基于“抽象素養”培養的課堂教學實踐與思考

徐婧婧

摘要：數學抽象是反映客觀現實事物的本質與規律的基本方式，它對促進學生理性思維與學科精神的發展具有重要意義.在數學抽象的基礎上培育抽象素養可有效拔高學生的思維，為發展核心素養夯實基礎.文章中以“導數的定義”教學為例，分別從“創設情境，激趣啟思”“引入實例，初步探索”“新知建構，深化理解”“練習訓練，應用定義”“歸納總結，鞏固提升”等方面展開教學實踐與思考.

關鍵詞：抽象；素養；導數

抽象素養指學習者經歷數學抽象過程而獲得的一種能力.此類素養的發展一般以問題情境為起點，學生通過對情境的分析，舍棄一些無關的內容，提煉出數學屬性，并借助豐富的數學語言加以表征[1].研究發現，

數學中的很多基礎知識都給抽象素養的培育與發展提供了肥沃的土壤，特別是

在“導數的定義”教學中關注抽象素養的培育，可有效挖掘學生的潛能，拔高思維，為發展數學核心素養夯實基礎.

1教學過程設計

1.1創設情境，激趣啟思

多媒體展示如下兩個情境：（1）《莊子天下篇》中載有“尺之錘，日取其半，萬世不竭.”（2）將一個圓，以圓心為起點分成無數個小扇形，形成的扇形數量越多則越接近小三角形的面積.

教師通過展示圖片，合理借助語言分析與設置，要求學生說說它們的共性特征.

設計意圖：這兩個情境意在讓學生通過對文字與圖形的感知，初步體會數學無限逼近的思想，也是抽象素養培育的一種基本方式，為導入新課奠定基礎，達到滲透數學文化、激趣啟思的目的.

1.2引入實例，初步探索

實例跳水運動中，運動員和水面的距離h（單位：m）和起跳之后的時間t（單位：s）之間的函數關系為h=－4.9t2+6.5t+10，那么t=2時的瞬時速度是多少？

問題1請大家以小組合作學習的方式討論本題的解題方案.

生1：我們組經討論后認為可取t∈［2，2.1］的平均速度，估算問題的結論.

師：如此估算出來結論的是否一定準確？

生2：多取幾組就可以了，如分別取t∈［2，2.2］，t∈［2，2.3］，t∈［2，2.4］，t∈［2，2.5］……

師：想要獲得精準的瞬時速度，就要合理縮小時間間隔，誰來說說怎樣調整時間間隔更合理有效？

生3：可以分別取t∈［2，2.1］，t∈［2，2.01］，t∈［2，2.001］……

生4：換個思路，還可取t∈［1.9，2］，t∈［1.99，2］，t∈［1.999，2］……

師：思路非常好，但這種方法略顯繁瑣，可否借助一個量來簡化過程呢？比如我們將式子統一用v-表示，三個式子則可表示為v-=h（Δt+2）－h（2）Δt，關于Δt的取值，可怎樣描述？

生5：分別用0.1，0.01，0.001，0.0001或－0.1，－0.01，－0.001，－0.0001來表示，而后借助計算軟件獲得Δt在不同取值時所對應的值.

問題2當Δt無限趨近于0，運動員的平均速度會呈現出怎樣的變化？

生6：在t=2的情況下，Δt無限趨近于0，v-無限趨近于－13.1.

師：很好！這里提到的v-無限趨近于－13.1就是t=2時的瞬時速度.一般而言，當Δt無限趨近于0時，物體位移的平均變化率會無限趨近某個常數，即h（Δt+t0）－h（t0）Δt趨近某個常數，我們稱該常數是物體在t=t0的瞬時速度.

設計意圖：合作交流的模式，意在讓各個認知水平層次的學生都能在這個問題的探索中有所收獲；平均變化率、瞬時速度等的探索，意在夯實學生的知識基礎.同時，也為抽象素養的培育創造條件.

1.3新知建構，深化理解

問題3若以函數f（x）描述上述問題中的函數，該怎樣描述f（x）在x=x0處的瞬時變化率呢？

此問促使學生成功提煉出導數的定義.（教師板書定義，此處略.）

問題4類比切線斜率的求解方法，該怎樣理解導數的幾何意義？

生7：函數y=f（x）在x=x0處的瞬時變化率為函數f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率，那么y=f（x）在x=x0時的導數f′（x0）即為曲線y=f（x）在點（x0，f（x））處的切線斜率.

