基于學生提出問題能力培養的數學寫作探究

梁竹 欒功

作者簡介：梁竹，1985年生，廣西玉林人，研究生，高級教師，主要研究方向為基礎教育；欒功，1982年生，甘肅隴西人，本科，高級教師，主要研究方向為新高考命題分析與拔尖人才培養。

摘 要：培養學生發現問題與提出問題的能力乃教育的重中之重，然而學生能在課堂上提出問題，對師生雙方來說都是挑戰。為此，教師可通過數學文化、數學應用、解題欣賞、學習心得等四個方面數學寫作培養學生提出數學問題的能力。

關鍵詞：數學寫作；提出問題；高中數學

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）08-0117-05

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確，要提高學生發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。由于提出問題對激發學生學習興趣、培養學生創新意識和創新思維有獨特價值，因此，培養學生發現問題與提出問題的能力受到了教育工作者的廣泛關注。提出問題，是在已經發現問題的基礎上，采用恰當的數學語言和符號對問題進行進一步的數學抽象，并在特定的邏輯線索和數學關系中，將問題用數學語言表達出來。學生要進行數學表達、數學交流，其中一個有力工具就是數學寫作。毛光壽、陳重陽認為數學作文是指學生通過對自己數學知識經驗進行反芻、回味、整合、理解和領悟，進而再加工、再發現、再創造［1］。數學寫作有別于課堂教學，它可以不受空間與時間的限制，為學生提供更加自由的探究、想象和創新平臺。寫作過程其實就是學生思維動態發展的過程。學生圍繞一個寫作主題，在已有的認知結構結點上聯結新知識、新信息，經過思考，不斷梳理、更新、整合、完善，進而建立更廣泛深刻的知識網絡，從而解決新問題或提出新問題、總結新知識。有研究表明，學生在數學寫作過程中能夠學會自主學習，能夠獨立思考、查閱文獻、搜集信息、歸納概括，進而發展敢于發現、提出問題等能力［2］。基于此，本研究從數學寫作視角探究培養學生提出問題能力的策略。筆者結合教學實踐，將數學寫作分為數學文化寫作、數學應用寫作、解題欣賞寫作以及學習心得寫作等四大類，下面從這四個方面具體論述如何借助數學寫作提高學生發現問題和提出問題的能力。

一、數學文化類寫作

數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動［3］。它不僅是數學本身的文化內涵，還是數學思維與數學文化的融合，從而成為人們生活中不可或缺的一部分。2019年人教版普通高中數學教材開設的文獻閱讀與數學寫作欄目中，就有不少關于數學文化的題材，如“函數的形成與發展”“對數概念的形成與發展”“幾何學的發展”等。給定寫作主題，能夠讓學生有目的、有方向地寫作，但同時也產生了一個問題——如果每次數學寫作都告訴學生寫什么，那么學生又走上了一味地去解決別人提出的問題的老路，難以提高發現問題的能力。在平時學習課本上的知識時，少有學生問為什么要學習數列、正弦定理這樣的知識，而研究的過程卻能告訴學生為什么要走這條路、這條路還有哪些地方沒人去過，說不定在探索的過程中還有意外的收獲，這是學生僅通過課堂學習達不到的。丘成桐先生曾說：“近40年來，中國的數學發展很快，但還是不滿意，最大的問題是人們解決問題，不是自己提出問題?！币虼?，筆者在組織拔尖學生開展數學文化類的寫作訓練時，從給定主題的數學文化類寫作與自主選題的數學文化類寫作兩方面入手。

關于自主選題的數學文化類寫作，通過結合學生已有的數學寫作情況，筆者歸納出幾種選題思路。

第一種是從課本選題。例如，陳同學在學習復數的知識時，受到課本中“函數的形成與發展”數學寫作的啟發，自己提出一個研究的方向——復數的形成與發展，接著通過查閱書籍與上網搜索相關資料，弄清楚復數的來龍去脈，將其寫成一篇文章，并錄制視頻，在課上展示，得到了教師和其他同學的一致好評，這節課也被評為“一師一優課”的優秀案例。以下是作文片段。

復數由實踐的需要而產生，隨著社會的不斷發展，又在數學、力學、電學中不斷得到應用，成為被廣泛使用的一種數學工具。然而歷史上引進虛數，把實數擴充到復數可不是件容易的事，足足經歷了漫長的三百年，經過眾多數學家長期不懈的努力，深刻探討并發展了復數理論，才使得虛數揭去了神秘的、不可思議的面紗，顯現出它的本來面目。請同學們通過查閱書籍、上網等方式了解復數的發展歷程及其廣泛應用，并用文獻綜述的方式形成讀書報告，在班上分享交流。

