近年多省聯考數學試題分析及教學建議

作者簡介：黃邵華，1985年生，福建南平人，碩士研究生，高級教師，主要研究方向為中學數學教育教學。

摘 要：在推進高考綜合改革進程中，教育部組織了多次聯考，為各省（區、市）新高考落地保駕護航。在廣西新高考即將落地之際，分析高考適應性演練中的試題具有非常重要的指導意義。多省聯考試題與當年高考數學試題關系密切，根據2024年1月進行的九省聯考的數學試題情況，教師指導學生備戰2024年高考應關注試卷新結構并指導學生及時適應、關注非主干知識的工具性、重視訓練解答具有創新性和探究性的問題。

關鍵詞：聯考；試題分析；數學高考；教學建議

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）08-0058-05

2024年1月，為了提前適應新高考的考試題型和考試模式，教育部組織全國第三批啟動高考綜合改革試點的安徽、黑龍江、吉林、江西、甘肅、廣西、貴州，以及后來相繼宣布加入的河南和新疆等九個省區，共同進行了一次大規模的2024年新高考適應性演練，俗稱九省聯考。事實上，這并不是教育部第一次組織高考適應性演練，早在2021年，教育部就組織了河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶8個省市的八省聯考，在2023年又組織了云南、吉林、黑龍江、安徽四個省份的四省聯考。本文通過分析2021年的八省聯考、2023年的四省聯考數學試題與當年高考數學新課標卷之間的關聯，以及分析2024年九省聯考數學試題，提出一些高考數學復習備考建議。

一、多省聯考與當年高考數學試題關聯分析

近年的多省聯考中語文、數學、英語試題由教育部組織命題，命制多省聯考試題時和命制高考試題一樣要遵循《中國高考評價體系》以及普通高中課程標準，那么多省聯考和當年的高考試題之間有什么關聯？多省聯考試題是否釋放出一定的信號？如何通過多省聯考試題引導高三備考教學？不少高中一線數學教師都存在諸如此類的困惑。

首先，我們從考查的知識板塊層面，將2021年的八省聯考和2023年的四省聯考數學試題與當年的高考新課標Ⅰ卷和Ⅱ卷進行整理，得到各知識板塊考查匯總表（如下頁表1所示）。

為方便觀察和了解聯考試題與高考試題對各知識板塊的考查情況，筆者整理、匯總出這兩次聯考試題與當年高考試題各題型考查相關知識板塊的題量（如下頁表2所示）。

先分析解答題。從表2可以看到，每年聯考的解答題涉及的知識板塊和最終的高考新課標卷是完全一致的，即傳統的三角、數列、概率統計、立體幾何、解析幾何、導數六大板塊。再觀察表1，2021年新課標Ⅱ卷和2023年新課標Ⅰ卷都將概率統計題編排在第21題，難度較大，相對之前多年高考試卷將圓錐曲線和導數放在最后兩題而言，還是有些變化的。我們再將聯考解答題各板塊試題題號與當年高考題各板塊試題題號作差求絕對值，得到第60頁表3。從表3中不難看出，聯考數學解答題與當年高考數學解答題，考查各知識板塊的題號差大多不超過1（占比87.5%），可見聯考解答題中考查各知識板塊試題所處的位置和當年高考試卷基本一致。也就是說，這兩次聯考解答題和當年高考解答題的考查知識板塊完全一致，且各板塊知識在本卷中的考查難度也基本相同，但可能在個別板塊上會有較大的難度調整。

再分析選擇題與填空題。觀察表2可以發現，每年的高考題考查各知識板塊知識的題數，也就是所占分值，和當年聯考試題幾乎保持一致。2023年新課標Ⅰ卷相對當年的聯考卷，多了三角函數和解析幾何題，少了立體幾何和創新題。

綜合以上分析，2021年與2023年的聯考數學試題對比當年的高考數學試題，有以下幾個特點：一是試題的整體結構、題量、題型及各題型分值均完全一致；二是解答題考查的六個知識板塊完全一致，各知識板塊試題的題號也基本一致；三是選擇題、題空題在各個知識板塊所占的題量、分值基本一致，只在少數板塊上有所調整。

特別強調一點，雖然聯考題與當年高考題有以上諸多近似，但是有一點卻有較大差異，就是試題的難度。例如，2023年的四省聯考試題，難度明顯較大，當年聯考結束后，考生普遍愁眉苦臉，同時也引發全國范圍內廣大一線教師的熱烈討論。緊接著，因為這次聯考所謂“釋放出來的信號”，各地的高考模擬題瞬間加大難度。但事實上，2023年新課標Ⅰ卷和Ⅱ卷，整體比較平穩，試題難度也適中，并沒有刻意加大難度。