由此，師生共同總結出導數的幾何意義：f（x0）為函數y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率，即處于運動狀態的物體在特定時刻t0的瞬時速度.

問題5與求切線斜率與瞬時速度的過程進行類比，求導數的基本步驟有哪些？

生8：主要需經歷三個步驟.①探索函數的增量，即Δy=f（Δx+x0）－f（x0）；②分析平均變化率，即ΔyΔx=f（Δx+x0）－f（x0）Δx；③根據極限獲得導數，即f′（x0）=

limΔx→0

f（Δx+x0）－f（x0）Δx.

設計意圖：導數定義的提取、導數的幾何意義與求導步驟的總結幫助學生成功構建了新知，課堂在問題的引導下漸入佳境.利用類比思想的滲透，增強學生知識與學習方法的遷移能力，促進數學抽象素養的發展.

基于舊知識的類比與創造，成為數學抽象素養培育與發展的一個重要方式.

1.4練習訓練，應用定義

練習1請用多種方法探索函數y=2x2+4x+5在x=0時的導數，并闡述此時導數的幾何意義.

變式若f（x）=2x2+ax+5，已知f′（2）的值為4，求a的值.

練習2將原油進行冷熱加工，可分別提煉出柴油、汽油與塑膠等產品.若在第xh，原油溫度（單位：℃）是f（x）=x2－7x+14（0≤x≤8），請分別計算x等于0，2，6時的導數.

設計意圖：練習1及其變式的提出，意在引導學生借助新知分別從“數式”與“圖表取值”兩個維度來解決問題，感知符號表征的優勢，進一步強化學生對導數定義的認識；練習2從生活實際出發提出與導數相關的問題，一方面考查學生的應變能力，另一方面發散學生的思維，增強學生的抽象素養，為推進核心素養的發展創造條件.

1.5歸納總結，鞏固提升

要求學生分別從本節課所學數學基礎知識、涉及到的數學基本思想方法以及探索數學基本經驗等維度進行歸納總結，特別也為進一步培育數學抽象素養創造條件.

學生自主分析，總結如下.①知識：瞬時速率、瞬時變化率、導數的定義等，課堂中掌握了求導的基本步驟，獲得了“求函數在某點處的導數”的能力；②思想方法：數形結合、歸納、類比、無限接近等數學思想方法；③學習經驗：想要探索一個未知的概念，可通過對不同實例的分析，探尋其共同特征與規律，用符號語言對其性質關系進行描述.

設計意圖：基于不同維度對課堂教學內容進行提煉與總結，可進一步梳理知識結構，完善認知，提升學力.同時，課堂總結也是發展數學抽象素養的一種方式，學生通過對零碎內容的梳理與整合，可抽象出簡潔的知識架構.

2思考與感悟

俗話說：“授人以魚不如授人以漁.”數學課堂教學除知識的傳授外，還要注重學習方法、經驗與能力的培育.數學抽象作為數學核心素養的重要組成部分，不僅是促進個體發展的重要因素，更是當今社會對高層次人才的需要.新課標背景下，單純的知識傳授與練習訓練雖然能提高成績，但對于學生長遠的發展意義不大.想要從真正意義上提升學力，培育適應社會發展的人才，就要帶領學生苦練“內功”，在學習過程中積極思考與交流，不斷積累學習經驗，讓思維經歷由淺入深的抽象與概括過程[2].

總之，數學抽象素養的培育并非一朝一夕就能完成的基本目標.作為教師，應在充分了解學生現有數學知識認知水平

與數學技能的基礎上合理設計教學方案，借助數學創新情境與應用情境等的創設，引導學生親歷數學基礎知識的形成與發展過程，在這個過程中不斷提升數學抽象素養，為數學核心素養的形成與發展創造有利條件，也為全面提升數學品質與優化數學素養奠定基礎.

參考文獻：

[1]王德軍.數學抽象素養培育的教學思考——以“導數的定義”教學為例[J].高中數學教與學，2021（20）：14-16.

[2]林婷，張武生.把握概念教學本質培育“數學抽象”素養——以“數列的概念與簡單表示”教學為例[J].數學教學研究，2020（4）：35-38.