第二種是從習題選題。鄭同學在做題時遇到了好幾道以《九章算術》為背景的數列題，于是他利用課外時間整理了《九章算術》中關于數列的題目，撰寫了一篇題為《〈九章算術〉中數列題鑒賞》的文章，在班級中廣泛傳閱。

第三種是從數學游戲中選題。曾同學的數學寫作來源于“漢諾塔游戲”。他挖掘了“漢諾塔游戲”中蘊含的遞推數列問題，由于他對編程很感興趣，由遞推數列聯想到編程中的遞歸思想，將“漢諾塔游戲”進行了編程。以下是作文片段。

在一節數學課上，老師組織我們玩“漢諾塔游戲”。這個游戲我小時候也玩過，不過當時挪動的環片比較少，自己多嘗試幾次就可以完成任務。而老師要求我們挪動64片環片，單靠嘗試摸索估計要耗費很長時間。數學老師曾經說過：研究復雜的數學問題時，可以從簡單的情況入手，由特殊到一般。于是我先從最簡單的1片入手，然后研究2片、3片、4片……得到以下表格。

[圓盤個數 挪移次數 挪移規律1 挪移規律2 1 1 1 1 2 3 1[×2+1] 2[×2-1] 3 7 3[×2+1] 2[×2×2-1] 4 15 7[×2+1] 2[×2×2×2-1] 5 31 15[×2+1] 2[×2×2×2×2-1] … … … … ]

從表格中發現每一次挪動環片都與上一次挪動環片有聯系，類似于我們剛學不久的遞推數列。假設移動n片環片所需要的最小移動次數為an，滿足遞推關系a1=1，an=2an-1+1（n≥2）。這里滲透著一種遞歸的思想，其算法歸結如下……

二、數學應用類寫作

蔡金發教授認為，數學問題提出應該是支持教師和學生的具體活動，使他們能夠根據特定的情境（即問題背景或情境）形成或重新形成數學問題或任務。筆者在實際教學中按照“閱讀材料，提出問題”“篩選問題，達成共識”“數學建模，解決問題”“歸納總結，拓展延伸”等四個步驟指導學生開展指向問題提出能力培養的數學應用類寫作。下面以測量距離問題（平面）的數學寫作為例展開說明。

（一）閱讀材料，提出問題

教師在上寫作課前，布置學生查閱書籍以及上網了解幾何學中測量的發展歷史。課始，教師展示材料：湖南岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一。其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖，下瞰洞庭，前望君山。始建于東漢建安二十年（215年），歷代重修，現存建筑沿襲清朝光緒六年（1880年）重建時的形制與格局。北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世，有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽。接著教師提問：那么，岳陽樓有多高呢？并向學生提出要求：閱讀時嘗試從不同角度去思考，提出自己的問題并將其寫下來，和同學交流。

以岳陽樓的高度為背景引入課題，能夠激發學生的數學學習興趣。在自主提問階段，學生不僅需要理解閱讀材料的字面意思，還需要對這些知識進行提煉、挖掘、拓展，這樣才能提出新的問題。正所謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，每一名學生看待事物的角度不同，可以提出的問題也不同，從而實現個性化學習。

（二）篩選問題，達成共識

學生經過思考后提出了各種各樣的問題。為了使學生的研究更集中、效率更高，教師組織學生進行小組交流討論，每個小組篩選出兩個最有價值的問題。緊接著，各小組派代表上臺分享本小組的兩個問題。各小組進行角逐，層層篩選，最終整理出以下三個問題。

已知A為岳陽樓主體的頂部，B為主體的底部。

1.請你畫出岳陽樓的平面圖。

2.請你利用所學的三角知識，利用測角儀（可測量仰角與俯角）、米尺（可測量長度）、量角器（可測量平面角度）等工具測量岳陽樓主體的高度，給出必要說明，所使用的字母和符號均需要解釋說明，并給出計算公式。

3.某學習小組利用你的測量方案進行了實地測量，并將計算結果匯報給老師，發現計算結果與該建筑物實際高度有誤差，請你針對誤差情況進行說明。

圖1 岳陽樓的主體

在“閱讀材料，提出問題”環節，學生針對閱讀材料提出了問題，學生的思維得到了發散，他們有很多想法，能提出各種各樣的問題。為了使數學問題更集中，教師引導學生小組內部交流探討，剔除與本課題關系不大的問題，從而使得接下來的研究效率更高，更好地服務于數學寫作。

