用數學的眼光例談學生數學抽象能力提升

王琛

［摘? 要］ 用數學的眼光觀察現實世界是學生核心素養的一個重要方面，抽象能力是數學眼光在小學階段的主要表現，因此如何提升學生抽象能力是小學階段教學的重點。研究者結合課例從“抽象出數或圖形的能力”“抽象出數量關系的能力”“抽象出圖形關系的能力”等三個方面具體分析如何培養學生的數學抽象能力。

［關鍵詞］ 數學的眼光；抽象能力；能力培養；作業設計

抽象能力是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力。抽象是指在同類事物中抽取出共同本質屬性，而舍棄其非本質屬性的過程和方法。人類通過不斷的抽象，才獲得對自然界的本質認識。正是通過抽象，人們在思想上把個別的東西從個別性提高到特殊性，再從特殊性提高到普遍性，從而真正地、深刻地理解和把握現實世界。

一、理法交融：抽象出數或圖形的能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）在第一學段的目標中要求學生“經歷簡單的數的抽象過程”“形成初步的量感和空間觀念”，要求學生在教師引導下把數學學習的對象從具體事物或現象中抽象出來，感悟、理解和掌握相關概念的數學本質，獲得數感和量感。在上述抽象過程中，學生的數學抽象能力和數學素養獲得發展。

筆者執教“7的乘法口訣”時，詳細地開展了“把具體問題抽象成幾個幾相加的數學問題，寫出乘法算式，根據乘法算式編制相應的乘法口訣”的活動。學生能把新舊知識很好地關聯起來，并將已有的學習活動經驗遷移過來。筆者提出的實際問題是用7個三角形擺1只小船（出示小船圖，如圖1）。大多數學生是一個一個地數三角形，數出有7個這樣的三角形。

擺1只小船用7個三角形就是1個7，用乘法算式表示是1×7=7。由理及法，理法交融，學生初步得出口訣“一乘七等于七”，為了簡單易背，優化為“一七得七”的口訣（如圖2）。

筆者提出：“擺這樣的2只小船、3只小船、4只小船……7只小船，分別要用多少個三角形？”活動中筆者首先讓學生在教材提供的表格中，依次計算2個7、3個7、4個7……7個7相加的和，體會3個7比2個7多1個7、4個7比3個7多1個7……7個7比6個7多1個7的特征。

筆者接著提問學生：“算三角形的個數時，你們能想到什么？”以此把學生的思維引導到用乘法計算的方式和乘法口訣編制上來，然后依次抽象出1個7、2個7相加、3個7相加……7個7相加所對應的乘法算式是1×7=7、2×7=14、3×7=21……7×7=49；最后根據上述乘法算式編出7的乘法口訣（如圖3）。

在此基礎上，筆者引導學生發現一句乘法口訣對應兩個乘法算式，這為教學乘法交換律提前做了一個很好的鋪墊。

在教學“7的乘法口訣”中，筆者先借助由7塊三角形組成的小船圖對算理進行有效解釋，將連加抽象成“幾個7相加”，再轉化成乘法算式，最后通過口算過程抽象出乘法口訣，此教學過程真正做到了“理法交融”。

二、條分縷析：抽象出數量關系

數量是對現實生活中事物量的抽象，但是“數量不能作為數學研究的對象，數學研究的對象應當是比數量更一般的抽象。為了實現更為一般的抽象，就必須把握數量的本質，這個本質表現在數量的關系之中”。數量關系的抽象是數學抽象的一個重要內容，是培養學生量感的重要途徑。

筆者執教“解決問題的策略——列表”一課時，面對比較復雜的問題情境，首先和學生一起理解情境和題意，再根據情境所提供的信息摘錄條件，采取簡潔表達、整理列表等策略，試圖解決問題。這里體現了學生數學抽象能力的發展水平，不僅設計優化列表策略時體現了數學抽象，而且體現在學生解決具體問題中先抽象出數量關系，然后再進行列式解答。