二、2024年九省聯考數學試題分析

2024年1月19日下午，九省聯考數學試題公開，立即引發了廣泛關注。有教師稱之為高考數學試題結構的一次“顛覆性調整”，其在試題結構和分值等方面主要有以下四個變化：一是全卷題量由原來的22道題減少為19道題；二是單選題數量不變還是8道，但是多選題、填空題以及解答題各減少1道，也就是題型結構由原來的“8+4+4+6”，變為“8+3+3+5”；三是單選題和填空題每題分值不變，依然是5分，但多選題每道題分值由原來的5分增加至6分，解答題雖然減少了1道題，但總分卻增了7分，由原來的70分增加到77分；四是解答題各小題分值由原來的“10+12+12+12+12+12”，改變為“13+15+15+17+17”。

以上是題型結構和分值上的變化，我們再來分析各題考查的知識板塊情況。筆者整理各題考查的內容與考查各知識板塊的題量，得到表4、表5。

表4 試題的考查內容

[題號 考查內容 題號 考查內容 1 統計 11 抽象函數 2 橢圓 12 集合 3 數列 13 表面積與體積 4 空間中的位置關系 14 不等式 5 排列組合 15 導數 6 直線和圓 16 概率統計 7 三角恒等變換 17 立體幾何 8 雙曲線 18 拋物線 9 三角函數圖象與性質 19 數論 10 復數 ]

表5 考查各知識板塊的題量

[知識板塊 選填/個 解答/個 集合 1 0 復數 1 0 函數與導數 1 1 平面向量 0 0 三角函數 1 0 數列 2 0 計數原理 1 0 概率統計 1 1 立體幾何 2 1 解析幾何 3 1 其他 1 1 小計 14 5 ]

由表4、表5可以看出這份聯考試題相對以往的高考題，有以下六個明顯的變化。

一是第1題、第2題單項選擇題不再是考查集合和復數，而是考查統計和圓錐曲線；對集合的考查放在了第12題，也就是填空題第1題，對復數的考查放在了第10題，也就是多選題第2題，考查難度均有所提升。

二是雖然近三年新課標卷必出現一道平面向量題，但是這次并沒有出現以平面向量為完整背景的題目；而近年高考在選擇題、填空題中考查的重點板塊知識——函數與導數，只出現了1道題，也就是第11題——多選題最后一題，考查的是抽象函數。可見此次九省聯考減少的3道選填題，主要是減少了針對向量和函數的考查。但是，這并不代表削弱向量和函數，事實上，選擇題的第6題和第8題分別考查了向量的坐標和向量的數量積，而第9題、第12題、第14題、第18題等涉及求解最值的問題中，都用到了函數的思想，因此，這份試題也暗示和強調了向量和函數在解決數學問題中的工具性作用。

三是解答題第1題顛覆性地考查了導數，這是歷年高考真題中從來沒有出現的情況，近幾年高考導數試題題號最靠前的就是2023年的新課標Ⅰ卷，放在第19題，其余基本都是放在最后兩道題的位置。

四是解答題第4題圓錐曲線問題，如果用常規的方法來解答，雖然可以完成求解，但是計算量很大，學生要在有限的時間內按此方法得出正確結果難度非常大。但如果通過適當地添加輔助線，將三角形面積轉化為四邊形面積，就能很快計算出結果。

五是最后一題第19題，以新定義的方式出現，試題情境是在密碼學理論中有重要地位的蓋莫爾（ElGamal）加密體制，題干給了出離散對數的定義，要求考生利用該定義求解三個小問。其中第1小問較為容易，但第2、第3小問難度較大，要利用數論知識中的費馬小定理進行求解。數論相關知識超出了普通高中數學教材必修和選擇性必修的范疇。筆者翻閱了《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》），發現它對“數論”的表述唯一一次出現的地方是在第四章“課程內容”中的第（三）部分“選修課程”中的“E類課程”即學校根據自身的需求開發或選用的課程，表述如下：“拓展視野的數學課程。例如，機器人與數學、對稱與群、球面上的幾何、歐拉公式與閉曲面分類、數列與差分、初等數論初步”［2］。本次九省聯考出現這樣一道題，確實令人匪夷所思，是否超出了《課程標準》的范疇也無法界定。但此題一出，一方面讓極少部分的數學競賽生感到驚喜，另一方面給了絕大多數的非數學競賽生當頭一棒。