（三）數學建模，解決問題

第一種方案：測量并記錄測量工具距離地面的高度h；用測角儀，將一邊對準樓的頂部A，計算并記錄仰角[α]，后退a，再用測角儀對準樓的頂部A測得仰角[β]，此時可求樓的高度（如圖2所示）。

圖2 第一種方案示意圖

由圖可知AC=[atanαtanβtanα-tanβ]，故AB=[atanαtanβtanα-tanβ]+h。

實際測量的各數據如表1所示。

表1 第一種方案測量所得數據

[ 第一次 第二次 仰角大小 67° 52° ]

后退距離為6 m，人的“眼高”為1.5 m，計算可得岳陽樓的高度約為18.32 m，結果與期望值19—20 m相差不大。

第二種方案：測量并記錄測量工具距離地面的高度h，將平面鏡置于平地E處，人后退至從鏡中能夠看到房頂A的位置，測量人與鏡子的距離a1；將鏡子后移a至F處，重復前面的操作，測量人與鏡子的距離a2，此時可求樓的高度（如圖3所示）［4］。

圖3 第二種方案示意圖

由相似三角形可得[ha1=ABBE]且[ha2=ABBF]，因此BE=[AB×a1h]，BF=[AB×a2h]，故a=[AB×a2h]-[AB×a1h]即AB=[aha2-a1]。

實際測量的各數據如表2所示。

表2 第一種方案測量所得數據

[ 第一次 第二次 人與鏡子的距離/m 3.84 4.91 ]

鏡子的相對距離為12 m，人的“眼高”為1.52 m，計算可得岳陽樓的高度約為17.05 m，結果與期望值19—20 m相較大。

接下來是誤差分析。第一種方案產生誤差的原因是量尺、測角儀測量時讀數有誤差。減小誤差的方法是幾個人分別測量高度及仰角，再取平均值。

第二種方案產生誤差是因為鏡面放置不能保持水平，兩次放鏡子的相對距離太短；人眼看鏡內物像時，兩次不一定都看準鏡面上的同一個點，人體不一定在兩次測量時保證高度不變，減少誤差的方法是多測量幾次，再取平均值。

將立體圖形平面化，是解決幾何問題的常用方法；再結合平面幾何的知識進行推理運算，在推理中尋找規律，最終解決問題，提高了學生解決問題的能力。

（四）歸納總結，拓展延伸

將整個數學建模的過程用文字方式記錄下來，并加以總結，適當拓展。比如教師可以提問：某同學完成后，提出了新問題“請結合自己所學的三角、平面幾何知識想想，你是否還有其他的測量計算方法？”，你的問題又是什么呢？請提出問題后，一起和同學交流解決。

愛因斯坦說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要?！币粋€好的數學問題就好比一把利劍，學生用它在荊棘遍布的科學叢林中開辟出一條新的道路，探索出一片新的領域。所以，在數學應用類寫作的結尾仍需鼓勵學生提出更多的好問題。

最后要求學生整理以上研究過程，將自己的所感所得用文字記錄下來，形成一篇數學應用類報告。

三、解題欣賞類寫作

解題欣賞類的寫作不同于解題，它可以把學生解題的過程可視化于書面上，一方面通過寫作促進學生再認識、再總結解題過程，甚至在解題欣賞中靈光一現，發現并提出新的問題；另一方面幫助教師評價學生對數學知識的理解水平和潛在能力等，發現存在問題或困難，這有利于教師調整完善教學。

呂傳漢、汪秉彝及其團隊針對“數學情境與提出問題”教學從理論到實踐進行了較為系統的研究，發現情境不僅能激發學生學習數學的興趣，還能讓學生產生認知沖突，喚起問題意識、促使學生提出數學問題［5］。因此，筆者布置解題欣賞類寫作時，嘗試設計一些具體的問題情境（如下所示）。

校學生會希望調查學生對食堂飲食的意見，你自愿擔任調查員，并打算在學校里抽取12%的同學作為樣本。（1）怎樣安排抽樣可以提高樣本的代表性？（2）在調查抽樣中你可能遇到哪些問題？（3）你打算怎么解決這些問題？……

教師拋磚引玉，學生自由發揮。慢慢地，學生在寫作的過程中，不僅學會解題，還學會通過觀察、類比、猜想等，自己提出一些新的問題。比如在解三角形時，運用正弦定理求角度時會出現無解、一解甚至兩解的情況，很多學生分辨不清，為了解決這個問題，筆者設計了以下數學寫作練習。

在正弦定理的應用過程中，我們碰到有無解、一解、兩解的情況，最終有多少個解是由題目條件決定的。請同學們通過列舉三道例題，總結什么題型會出現無解、一解、兩解，并進一步總結歸納三角形解的個數的決定因素。最后你能結合以上發現，對初中所學的“SSA不能判定三角形全等”做出解釋嗎？