教師始終圍繞“四能”開展教學，先讓學生讀題并分析問題，感受六個條件比較凌亂，以激發學生有序整理的內在需要，從而落實核心素養的要求。這樣，一部分學生從問題想起，整理了四個條件；一部分學生從條件想起，整理了六個條件。在解決例題的第一個問題時，學生覺得從問題想起更簡捷，教師重點強化列表整理的好處，體現了本課的一個教學重點。然后，教師出示例題的第二個問題：“杏樹比梨樹多多少棵？”這個問題讓從問題想起列表的學生立即發現自己需要再列一次表。這樣的引導讓學生領悟需要靈活地使用列表策略，要根據不同情況有針對性地列表，以便更簡捷地解決問題（如圖4）。

執教“筆算兩三位數除以一位數”一課時，筆者利用小棒操作來幫助學生自主理解豎式算理過程，一步一步地對豎式進行算理分析，從而讓每一個學生都能從實際問題中容易地抽象出豎式。本課主要安排了由外而內、由具象到抽象、環環相扣的四個教學環節。

一是運用小棒演繹除法算式。教師讓學生先開展小組合作，共同完成擺小棒表示46÷2的過程，讓學生把這個過程畫到學習單上。通過擺一擺、畫一畫、算一算，能讓學生經歷由具象到抽象的過程。

二是借助操作照應除法豎式。教師組織學生交流并總結：整捆整捆地平均分，其實是在分4個10；一根一根地平均分其實是在分6個1。其中，先分4個10，每份有2個10，正好分完，對應豎式中2為什么要寫在十位上；再分6個1，每份3個1，正好分完，對應豎式中3寫在個位上的意義。

三是依據操作整體思考除法。結合分小棒的操作過程，讓學生思考：“你打算怎樣算46÷2呢？”要求學生仔細思考，把想法寫到學習單相應的位置上。

四是聯系操作分步理解豎式。利用小棒圖聯系幾種不同的方法，再次深化算理理解。教師結合小棒操作過程，引導學生指出豎式中的兩個“4”，分別表示“要分的4個10”和“分掉的4個10”；豎式中的兩個“6”，分別表示“要分的6個1”和“分掉的6個1”。如此細致引導，可讓每一個學生通過本課的學習都能從實際問題中很容易地聯系學具操作，由外而內有序內化，順利抽象出豎式。這樣，就讓學生對除法豎式推進理解成為數學抽象思維的必然過程。

該課例題、操作圖示和豎式推進抽象過程的投影、板書如圖5所示。

不論是“解決問題的策略——列表”一課，還是“筆算兩三位數除以一位數”一課，教師要關聯學生生活實際進行教學，抽象成小棒圖或分析數量關系，讓學生抽象出數學算式。這樣的一系列過程都是抽象的過程，能充分體現教師在教學中關注培養學生的核心素養。

三、多維進階：抽象出圖形關系

新課標把義務教育階段幾何初步知識的學習內容歸納為“圖形與幾何”。通過圖形與幾何的教學，引導學生從立體到平面，從物體到圖形，抽象出以圖形表征的空間觀念，進而抽象出圖形關系。小學階段的圖形關系學習主要包括圖形本身的性質、圖形與圖形之間的關系。筆者在圖形關系學習專題教研中，一直努力體現數學抽象思想，使之落實于課堂教學活動。

1. 抽象感悟圖形性質

圖形關系是指圖形與圖形之間相聯系的關系，它建立在單個圖形性質的基礎之上。因此，圖形關系的抽象必須以圖形性質的抽象為前提。比如，在“認識角”一課教學時，筆者課前利用學習單，布置學生從生活中角的現象進行初步感知。課堂上出示展開的紅領巾、擺放的三角尺、張開的剪刀等，讓學生從中描畫出角，舍棄材質、顏色、刻度線和開口大小、朝向、邊的長短等非本質特征，保留和突出兩條邊共有一個頂點的張開的圖形；讓學生感知這就是對角的特征的抽象，從而給出描述性的定義“這些圖形都是角，角有一個頂點和兩條邊”。通過再抽象，引導學生進一步體會“角的兩條邊是直線”。

