“倍” 的課程價值及其學習活動設計

□齊 美 郜舒竹

本刊上一期刊登的《 “倍” 的意義不僅是除法運算的結果》一文指出，有關 “倍的認識” 的教學存在意義不完善的問題，即將 “倍” 僅僅理解為除法運算的結果。事實上， “倍” 還可以用于描述關系。在此基礎上，本文進一步分析 “倍” 的課程價值，探究如何在數學課程設計與實施中落實 “倍是關系” 的意義，并讓學生在具身活動中，借助隱喻思維體會 “倍是關系” 。但在這一過程中，學生會遇到一些認識上的障礙，易于混淆 “倍的認識” 中的 “倍” 與 “因數與倍數” 中的 “倍數” 兩個概念。為此，需要對這兩個概念的異同進行比較，以避免概念上的混淆。

一、 “倍” 的課程價值

“倍” 是表達量與量、數與數之間關系的語言。這種抽象的理解需要依賴隱喻。隱喻不僅僅是一種語言現象，還是人類理解周圍世界的一種感知和形成概念的工具［1］。喬治·萊考夫在《數學從哪里來》一書中提到：人類天生具有內含的算術能力，包括識別少量物體數量的計數能力和進行簡單加減的運算能力。不過，當物體數量大于4 時，人類隨之需要發展組合分組能力與符號表征能力。而若想全面掌握數的運算及其屬性，就需要提升隱喻能力（Metaphorizing Capacity）以及概念融合能力（Conceptual-blending Capacity）等認知能力。［2］這表明概念隱喻和概念融合是人類最基本的認知機制之一，它們共同促進了人類從先天算術能力發展到自然數的基本算術能力的進化。

在數學認知中，數可被視為一組對象所形成集合的隱喻，即一種從物理對象領域到數字領域的精確映射。因此， “5和7哪個大” 和 “2比4小” 此類表達在人的頭腦中根深蒂固?？蓪嶋H上，數本身并無大小之分，人無法直接看見數的具體存在。比如，當學生在現實世界看到圖1 所示的小方塊時，他們就會在頭腦中形成6 的概念，表示這些小方塊的總數量是6個。

圖1 顏色相同的6個小方塊

然而，隱喻的過程并不是一成不變的。即使是相同數量的對象，也會因為使用的映射方式不同，而在頭腦中形成不同的數。比如，當學生看到圖2所示的小方塊時，他們可能會無意識地對其進行分組，將2 個小方塊視為一個單位。此時，他們的意識中便會浮現3。這里的3表示有3組，每組包含2個小方塊。這表明 “倍表示關系” 以隱喻的方式存在于學生早期的計數階段，并豐富了他們的計數經驗。

圖2 中間顏色不同的小方塊

學生在系統學習 “倍表示關系” 時，會認識三種意象圖式（Image Schema），即比較圖式、部分—整體圖式和變化圖式，分別對應用 “倍” 描述的三種不同關系：不同對象之間的關系、部分與整體的關系和變化前后的關系。這三種意象圖式在后續分數和比的學習中也有所體現，為學生進一步學習分數和比奠定了基礎。

首先是比較圖式。分數和比都具有描述不同對象之間關系的功能。以圖3為例，用分數的語言來說，第一行小方塊的數量是第二行小方塊數量的。用比來描述，則可以說第一行小方塊與第二行小方塊的數量之比為1∶2。

圖3 2行不同數量的小方塊

其次是部分—整體圖式。分數與比都包含描述部分與整體關系的意義。例如，將長方形ABCD沿著中線EF對折再打開（如圖4），所形成的長方形ABFE的面積是長方形ABCD面積的，也可以說長方形ABFE與長方形ABCD的面積之比是1∶2。

圖4 長方形ABCD的對折打開圖

最后是變化圖式。分數與比在變化圖式的應用上有所不同。先看分數，假設一個月前，樹苗A高8分米，樹苗B高12分米。現在它們的高度分別是11 分米和15 分米。請問：哪株樹苗長得快？用加法來推理，可以得出兩株樹苗都長高了3 分米，因此長得一樣快。而用乘法來推理，得出的結果卻是樹苗A長得更快。這是因為與原先的高度相比，樹苗A長高了，樹苗B長高了，所以樹苗A長得更快。再看比，變化圖式在比例問題上體現為表征形式的相似。例如，將一個保溫杯縮小為原來的一半畫在紙張上，那么在原始圖像中相等的東西，在新建立的圖像中也應該相等。這意味著從原始圖像到新建立圖像的映射過程描述為相似性，但圖像元素中內部結構的比不變。［3］