學生作品片段如下。

解的個數問題

今天，我做了這樣三道題，發現答案有兩個解的，有無解的，有唯一解的。這三道題目，它們都是“己知三角形的兩邊及其中一邊的對角，求其他邊和角”類型的。以已知a、b、A，解三角形為例。按照一般解題過程，利用正弦定理計算出另一邊所對角的正弦值，即[sinB=bsinAa]，由此得出角B，再用三角形的內角和定理算出第三個角，[∠C=180°-][∠B][-][∠A]。接著利用正弦定理算出邊[c=asinCsinA]即可。為什么會出現三種情況呢？什么情況下出現兩個解，什么情況下出現唯一解，什么情況又無解呢？決定要素具體是什么呢？由此我拿著三道題去請教老師，在老師點撥下我進一步思考得以下結論。

[已知兩邊

和一對角

（SSA）]

根據老師提示“抓住三角形的特點”，我查閱了三角形的特點有“大邊對大角，大角對大邊”“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，由此一個想法閃過：“大邊對大角，大角對大邊”可以驗證……

從學生的寫作中可以看出，該生從三個具體的數學例子得到啟發，探究出了三角形解的個數的規律。更難能可貴的是，在寫作過程中，該生自己提出問題、探究問題、解決問題。整篇文章邏輯嚴密，很有價值。

四、學習心得類寫作

學習心得類寫作指的是用文字語言將自己的學習所得、學習所感記錄下來。這類寫作，能夠搭建起學生與知識的橋梁，讓學生與自己的內心進行一場深度對話。學生用文字分享自己對知識的探索過程，記錄自己的思維過程，述說自己的情感。在這場用文字進行的交流中，學習的過程不再是機械、冰冷的解題過程，而變成一次有溫度的寫作旅程，這有利于提高學生的學習興趣。而人一旦對某種事物產生了興趣，自然會有強大的動力去鉆研它。各種具有創新性的問題和想法就會像雨后春筍般冒出來。

比如梁同學在學習概率時，就和同學一起合作寫了一篇題為《基于貝葉斯理論的抖音僵尸粉識別研究》的文章。文章新穎有趣，運用數學知識來解決實際生活中的問題，被錄用發表到班級刊物上。她在數學周記中寫道：“寫‘用貝葉斯理論推開抖音僵尸粉的大門，從起初的一時興起，到寫作，再到最后的完工，耗時整整一個月。期間請教過老師，也和周圍的同學交流，整個研究的過程讓我受益匪淺，最后能在班級刊物上發表，我非常開心！老師和同學的認可給了我寫作的信心，同時也讓我有了深深的危機感，我必須搞好學科基礎，不然怎么配得上我的論文？”

梁同學的情感真實流露，充分展示了一名有理想、有抱負的高中生的陽光心態。她在文中寫到“我必須搞好學科基礎，不然怎么配得上我的論文？”，可以預見在不久的將來，她必然會提出很多新的看法，做出更優秀的研究。

數學寫作體現了觀察數學現象—提出數學問題—探究思考問題—找到數學方法—解決數學題—反思拓展問題—表達成果觀點的初步數學研究過程。它對培育學生數學學科核心素養以及提高發現問題、提出問題的能力都起著重要的作用。本次實踐研究，為數學教師開展數學寫作教學提供了一個參考案例，也為學生提出問題能力的培養提供了一條新途徑。

參考文獻

［1］毛光壽，陳重陽.數學作文的教學嘗試與探索［J］.數學教學通訊，2005（3）：31-34.

［2］李瑞麗.利用數學寫作促進高中生數學理解性學習的實踐研究［D］.昆明：云南師范大學，2021.

［3］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020：10.

［4］陳剛.基于高中數學核心素養的建?；顒釉O計：測量學校內外建筑物的高度項目的教學評價設計［J］.新課程導學，2021（Z1）：80-81.

［5］溫建紅.基于數學核心素養培養學生提出問題能力的意義與策略［J］.數學教育學報，2023（3）：13-17.

［6］蔡金法，姚一玲.數學“問題提出”教學的理論基礎和實踐研究［J］.數學教育學報，2019（4）：42-47.

注：本文系南寧市教育科學“十四五”（2023年度）規劃課題“新高考背景下運用數學留白式教學構建思維型課堂的教學研究”（2023C863）、廣西教育科學“十四五”（2023年度）規劃課題“強基計劃背景下‘雙向—五維—交互的中學數學拔尖創新人才培養路徑的實踐研究”（2023C464）的研究成果。

（責編 劉小瑗）