2. 抽象理解圖形關系

在對圖形性質抽象的基礎上考量幾個相關圖形，學生就會進入對圖形關系的抽象理解過程。筆者在執教“認識長方形和正方形”時，發現學生知道“正方形是一個特殊的長方形”，但是三年級學生不容易理解這個知識點。因此理解這些圖形的關系，學生需要依靠直觀操作。在教師的引導下，讓學生發揮主體表象和語言外化的表征作用，經過分析、綜合、比較等思維過程，逐步抽象概括而成。教師要讓學生分別歸納：長方形有四條邊，對邊相等，四個角都是直角；正方形四條邊都相等，四個角都是直角。經過對比和比較觀察，讓學生思考長方形和正方形相同的地方：長方形的所有特點在正方形中都存在。因此，正方形就是長方形，不過它是一種比較特殊的長方形，其特殊之點在于鄰邊相等，即長邊等于寬邊。

3. 抽象表征圖形關系

學生作為主體一旦理解了某種圖形關系，得到了確認，就會產生一種表達反應的需要。這樣學生借助初步的邏輯思維，學會區分和比較兩種圖形的內涵和外延，會選用合適的形式把這種關系從邏輯的層次上表征出來。比如，讓學生把長方形和正方形之間的圖形關系運用圖式抽象出來，學生往往都會畫出大圈（長方形）套小圈（正方形）的集合圖。這種圖式其本身也是一種簡捷的抽象，它表達的含義就是：（在內涵特征上）長方形包含著正方形，而正方形是一種特殊的長方形。

四、指向素養：數學抽象作業設計

數學抽象作為一種學科核心素養，它會作為學生的一種關鍵性能力反映出來，而且會顯示其不同的發展水平。把握和區分數學抽象能力的層次和水平，有助于培養學生的數學抽象能力。教師在平時數學教學研究中要經常收集能體現數學抽象能力素養的例題，通過潛心研究設計、精心編排，以此提升學生的抽象思維能力。

（1）選擇合適的字母序號填入括號中。

在下圖中，將長方形沿一條直線剪開，不可能得到的圖形是（? ? ）。

該題答案選A，其考查點是：抽象出圖形關系的能力。

（2）計算4.75+3.4=（? ? ），并說明理由。說明理由時，可以畫一畫，也可以聯系生活中的例子寫一寫。

該題考查點是：抽象出整數、小數不同計數單位以及用圖形表征不同小數的能力。

（3）王大爺把收摘的蘋果裝在同樣大的柳條筐里，一共裝了40筐。他從中任意選了5筐稱了稱，分別凈重31千克、29千克、32千克、32千克、28千克。請幫王大爺估算一下，他這次收摘的蘋果大約有多少千克？寫出估算過程。

該題考查點是抽象出數量關系的能力：①可以歸納5個數的特征是每筐接近30千克；②可以算出所稱的5筐平均數是30.4千克，再乘40筐，約1200千克；③可以先算出5筐總數是152千克，它的8倍（40÷5）是1200千克。

類似這樣的指向數學抽象能力培養的作業設計，有助于落實核心素養的相關要求，有助于激發學生的興趣。

五、未來展望：從數學的角度觀察世界

知識學習的完整過程，從廣義的角度分析可以分為三個階段，即意義的獲得、保持和提取；從狹義的角度來看，知識提取不僅是知識學習，還涉及技能學習。無論是從廣義角度，還是從狹義的角度，知識的獲得都離不開抽象的過程。學生對新知識的獲取會納入其原有的認知結構，從而形成新的抽象結構。在這個過程中，學生需要對所獲得的感性經驗進行充分思維加工，這又是一種新的抽象——方法抽象。在學生知識學習與方法學習時，教師要滲透價值觀教育。

細研新課標與核心素養的要求，不難發現小學階段是發展學生抽象能力的起步階段，也是關鍵時期：一方面，小學生學習的數學知識、方法都是基礎的，這些知識、方法的形成過程蘊含著豐富的數學抽象思想，而且這些知識、方法及其蘊含的抽象思想是能被小學生感悟和理解的；另一方面，小學生思維發展的特點與需求決定其既適應又能促進數學抽象能力的發展。對于教師而言，培養學生的數學抽象能力，促進其從數學的角度觀察世界、理解世界、表達觀點，需要教師加強意識性、計劃性和自覺性，因為它關系到學生核心素養的有序發展，是新時代數學教師的新使命。