除了能為學生學習分數和比奠定基礎，倍的學習還能幫助學生發展單位化的眼光。杜威在《數的心理學》中提到：數被簡單定義為多少個度量單位（Units of Measurement），往往是抽象的［4］?？梢姡硎疽粋€量數值的數與度量單位和重復次數密不可分。從離散的角度來看，數是許多個度量單位所構成的統一體；從抽象的角度來看，數則是一個度量單位所形成的局部。例如，50 元既可以看成是由50 個1 元組成的，也可以直接看作一個度量單位。用倍的語言來說就是：50元是1元的50倍，或者50元的1倍。當然，50還可以由其他不同的組合方式組成，如2 個25、5 個10、10 個5 等。選擇的度量單位不同，度量的方式也不同。

綜觀學生從整數到分數、小數再到無理數的數概念學習過程，倍、分數、比這三個概念密切相關。以乘法比較的相關問題為例，在倍的學習中，通常將較小量看作單一量（標準量），與較大量進行比較。而在分數的學習中，通常將較大量看作單位 “1” （標準量），與較小量進行比較。這兩種方式分別用 “一個數是另一個數的多少倍？” 和 “一個數是另一個數的幾分之幾？” 來表述。例如，如果短木棒長10厘米，長木棒長15厘米，那么既可以說長木棒的長度是短木棒長度的1.5 倍，也可以說短木棒的長度是長木棒長度的。此外， “倍” 還是理解 “比” 的重要基礎，因此可以用組合單位的方式來理解比。比如：如果4顆藍莓的價格是1元，那么這4顆藍莓就可以看作一個單位。基于這個單位可以推導出其他倍數成立的情況，如8 顆藍莓2 元、40 顆藍莓10元等。同時，也可以將單位進行縮小運算，得出2顆藍莓為0.5元、1顆藍莓為0.25元。也就是說，任何數量的藍莓都可以通過使用這些組合的單位來定價。

綜上所述， “倍” 這一概念在小學數學課程中具有重要價值。它不僅能夠豐富學生早期的計數經驗，為學生進一步學習分數和比奠定基礎，還能幫助學生發展單位化的眼光。因此，如何設計相關的學習活動，以促進學生理解 “倍” 這一概念就顯得尤為重要。

二、 “用‘倍’看關系” 的學習活動設計

學習活動是學生通過自我理解、生生互動、師生交流實現變教為學的一種方式。從多元表征的認知功能來看，設計學習活動的意義在于整合各種表征的優勢與特點，形成更為完善的內在表征結構。而精心設計多元表征的學習活動，能夠幫助學生深入理解并內化多元表征，生成整個表征結構，并學會建構多元表征的策略與方法等。［5］

人的認知是在其心智、身體與環境互動的過程中，無意識形成的具有穩定性的思維方式。這種思維方式會不自覺地支配人們的行為，兼具 “意象” 和 “圖式” 的意義。［6］作為一個抽象數學概念，學生對 “倍” 的理解與掌握需要經歷三個階段：首先是現實世界中的具身操作，其次是思維世界中的具身經驗積累，最后是符號世界的抽象表征。學生若要理解某個數學結構，就必須在這個數學結構與另一個更易理解的數學結構之間建立對應關系。而表征是建立意義、交流信息、促進理解的重要手段。［7］

“倍的認識” 是人教版教材三年級上冊的教學內容。教學時，教師可以按照具身活動操作、個體經驗聯結、多元圖式建構、關鍵概念辨析四個步驟，幫助學生主動建構倍的心理意義、理解倍的數學含義，形成多元化表征的能力。

教學伊始，教師通過展示兩組不同小方塊學具之間的關系，激活學生已有的知識經驗，如加、減法之間的關系，引出課題——用 “倍” 看關系。教學中，教師主要安排以下四個學習任務。

