S2+S3=34（a2－b2+c2）=32a2－b2+c2=2，∴cosB=a2－b2+c22ac=1ac，由sinB=13cosB=223，∴1ac=223ac=324，從而ΔABC的面積為S=12acsinB=12×324×13=28.

（2）由面積公式S=12b2sinAsinCsinB及（1）中的結果可得28=b22·2313b2=4，∴b=2.

評注：借助面積公式和第（1）問的結果，第（2）問可以輕松得到，提高了效率.

例3（2017全國卷Ⅰ）ΔABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知ΔABC的面積為a23sinA.（1） 求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求ΔABC的周長.

解析：（1）由面積公式S=12a2sinBsinCsinA知12a2sinBsinCsinA=a23sinA，從而sinBsinC=23.

（2）cosBcosC=16cosA=－cos（B+C）=sinAsinC－cosBcosC=12，∴A=π3，由題設知ΔABC的面積S=323sinπ3=23，又S=12bcsinA.從而可得23=12bc32bc=8.由余弦定理知a2=b2+c2－2bccosA，代入可得9=b2+c2－2×8×cosπ3b2+c2=17b+c=b2+c2+2bc=33，從而ΔABC的周長為8+33.

例4（2016·浙江卷）ΔABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b+c=2acosB.（1）證明：A=2B；

（2）已知ΔABC的面積S=a24，求∠A大小.

解析：（1）由正弦定理得b+c=2acosBsinB+sinC=2sinAcosBsinB+sin（A+B）=2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB

sinB=sin（A－B）B=A－BA=2B，得證.

（2）由面積公式S=12a2sinBsinCsinA及A=2B得a2sinBsinC2sin2B=a24

sinBsinC2sinBcosB=12sinC=cosB=sin（π2±B）C=π2±B，又C=π－A－B，∴π－A－A2=π2±A2A=π4或A=π2.

評注：第（1）問將邊換成正弦合并后即可得證，第（2）借助面積公式二倍角公式和誘導公式求得∠A大小.

例5（2008·全國Ⅱ卷）在ΔABC中，cosB=－513，cosC=45.（1）求sinA的值；

（2）設△ABC的面積S△ABC=332，求BC的長.

解析：（1）易得sinB=1213，sinC=35，由誘導公式及兩角和的正弦公式得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=3365.

（2）由面積公式知，S△ABC=a2sinBsinC2sinA=a22×1213×353365=6a211=332，得a2=1214a=112，從而a2=1214a=112.

評注：第（1）問利用兩角和的正弦公式可得，第（2）借助面積公式可快速求出BC的長.

教材是學生學習的中心，根植于教材，來源于課本，著眼于提高是很多高考試題的真實寫照，在高考復習中，讓學生回歸教材，重視課本的再學習，看清課本習題與高考題之間的聯系，揭開高考試題的神秘面紗，既讓學生看清了問題的本質，又讓學生學會了思考，從而達到了事半功倍的復習效果.