對一道拋物線焦點(diǎn)弦問題的解法探析

楊艷潔

【摘要】基于“三新”的解題教學(xué)與研究，是提升數(shù)學(xué)能力以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要環(huán)節(jié).文章結(jié)合一道拋物線的焦點(diǎn)弦所對應(yīng)的焦半徑長的線性關(guān)系式問題的最值求解，依托對典型問題的深度學(xué)習(xí)，回歸教材追根溯源，并從多個(gè)數(shù)學(xué)思維角度切入，利用多種解題方法進(jìn)行剖析，并在此基礎(chǔ)上加以探究與變式，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

【關(guān)鍵詞】拋物線；思維；變式；解法探析

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課標(biāo)（《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂》）、新高考的“三新”背景下，對解題教學(xué)進(jìn)行研究顯得更加重要，對于合理優(yōu)化教學(xué)過程，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識運(yùn)用能力以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等都有很好的效益.下面筆者以一道拋物線的焦點(diǎn)弦所對應(yīng)的焦半徑長的線性關(guān)系式問題為例進(jìn)行探究.

一、問題呈現(xiàn)

本題以拋物線的焦點(diǎn)弦為問題場景，通過拋物線的焦半徑長的線性關(guān)系式的合理構(gòu)建確定其相應(yīng)的最值問題，以“動(dòng)”態(tài)形式創(chuàng)設(shè)問題，以“靜”態(tài)最值來確定答案.此類問題以各種不同的形式出現(xiàn)于各級各類的數(shù)學(xué)試卷中.

具體解決以上問題時(shí)，解題者可利用拋物線的焦點(diǎn)弦以及焦半徑的相關(guān)知識，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系，合理創(chuàng)設(shè)條件，從定義思維、極坐標(biāo)思維以及“二級結(jié)論”思維等不同視角來切入，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)等相關(guān)知識，利用不同的技巧方法來分析與處理問題，都可以很好地達(dá)到分析與求解的目的.

二、追根溯源

涉及拋物線的焦點(diǎn)弦或焦半徑的長度及其線性關(guān)系式問題，在教材中多次見其“影子”，是問題設(shè)置的一個(gè)基本場景.

【例題】（普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊人教A版第135頁例4）斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長.

答案 |AB|=8.

以上教材例題中，涉及相關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦長的求值與計(jì)算問題，是直線與拋物線的位置關(guān)系中最為常見且最為基本的一種關(guān)系，深入理解與掌握相關(guān)的知識以及問題的解決方法，對于深化理解知識點(diǎn)與掌握基本技能，有很大的幫助與促進(jìn)作用.

三、問題破解

（一）思維視角一：定義思維

方法1：（定義法）

所以|AF|+2|BF|的最小值為3+22，故選A.

解后反思 定義法是解決圓錐曲線問題中最常用的一種技巧方法，通過巧妙設(shè)置焦點(diǎn)弦所在的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，借助函數(shù)與方程思維的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，回歸點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義加以利用，進(jìn)而借助基本不等式來放縮處理.該思維過程也是解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中最基本的方法.

（二）思維視角二：極坐標(biāo)思維

方法2：（極坐標(biāo)+基本不等式法）

解析 依題知p=2，

解后反思 圓錐曲線的極坐標(biāo)方程是選修部分的一個(gè)基本知識點(diǎn)，在新教材中已經(jīng)沒有涉及，只是作為課外知識加以拓展與提升.根據(jù)拋物線的極坐標(biāo)方程加以轉(zhuǎn)化，利用焦半徑長的結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)建拋物線的焦半徑長的倒數(shù)和為定值，進(jìn)而利用基本不等式加以合理放縮處理，達(dá)到確定最值的目的.

方法3：（極坐標(biāo)+權(quán)方和不等式法）

解析 依題知p=2，

解后反思 利用拋物線的極坐標(biāo)方程加以轉(zhuǎn)化，確定相關(guān)焦半徑長的三角表達(dá)式，進(jìn)而結(jié)合關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，直接利用權(quán)方和不等式加以合理放縮，更加直接有效.這里涉及權(quán)方和不等式，是高中競賽中非常有用的一個(gè)不等式，常用來處理分式不等式的放縮與應(yīng)用問題，是課外拓展與提升的一個(gè)很好場所.

（三）思維視角三：“二級結(jié)論”思維

方法4：（焦點(diǎn)弦性質(zhì)法）

解析 依題知p=2，

（二）深入變式

探究2 保留原問題的創(chuàng)新場景，以拋物線的焦半徑長的線性關(guān)系式取得最值為前提，進(jìn)而深入確定相關(guān)焦點(diǎn)弦的長度問題，得到以下相應(yīng)的變式問題.

以上變式2的解決方法除了定義法外，還可以通過極坐標(biāo)法等來分析與應(yīng)用，可以參照原問題中的相關(guān)技巧方法來解決.

五、教學(xué)啟示

（一）回歸定義，優(yōu)化過程

圓錐曲線的定義是圓錐曲線相關(guān)知識及其應(yīng)用的根本，是對應(yīng)曲線（橢圓、雙曲線、拋物線等）最本質(zhì)的幾何特征，是有關(guān)圓錐曲線問題的出發(fā)點(diǎn)，更是相關(guān)新知識、新思維的生長點(diǎn).

借助圓錐曲線的定義解題，可以回歸概念本源，構(gòu)建合理關(guān)系，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)以退求進(jìn)，以簡馭繁，真正達(dá)到化難為易、化繁為簡、事半功倍的效果，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

（二）“二級結(jié)論”，優(yōu)化思維

數(shù)學(xué)中一些常見的“二級結(jié)論”，是綜合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與思想方法等總結(jié)歸納并抽象提煉而來的，是對相關(guān)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的深入與拓展，具有明顯的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

借助一些圓錐曲線中典型的“二級結(jié)論”，能有效深化對圓錐曲線相關(guān)知識的理解與掌握，交匯融合一些相關(guān)的知識與思想方法，具體解題時(shí)，解題者可以省略其中一些不必要的過程，真正優(yōu)化解題過程，簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，優(yōu)化邏輯推理，這對于問題的快速有效解答起到非常重要的作用，有利于節(jié)約寶貴的時(shí)間.

結(jié) 語

綜上，涉及拋物線的焦點(diǎn)弦或焦半徑的長度及其線性關(guān)系式等綜合應(yīng)用問題，是各類高考數(shù)學(xué)模擬卷中非常常見的一類基本題型與熱點(diǎn)問題之一.具體解決實(shí)際問題時(shí)，教師可以借助常規(guī)的方法，利用直線與拋物線的位置關(guān)系合理聯(lián)立方程組，并通過函數(shù)與方程思維來求解與應(yīng)用；還可以借助“二級結(jié)論”，利用一些相關(guān)的典型性質(zhì)、公式等對應(yīng)的結(jié)論來直接應(yīng)用，合理優(yōu)化過程，簡化運(yùn)算，提升解題效率.

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