任務一：用學具擺出 “2倍” 關系

學具的拼擺是一種將抽象的數學概念 “2 倍” 關系具體化的活動。在具身操作活動中，學生通過摸、擺、拼等方式，深入體會 “2 倍” 關系的實質，從而形成對比不同對象的意象圖式。這種具身體驗使學生更容易理解和構建數量關系的模型。在這一過程中，學生經歷用不同的對象表示 “2 倍” 關系，體會 “2倍” 關系的表述既可以是 “6個小方塊是3個小方塊的2倍” ，也可以是 “8個小方塊是4個小方塊的2 倍” ，以及更多類似的表述。但無論學具如何拼擺，其倍數關系都具有一個共同的特征，即內在的抽象性?？梢?，理解這種抽象概念需要依賴具體的、具有象征意義的操作。

任務二：結合自身經驗，舉例說明 “2倍” 關系

數學語言有助于提升學生的敘述性表征能力和邏輯推理能力。學生通過運用自身經驗舉例說明 “2倍” 關系，實現了新舊知識的整合與同化。在這一過程中，他們能夠靈活運用倍數關系描述不同物體之間的數量關系，如 “有兩堆鉛筆，4支鉛筆是2 支鉛筆數量的2 倍” “2 塊粉橡皮是1 塊白橡皮數量的2 倍” 。這不僅有助于監測學生的學習成果，還能提升他們運用數學語言表達現實世界的能力。

任務三：通過折紙活動，找到 “8倍” 關系

教師先向學生示范將長方形紙張對折的過程，引導學生觀察紙張對折過程中面積發生的變化，使學生初步理解 “倍” 表示部分與整體的關系。隨后，讓學生展開自主探究，自行嘗試將一張長方形紙對折、對折、再對折。通過這樣的三次對折，學生發現：整個長方形的面積分別是每次對折后小長方形面積的2 倍、4 倍、8 倍。這一發現打破了學生的線性認知，使他們意識到紙張的對折過程并非簡單的線性變化，而是涉及更復雜的非線性關系。從表征的感覺通道來說，折紙是一種動作表征，能激活學生頭腦中關于倍數關系的認知，促進他們對這一知識的理解與應用。為此，可以引導學生繼續對折紙張，讓他們思考接下來會形成怎樣的倍數關系，由此激發他們的求知欲和探索精神。

任務四：小組討論 “增加了2 倍” 與 “增加為原來的2倍” 的意思是否一樣

任務四要求學生學習 “倍” 的另一種含義，即描述物體數量變化前后的關系，從而發展學生的數學眼光，使學生學會動態地看待倍數關系。通過小組討論和辨析，學生體會到小方塊 “增加了2 倍” 與 “增加為原來的2 倍” 這兩種表達方式在意義上的差異。具體來說， “小方塊增加了2倍” 形成了新的標量關系。將初始狀態下小方塊的數量看作單一量，增加了2倍表明增加的量是單一量的2倍，那么結束狀態下小方塊的數量就是原來的3 倍。這一變化后與變化前的增量，意義指向標量關系的動態改變。而意義又源于差異。［8］為此，要讓學生在差異中進一步理解倍數關系的不同含義。

這四個任務不僅能幫助學生理解 “倍” 的含義并建構 “倍” 的意義，還能在整個數學學習過程中起到承上啟下的作用，喚醒學生的已有經驗，為學生后續學習分數、比等概念奠定基礎。其中，任務一幫助學生理解不同對象之間的關系，是他們學習比的概念的重要基礎，如寵物店里貓與狗的數量之比是3∶2、圓周長與直徑之比為π∶1 等。而這些比的概念又延伸出重要的數學推理方法——比例推理。利用比例推理，就能有效解決路程問題、比例尺問題、密度問題以及濃度問題等。［9］任務三著重引導學生理解部分與整體的關系，是建立分數概念的起點，旨在通過折紙活動，讓學生更直觀地理解分數的面積模型。此外，分數還涉及測量的意義。以分數為例，它表示以分數為單位長度，數出這樣的3個單位長度，即3倍的。按照這樣的認識，學生明白了分數是單位分數的倍數，從而拓展了對分數的認知。任務四旨在引導學生思考如何解釋加法推理和乘法推理的區別，以幫助學生更好地掌握加法比較和乘法比較之間的異同。綜上所述，這四個任務不僅有助于學生對 “倍” 概念的理解與掌握，還能為他們后續的數學學習打下堅實基礎。