六是從整卷的難度來看，一方面減少了題目數量，尤其是減少了1道較為耗時的多選題和1道解答題，從這點看，確實給了學生更多思考的時間；另一方面，除了各題型的最后一題，其他題目相對往年的聯考題或高考真題，明顯降低了難度，但填空題第14題和解答題第19題，明顯帶有濃厚的數學競賽的味道，即便是解答題第18題，如果不采用巧妙的幾何轉化，計算也是非常困難。因此，這份聯考試題在難度方面呈現出的一個特點便是常規問題更加簡單，讓大部分的學生能得到更多的分數，同時勻出更多時間讓優秀的學生在更加靈活創新的題目上進行思考和比拼，目的是選拔出真正的拔尖創新型人才。

三、高考數學復習備考啟示和建議

通過分析近年多省聯考試題與當年高考新課標Ⅰ卷和Ⅱ卷的關聯，以及分析2024年九省聯考試題發生的變化，筆者收獲了一些啟示，據此對高考數學復習備考提出如下建議。

（一）高度關注多省聯考試題，及時適應試卷新結構

近年進行的兩次多省聯考的數學試題，與當年的高考新課標Ⅰ卷和Ⅱ卷的關聯度還是相當高的，不僅題型結構和分值完全一致，而且各知識板塊考查的占比和分值也非常接近。因此可以認為每年的多省聯考在傳遞一些改革的信號，一定程度上指明了高考的方向，或者說在呈現一些命題的趨勢。因此，在高考數學復習備考過程中，教師要高度重視對近年高考試題，尤其是對當年多省聯考試題進行研究和分析，進而指導日常的復習備考教學。

2024年高考數學究竟會不會按新的試卷結構出題，筆者不敢妄自揣測，但是基于往年多省聯考與當年高考試題高度關聯，筆者強烈建議在往后的高考模擬題訓練中，重視對新結構試題的訓練，讓學生提前熟悉試卷新結構，優化節奏把控、時間安排以及應試策略，提升學生面對試卷新結構的整體應對能力。

（二）重視主干知識，關注非主干知識的工具性

2024年的九省聯考數學試題減少了題目的數量，這必然導致知識覆蓋相對傳統試題不夠全面（例如向量、函數題的減少），因此在高三復習備考過程中，教師一方面要注重對主干知識的學習，重視理解和掌握主干內容的基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本學習路徑；另一方面也要注重利用非主干知識（如集合、復數、向量、不等式、計數原理等）求解主干知識的過程，增強學生對非主干知識的工具性的體驗和感受。

此外，九省聯考試卷雖然減少了題目的數量，但除各題型的最后一題外，其余題目的難度較往年高考試題有了明顯的降低，沒有太偏、太難的問題，學生對常規問題的求解更加得心應手。命題者進行這樣的難度設計，目的非常明確，就是希望大部分考生通過對基礎知識、技能和思想方法的掌握，能夠盡量多得分，而通過“題海戰術”“機械刷題”等方式見識更多偏難怪題的學生將不占優勢。也就是告訴所有考生，要抓住數學本質，而對大量刷題的行為，一定是耗時耗力卻收效甚微的。

（三）重視訓練解答創新性和探究性問題

2024年九省聯考試題結構發生改變，一方面減少了題目數量，另一方面增加了各解答題的分值，并且在第14題、第18題、第19題明顯加大了創新力度和解題難度。這樣的設計可以看出命題者有以下幾個非常明顯的意圖：一是減少題目數量，降低常規題難度，讓大部分考生能夠更快速地完成常規題目的解答，留下更多的時間思考求解難題和創新題；二是刻意調整知識板塊在試卷中所處位置，打破高考試題固定、刻板的印象，增加創新性；三是解答題分值提高，更加注重考查數學思維，強調數學語言的嚴謹表達；四是常規問題求解時間減少，創新問題增加，以及第18題需進行幾何轉化，目的都是希望考生在數學測試中能夠“少算多想”，通過最后幾道解答題的比拼，真正選拔出具有較強數學思維能力和數學創新意識的人才，彰顯《中國高考評價體系》中提到的高考“服務選才”的核心功能。

因此，筆者建議在高三數學復習備考中，一是更加注重對數學基礎問題和本源問題的學習，強化對教材的學習和落實，減少機械刷題，追求“偏”“難”“怪”要及時“剎車”；二是讓學生習慣各知識板塊在不同位置考查的變化，以不變應萬變；三是重視對創新性和探究性問題的訓練和研究，培養學生的發散思維和對數學知識的遷移應用能力，充分體現數學問題的基礎性、綜合性、應用性和創新性特征。

最后，因為本次九省聯考中第19題涉及了數論相關知識，是不是今后就要為學生補充數學競賽相關知識？對此，筆者認為，參加過數學競賽或其他學有余力的學生，可以適當拓展學習一些競賽方面的內容，定期進行少量的競賽知識補充和題目訓練；而其他學生，扎實學好高中教材中的內容即可，沒有必要再進行拓展延伸。

參考文獻

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2022.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.