三、 “倍” 與 “倍數” 異同比較

繼學生在低年級學習 “倍的認識” 之后，教材又在五年級編排了 “因數與倍數” 的學習內容。由于學生先前已接觸過 “倍” 的概念，因此在理解 “因數與倍數” 中的 “倍數” 時，他們會遇到一些認知障礙。所謂認知障礙，指的是概念本身所形成的障礙，也可以解釋為錯誤的思維方式。學生的思維方式會影響學生對數學概念的理解方式，而這種理解方式又會反過來影響學生的思維方式。［10］因此，有必要對 “因數與倍數” 中的 “倍數” 與 “倍的認識” 中的 “倍” 的異同進行比較，以避免學生混淆這兩個概念。

一方面，兩個概念存在諸多差異。首先，兩者所指的對象不同， “因數與倍數” 中的 “倍數” 指的是用測量單位來測量的對象，而 “倍的認識” 中的 “倍” 指的是測量過程中進行的次數。例如，在看待12這個數時，12可以看作3個4或4個3，這里的3和4就是12的因數。同時，12也是3和4的倍數。因測量需同時具備測量的對象和測量的單位，所以因數和倍數是相互依存的。但在 “倍的認識” 中， “倍” 描述的是測量單位和測量對象所形成的標量關系。［11］即12是3的 “4倍” 或4的 “3倍” 。

其次，兩者的使用范圍不同。 “倍數” 的使用范圍僅限于正整數除法且除盡的情況，而 “倍” 的使用范圍則更廣，不僅包括整數倍，還包括小數倍和分數倍。在人教版教材五年級下冊第二單元中，教材明確了兩個整數相除后可能出現的兩種情況，并據此給出了因數和倍數的定義： “在整數除法中，如果商是整數且沒有余數（或者說余數為0），我們就說除數是被除數的因數，被除數是除數的倍數?！?例如，在12÷2=6這種情況下，12是2和6的倍數，2和6 是12 的因數。也可以說12 是2 的6 倍 或6 的2倍。然而，在9÷5=1……4這種情況下，由于商不為整數，因此9和5之間并不構成因數與倍數的關系。不過，當9÷5=1.8 時，說9 是5 的1.8 倍，這種表述依然是符合數學邏輯的。

最后，兩者所延伸出的概念也不同。 “倍數” 可以進一步延伸出公倍數、最小公倍數等概念，而 “倍” 延伸出的概念則與比的概念緊密相連，如正方形的對角線與邊長之比是

在此基礎上， “比” 的學習又為之后中學要學習的斜率、三角函數、相似等知識打下重要基礎。

另一方面，兩個概念間也存在一些共同點。首先，無論是 “倍” 還是 “倍數” ，它們的形成都離不開測量對象和測量單位。倍數和因數相互依存， “倍” 連接倍數與因數，這兩個概念都不能獨立存在。不能說12 是倍數，必須描述清楚12 是3 的倍數或者12 是3 的4 倍。其次，兩者名稱相似，如果不加以區分，對于沒有學習過 “倍數” 概念的學生來說，極可能認為這與 “倍” 是同一個概念，從而造成認知障礙。最后，算式的呈現方式相同，兩個概念都可以使用除法或乘法算式來表達。比如，描述12是3的倍數時，可以用除法算式12÷3=4或者乘法算式3×4=12 來表達。描述12 是3 的4 倍時，同樣可以用除法算式12÷3=4或者乘法算式3×4=12來表達。

綜上所述，通過對 “倍” 的課程價值分析、 “用‘倍’看關系” 的學習活動設計以及 “倍” 與 “倍數” 概念的異同比較，可進一步加深學生對 “倍” 的理解。 “倍” 不僅連接了觀察對象之間的關系，也發展了學生單位化的眼光。學生在關系中發展單位化的眼光，又用單位化的眼光理解關系，滿足了他們用數學眼光觀察現實世界、提升自身核心素養的要求。